Première D · Leçon 10
Angles orientés et trigonométrie
Ce que dit le programme officiel (14 points)
- Angles orientés d’un couple de vecteurs non nuls ou de demi-droites
- Relation de Chasles
- Double d’un angle orienté
- Utiliser la relation de Chasles dans la résolution des problèmes
- Définir le double d’un angle orienté
- Déterminer les propriétés du double d’un angle orienté
- Trigonométrie : angles associés
- Utiliser les lignes trigonométriques des angles associés dans la résolution des problèmes
- Formules usuelles pour la somme, la différence et le double de mesures d’angles : cosinus, sinus et tangente d’une somme, d’une différence ; cosinus, sinus et tangente du double
- Retrouver ces formules et les utiliser
- Équations et inéquations trigonométriques
- Résolution d’équations et d’inéquations des types suivants : cos x = a, sin x = a, tan x = a, cos x < a, sin x ≥ a, tan x < a, a cos x + b sin x = c
- Résoudre ces équations et inéquations trigonométriques
- Limite : le commentaire indique « Le cas général a cos x + b sin x = c ne sera pas traité », alors que ce type figure dans la colonne des contenus
Source : Programme de mathématiques, classe de Première D, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Bases orthonormées directes et angle orienté de deux vecteurs
Ce chapitre s'appuie directement sur les acquis de Seconde concernant les angles orientés de vecteurs. L'objectif : donner un sens précis au cosinus et au sinus de l'angle entre deux vecteurs quelconques, pas seulement sur le cercle trigonométrique.
Sur le cercle trigonométrique (centre \(O\), rayon \(1\)), le cosinus d'un réel \(x\) est l'abscisse du point associé, le sinus en est son ordonnée, avec toujours \(\cos^2x+\sin^2x=1\). Ce chapitre étend ces notions au cosinus et au sinus de l'angle entre deux vecteurs quelconques, pas seulement sur le cercle.
Une base \((\vec i,\vec j)\) est orthonormée si \(\vec i\) et \(\vec j\) sont unitaires (\(\|\vec i\|=\|\vec j\|=1\)) et orthogonaux. Elle est directe si \(\vec j\) s'obtient à partir de \(\vec i\) par une rotation de \(+90°\) (sens trigonométrique / anti-horaire) ; sinon elle est indirecte.
Étant donné un vecteur unitaire \(\vec u\), il existe un seul vecteur unitaire \(\vec v\) tel que \((\vec u,\vec v)\) soit une base orthonormée directe.
Dans une base orthonormée directe, si \(\vec u(x;y)\) et \(\vec v(x';y')\) sont non nuls, et \(\theta=(\widehat{\vec u,\vec v})\) :
\[ \cos\theta = \dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|} = \dfrac{xx'+yy'}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}, \qquad \sin\theta = \dfrac{xy'-x'y}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|} = \dfrac{\det(\vec u,\vec v)}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}. \]Le cosinus se calcule avec le produit scalaire (déjà vu en Seconde), le sinus avec le déterminant — les deux notions se retrouvent ici réunies.
\(\vec u(1;0)\), \(\vec v(0;1)\) : \(\vec u\cdot\vec v=0\), \(\det(\vec u,\vec v)=1\times1-0\times0=1\). \(\|\vec u\|=\|\vec v\|=1\). Donc \(\cos\theta=0\), \(\sin\theta=1\), soit \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) — cohérent avec deux vecteurs orthogonaux formant une base directe.
\(\vec u(2;0)\), \(\vec v(1;\sqrt3)\) : \(\vec u\cdot\vec v=2\), \(\det(\vec u,\vec v)=2\sqrt3-0=2\sqrt3\). \(\|\vec u\|=2\), \(\|\vec v\|=2\). \(\cos\theta=\dfrac{2}{4}=\dfrac12\), \(\sin\theta=\dfrac{2\sqrt3}{4}=\dfrac{\sqrt3}{2}\) : \(\theta=\dfrac{\pi}{3}\).
Figure interactive — Angle entre deux vecteurs
Angles associés
Rappel de SecondeSur le cercle trigonométrique (centre \(O\), rayon \(1\)), à tout réel \(x\) on associe le point \(M\) obtenu en parcourant une longueur d'arc \(x\) à partir du point \((1;0)\) (sens direct si \(x>0\)). Le cosinus de \(x\) est l'abscisse de \(M\), le sinus de \(x\) est son ordonnée.
Pour les angles remarquables (en radians) :
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \pi/6 & \pi/4 & \pi/3 & \pi/2 \\ \hline \cos x & 1 & \sqrt3/2 & \sqrt2/2 & 1/2 & 0 \\ \sin x & 0 & 1/2 & \sqrt2/2 & \sqrt3/2 & 1 \end{array} \]À partir du cercle trigonométrique, on retrouve directement :
\[ \cos(-x)=\cos x,\quad \sin(-x)=-\sin x,\quad \cos(\pi-x)=-\cos x,\quad \sin(\pi-x)=\sin x, \] \[ \cos(\pi+x)=-\cos x,\quad \sin(\pi+x)=-\sin x,\quad \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,\quad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x. \]Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresFigure interactive — Cercle trigonométrique
Déplacez le curseur pour voir le point M se déplacer sur le cercle ; ses coordonnées sont \((\cos x\,;\,\sin x)\).
Formules d'addition et de duplication
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Voir les offresDirecte : \(\vec j\) = rotation de \(+90°\) de \(\vec i\). Un seul \(\vec v\) unitaire complète \(\vec u\) en base directe.
\(\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\) — produit scalaire normalisé.
\(\sin\theta=\dfrac{\det(\vec u,\vec v)}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\) — déterminant normalisé.
\(\vec u\cdot\vec v=0\) : orthogonaux. \(\det=0\) : colinéaires.
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Voir les offresDans une base orthonormée directe, on donne \(\vec u(3;4)\) et \(\vec v(-4;3)\).
Question 1. Calculer \(\|\vec u\|\) et \(\|\vec v\|\).
\(\|\vec u\|=\sqrt{9+16}=5\). \(\|\vec v\|=\sqrt{16+9}=5\).
Question 2. Calculer \(\vec u\cdot\vec v\) et \(\det(\vec u,\vec v)\), puis en déduire \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\) pour \(\theta=(\widehat{\vec u,\vec v})\).
\(\vec u\cdot\vec v=3\times(-4)+4\times3=-12+12=0\). \(\det(\vec u,\vec v)=3\times3-(-4)\times4=9+16=25\).
\(\cos\theta=\dfrac{0}{25}=0\), \(\sin\theta=\dfrac{25}{25}=1\).
Question 3. En déduire la valeur de \(\theta\).
\(\cos\theta=0\) et \(\sin\theta=1\) : \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\). Les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont orthogonaux (cohérent avec \(\vec u\cdot\vec v=0\)) et forment une base directe (cohérent avec \(\sin\theta>0\)).
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