Seconde C · Leçon 5
Angles orientés – trigonométrie
Exercices corrigés
QCM — Cercle trigonométrique et angles associés
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) $\cos\!\left(\dfrac\pi3\right)$ vaut :
a) $\dfrac12$ b) $\dfrac{\sqrt3}2$ c) $\dfrac{\sqrt2}2$ d) $1$
2) $\sin\!\left(-\dfrac\pi6\right)$ vaut :
a) $\dfrac12$ b) $-\dfrac12$ c) $\dfrac{\sqrt3}2$ d) $-\dfrac{\sqrt3}2$
3) $\cos(\pi-x)$ est égal à :
a) $\cos x$ b) $-\cos x$ c) $\sin x$ d) $-\sin x$
4) L'ensemble des solutions de $\cos x=\dfrac12$ est :
a) $x=\dfrac\pi3+2k\pi$ ou $x=-\dfrac\pi3+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$ b) $x=\dfrac\pi3+2k\pi$ seulement c) $x=\dfrac\pi6+2k\pi$ ou $x=-\dfrac\pi6+2k\pi$ d) $x=\dfrac\pi2+2k\pi$
Situation d'intégration — Pivot d'irrigation
Exercice 2 — Situation d'intégration
Un ingénieur agricole installe un pivot d'irrigation circulaire dans un champ. Le bras d'arrosage tourne autour d'un centre $O$ et arrose un cercle de rayon $50$ m. La position du bout du bras, repérée par l'angle $x$ (en radians) parcouru depuis la direction $(1;0)$, a pour coordonnées $(50\cos x\,;\,50\sin x)$.
Consigne : 1) Calculer les coordonnées du bout du bras lorsque $x=\dfrac\pi3$. 2) Après un quart de tour supplémentaire (angle total $x=\dfrac{5\pi}6$), calculer les nouvelles coordonnées en utilisant une relation d'angles associés. 3) Une zone sensible se trouve au point $(50;0)$. Pour quel(s) angle(s) $x\in[0;2\pi[$ le bras passe-t-il par ce point ?
Exercice supplémentaire — Roue décorative
Exercice supplémentaire. Un artisan fabrique une roue décorative à 12 rayons régulièrement espacés (angle de $30°$ entre deux rayons consécutifs).
1) Convertir $30°$ en radians.
2) Calculer $\cos(150°)$ et $\sin(150°)$ à l'aide des angles associés ($150°=180°-30°$).
3) Un rayon fait un angle de $240°$ avec l'horizontale : donner les coordonnées de son extrémité sur le cercle trigonométrique.
Problème — Horloge décorative
Problème. Un artisan fabrique une horloge décorative circulaire, dont les repères sont positionnés sur un cercle trigonométrique de rayon $1$ (à l'échelle).
Partie A.
1) Calculer $\cos\!\left(\dfrac{2\pi}3\right)$ et $\sin\!\left(\dfrac{2\pi}3\right)$ en justifiant avec les angles associés ($\frac{2\pi}3=\pi-\frac\pi3$).
2) Calculer $\cos\!\left(\dfrac{7\pi}6\right)$ et $\sin\!\left(\dfrac{7\pi}6\right)$ sachant que $\frac{7\pi}6=\pi+\frac\pi6$.
Partie B.
3) Résoudre $\sin x=\dfrac{\sqrt3}2$ sur $[0;2\pi[$.
4) Résoudre $\cos x=-1$ sur $[0;2\pi[$ et interpréter géométriquement.
Voir le corrigé
- $\cos(2\pi/3)=-\cos(\pi/3)=-1/2$ ; $\sin(2\pi/3)=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$.
- $\cos(7\pi/6)=-\cos(\pi/6)=-\sqrt3/2$ ; $\sin(7\pi/6)=-\sin(\pi/6)=-1/2$.
- $x_0=\pi/3$ convient ; l'autre solution est $\pi-\pi/3=2\pi/3$. Sur $[0;2\pi[$ : $x\in\{\pi/3\,;\,2\pi/3\}$.
- Un seul point du cercle a pour abscisse $-1$ (le point $(-1;0)$) : $x=\pi$ uniquement sur $[0;2\pi[$.
Mesure principale, degrés et radians
On rappelle que la mesure principale d'un arc ou d'un angle orienté est celle de ses mesures qui appartient à l'intervalle \(]-\pi\,;\pi]\).
1) Donne la mesure principale des angles orientés dont une mesure est \(\dfrac{13\pi}{3}\), \(-\dfrac{7\pi}{4}\), \(\dfrac{19\pi}{6}\) et \(-\dfrac{15\pi}{2}\).
2) Convertis \(120^\circ\) en radians, puis \(\dfrac{5\pi}{12}\) radians en degrés.
3) Les nombres \(\dfrac{7\pi}{5}\) et \(-\dfrac{13\pi}{5}\) sont-ils deux mesures d'un même arc orienté ? Même question pour \(\dfrac{\pi}{3}\) et \(\dfrac{4\pi}{3}\).
Voir le corrigé
1) On ajoute ou on retire des multiples de \(2\pi\), écrits avec le même dénominateur. \(\dfrac{13\pi}{3}-4\pi=\dfrac{13\pi}{3}-\dfrac{12\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}\). \(-\dfrac{7\pi}{4}+2\pi=-\dfrac{7\pi}{4}+\dfrac{8\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}\). \(\dfrac{19\pi}{6}-4\pi=\dfrac{19\pi}{6}-\dfrac{24\pi}{6}=-\dfrac{5\pi}{6}\) (retirer seulement \(2\pi\) donnerait \(\dfrac{7\pi}{6}\), qui dépasse \(\pi\)). \(-\dfrac{15\pi}{2}+8\pi=-\dfrac{15\pi}{2}+\dfrac{16\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}\). Chaque résultat est bien dans \(]-\pi\,;\pi]\).
2) \(180^\circ\) correspondent à \(\pi\) radians. Donc \(120^\circ=120\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{2\pi}{3}\) radians, et \(\dfrac{5\pi}{12}\) radians valent \(\dfrac{5\pi}{12}\times\dfrac{180}{\pi}=\dfrac{900}{12}=75^\circ\).
3) Deux nombres sont des mesures d'un même arc orienté lorsque leur différence est un multiple entier de \(2\pi\). \(\dfrac{7\pi}{5}-\left(-\dfrac{13\pi}{5}\right)=\dfrac{20\pi}{5}=4\pi=2\times 2\pi\) : oui, ils mesurent le même arc (à deux tours près). \(\dfrac{4\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3}=\pi\), qui n'est pas un multiple entier de \(2\pi\) : non, ce sont deux arcs différents, qui diffèrent d'un demi-tour.
Réponse : 1) \(\dfrac{\pi}{3}\) ; \(\dfrac{\pi}{4}\) ; \(-\dfrac{5\pi}{6}\) ; \(\dfrac{\pi}{2}\). 2) \(120^\circ=\dfrac{2\pi}{3}\) rad ; \(\dfrac{5\pi}{12}\) rad \(=75^\circ\). 3) Oui pour le premier couple (différence \(4\pi\)), non pour le second (différence \(\pi\)).
Arcs orientés sur un octogone régulier
\(ABCDEFGH\) est un octogone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique. Ses sommets sont nommés dans le sens direct et \(A\) est l'origine \(I\) du cercle.
1) Donne la mesure principale des arcs orientés \((A\,;B)\), \((A\,;D)\) et \((A\,;F)\).
2) Donne la mesure principale des arcs orientés \((C\,;A)\), \((H\,;C)\) et \((F\,;B)\).
3) Vérifie la relation de Chasles sur les arcs \((A\,;C)\), \((C\,;F)\) et \((A\,;F)\).
4) On trace le même octogone dans un cercle de rayon 5 cm. Calcule la longueur du petit arc qui joint \(A\) à \(D\) (valeur exacte et valeur arrondie au centième).
Angles orientés dans un triangle et sur une horloge
Partie A. \(ABC\) est un triangle rectangle et isocèle en \(A\), dont les sommets \(A\), \(B\), \(C\) sont nommés dans le sens direct.
1) Donne la mesure principale des angles orientés \(([AB)\,;[AC))\) et \(([AC)\,;[AB))\).
2) Donne la mesure principale des angles orientés \(([BC)\,;[BA))\), \(([CA)\,;[CB))\) et \(([CB)\,;[CA))\).
Partie B. Sur le cadran d'une horloge, on repère la position de la grande aiguille (celle des minutes) par la demi-droite qui la porte. On note \([Ox)\) sa position de départ.
3) Donne la mesure principale de l'angle orienté dont la grande aiguille a tourné au bout de 25 minutes.
4) Donne une mesure, puis la mesure principale, de l'angle orienté dont elle a tourné au bout de 3 heures 20 minutes.