Transformation du plan

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Une homothétie de rapport $k=1$ est en réalité :
a) une rotation   b) une translation   c) une symétrie   d) l'identité seulement si le centre est l'origine

2) Soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega(0;0)$ et de rapport $k=-2$. L'image de $A(3;1)$ est :
a) $(-6;-2)$   b) $(6;2)$   c) $(-3;-1)$   d) $(1;3)$

3) La réciproque d'une homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k=4$ est :
a) l'homothétie de centre $\Omega$, rapport $-4$   b) l'homothétie de centre $\Omega$, rapport $\dfrac14$   c) la translation de vecteur $\overrightarrow{\Omega\Omega}$   d) l'homothétie de centre $\Omega$, rapport $4$

4) $h_1$ de rapport $k_1=3$ et $h_2$ de rapport $k_2=\dfrac13$ (centres distincts) ont pour composée :
a) une homothétie de rapport $1$   b) une translation   c) une homothétie de rapport $9$   d) l'identité

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) L'homothétie de centre $O$ et de rapport $k=-2$ transforme un cercle de rayon $3$ en un cercle de rayon :
a) $6$   b) $-6$   c) $1{,}5$   d) $9$

2) Une homothétie de rapport $k=1$ est :
a) l'identité   b) une symétrie centrale   c) une rotation   d) une translation

3) Une rotation d'angle $180°$ coïncide avec :
a) une symétrie centrale de même centre   b) une symétrie orthogonale   c) une translation   d) l'identité

4) L'image du point $A(2;5)$ par l'homothétie de centre $O(0;0)$ et de rapport $k=3$ est :
a) $(6;15)$   b) $(5;8)$   c) $\left(\dfrac23;\dfrac53\right)$   d) $(-6;-15)$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un géomètre doit agrandir le plan d'une parcelle pour un dossier de lotissement. Sur le plan original, un sommet $A$ du terrain a pour coordonnées $A(2;3)$ et un autre sommet $B(4;-1)$, dans un repère dont l'origine $\Omega(0;0)$ est le coin de référence du lotissement. Le règlement impose un agrandissement de rapport $k=2{,}5$ pour établir le plan final.

Consigne : Déterminer les coordonnées des points $A'$ et $B'$, images de $A$ et $B$ par cette homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $2{,}5$. Calculer ensuite les distances $AB$ et $A'B'$, et vérifier que $A'B'=2{,}5\times AB$ (propriété de conservation des distances à un facteur $k$ près).

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un artisan sculpteur agrandit un motif décoratif pour une fresque murale, à partir d'un motif original centré en $O(0;0)$ possédant un point caractéristique $A(3;2)$. Il applique une homothétie de centre $O$ et de rapport $k=4$.

Consigne : 1) Calculer les coordonnées du point $A'$, image de $A$. 2) Le motif original tient dans un cercle de rayon $1{,}5$ m centré en $O$ ; quel est le rayon du cercle contenant le motif agrandi ? 3) L'aire du motif original est de $0{,}8$ m² ; quelle est l'aire du motif agrandi (rappel : l'homothétie multiplie les aires par $k^2$) ?

Exercice supplémentaire. Un sculpteur agrandit un motif : le point $A(2;3)$ est l'image du point $A'(1\,;1{,}5)$ par une homothétie de centre $O(0;0)$.

1) Déterminer le rapport $k$ de cette homothétie.
2) Le point $B'(3;-2)$ a pour image $B$ par cette même homothétie : calculer les coordonnées de $B$.
3) Si l'aire du motif initial est $5$ cm², quelle est l'aire du motif agrandi ?

Problème — Soit $h_1$ l'homothétie de centre $A(1;2)$, rapport $k_1=2$, et $h_2$ l'homothétie de centre $B(4;0)$, rapport $k_2=\dfrac12$.

Partie A. 1) Justifier que $h_1\circ h_2$ est une homothétie-translation et calculer son rapport. 2) En déduire précisément la nature de $h_1\circ h_2$.

Partie B. Déterminer le vecteur de cette translation, en calculant l'image de $O(0;0)$ par $h_1\circ h_2$ (calculer d'abord $h_2(O)$, puis $h_1$ appliqué à ce résultat).

Partie C. Soit $M(x;y)$ un point quelconque du plan. 1) Donner l'expression analytique de $h_1\circ h_2$ sous la forme $(x';y')$ en fonction de $(x;y)$. 2) Vérifier la cohérence de cette expression avec le résultat de la Partie B en substituant $x=0$, $y=0$.

Problème.

Partie A. Soit $O(1;1)$ et l'homothétie de centre $O$, de rapport $k=-\dfrac12$.
1) Calculer l'image $B'$ du point $B(5;3)$.

Partie B. Soit la rotation de centre $O(0;0)$ et d'angle $90°$ (sens direct). On admet que l'image d'un point $M(x;y)$ par cette rotation a pour coordonnées $(-y;x)$.
2) Calculer l'image $C'$ de $C(3;-4)$ par cette rotation.
3) Vérifier que $OC=OC'$ (conservation des distances).

Partie C.
4) Le point $C'$ obtenu en B.2 est-il aussi l'image de $C$ par la symétrie centrale de centre $O$ (qui envoie $M$ sur $-M$) ? Justifier.