Première D · Leçon 7
Suites numériques
Ce que dit le programme officiel (21 points)
- Définitions d’une suite : par la donnée d’un graphique
- Définitions d’une suite : par la donnée d’une ou plusieurs formules
- Définitions d’une suite : par récurrence
- Définir une suite numérique en fonction de son mode de génération
- Déterminer les premiers termes d’une suite numérique
- Exprimer en fonction de n les termes uₙ₊₁, uₙ₊₂, u₂ₙ … d’une suite u définie par uₙ = f(n)
- Limite : « définie par récurrence » fait référence aux suites définies par un 1er terme donné et uₙ₊₁ = f(uₙ)
- Initiation au raisonnement par récurrence
- Reconnaître le principe du raisonnement par récurrence et l’utiliser pour résoudre des problèmes
- Limite : l’initiation au raisonnement par récurrence se fait sur des exemples simples
- Variation d’une suite
- Étudier le sens de variation d’une suite
- Cas particulier des suites : suites arithmétiques
- Cas particulier des suites : suites géométriques
- Reconnaître et caractériser (raison, 1er terme) une suite arithmétique, une suite géométrique
- Déterminer l’expression du terme général d’une suite arithmétique ou d’une suite géométrique en fonction de n
- Calculer la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique ou arithmétique
- Notion de convergence : sur des exemples variés, observation du type de comportement des suites quand n croît « infiniment »
- Déterminer le comportement d’une suite numérique quand n croît « infiniment »
- Reconnaître les conditions de convergence d’une suite géométrique, d’une suite arithmétique
- Limite : dans le cas général, on approche seulement la notion de convergence ; aucune formalisation n’est exposée
Source : Programme de mathématiques, classe de Première D, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Suites : définition, modes de génération
Une suite \((u_n)\) est une liste ordonnée de réels indexée par les entiers. Deux façons courantes de la générer : \(u_n=f(n)\) (terme explicite en fonction du rang \(n\)), ou par récurrence : \(u_{n+1}=f(u_n)\) connaissant le premier terme.
On distingue bien le rang (la position \(n\)) de la valeur \(u_n\) elle-même. Attention à la notation indicielle : \(u_{n+3}\) est le terme de rang \(n+3\), pas \(u_n+3\).
\((u_n)\) est arithmétique de raison \(a\) si \(u_{n+1}=u_n+a\) pour tout \(n\) (on ajoute toujours la même quantité). \((u_n)\) est géométrique de raison \(b\) si \(u_{n+1}=b\,u_n\) (on multiplie toujours par la même quantité).
Arithmétique (premier terme \(u_0\), raison \(a\)) :
\[ u_p = u_0+pa, \qquad u_0+u_1+\cdots+u_{n-1} = n\,\dfrac{u_0+u_{n-1}}{2}. \]Géométrique (premier terme \(u_0\), raison \(b\ne1\)) :
\[ u_p = u_0\,b^p, \qquad u_0+u_1+\cdots+u_{n-1} = u_0\,\dfrac{1-b^n}{1-b}. \]Cas particuliers utiles : \(1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\) et \(1+b+b^2+\cdots+b^n=\dfrac{1-b^{n+1}}{1-b}\) (\(b\ne1\)).
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Voir les offresSuites récurrentes uₙ₊₁ = f(uₙ) et point fixe
Un capital placé à la banque, une population qui évolue d'une année sur l'autre, le niveau d'eau d'un réservoir que l'on remplit et vide chaque jour : dans toutes ces situations, on ne connaît pas directement la valeur à une date quelconque, mais on sait passer d'une valeur à la suivante. C'est exactement ce que décrit une suite définie par récurrence.
Soit \(f\) une fonction. Une suite \((u_n)\) est définie par récurrence lorsque l'on donne :
- son premier terme, par exemple \(u_0\) ;
- une relation de récurrence \(u_{n+1}=f(u_n)\), valable pour tout entier naturel \(n\), qui permet de calculer chaque terme à partir du précédent.
Les termes s'obtiennent alors de proche en proche : \(u_1=f(u_0)\), puis \(u_2=f(u_1)\), puis \(u_3=f(u_2)\), et ainsi de suite.
Deux façons de définir une suite, à ne pas confondre. Avec une formule explicite \(u_n=g(n)\), on calcule directement n'importe quel terme à partir de son rang : pour \(u_n=n^2-2\), on a tout de suite \(u_{10}=98\). Avec une relation de récurrence, on applique la fonction au terme précédent, pas au rang : pour obtenir \(u_{10}\), il faut d'abord calculer \(u_1\), \(u_2\), …, \(u_9\).
Des suites déjà connues. Une suite arithmétique de raison \(r\) est définie par \(u_{n+1}=u_n+r\) : c'est une suite récurrente, avec \(f(x)=x+r\). Une suite géométrique de raison \(q\) est définie par \(u_{n+1}=q\,u_n\), avec \(f(x)=qx\).
Calculer les premiers termes. On part du premier terme et l'on applique la relation autant de fois qu'il le faut, en présentant les résultats dans un tableau à deux lignes (le rang \(n\), le terme \(u_n\)). À la calculatrice, on saisit le premier terme, puis on répète le même calcul sur le dernier résultat.
Traduire une situation. On appelle \(u_n\) la quantité étudiée à l'étape \(n\) et l'on écrit ce qui se passe entre l'étape \(n\) et l'étape \(n+1\). Une augmentation de 5 % multiplie par 1,05 ; un ajout fixe s'additionne.
Étudier le sens de variation. On calcule la différence \(u_{n+1}-u_n\) en remplaçant \(u_{n+1}\) par \(f(u_n)\), et l'on étudie son signe. Si elle est positive pour tout \(n\), la suite est croissante ; si elle est négative pour tout \(n\), la suite est décroissante.
Cas d'une suite constante. Si le premier terme \(u_0\) est une solution de l'équation \(f(x)=x\), alors \(u_1=f(u_0)=u_0\), puis \(u_2=u_0\), etc. : tous les termes sont égaux à \(u_0\).
Énoncé. a) La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=2u_n+3\). Calculer \(u_1\) à \(u_5\), puis étudier le sens de variation de la suite. b) On place 100 000 francs sur un compte qui rapporte 5 % par an, et l'on y ajoute 20 000 francs à la fin de chaque année. On note \(c_n\) le capital après \(n\) années. Écrire la relation de récurrence et calculer \(c_3\).
Solution : a) \(u_1=2\times 1+3=5\) ; \(u_2=2\times 5+3=13\) ; \(u_3=2\times 13+3=29\) ; \(u_4=2\times 29+3=61\) ; \(u_5=2\times 61+3=125\).
Pour tout \(n\), \(u_{n+1}-u_n=2u_n+3-u_n=u_n+3\). Or tous les termes sont positifs : le premier l'est, et chaque terme s'obtient à partir du précédent en le multipliant par 2 et en ajoutant 3. Donc \(u_{n+1}-u_n\gt 0\) : la suite est croissante.
b) Chaque année, le capital est multiplié par 1,05, puis augmenté de 20 000 : \(c_0=100\,000\) et \(c_{n+1}=1{,}05\,c_n+20\,000\). On calcule \(c_1=125\,000\), \(c_2=1{,}05\times 125\,000+20\,000=151\,250\), puis \(c_3=1{,}05\times 151\,250+20\,000=178\,812{,}5\). Après trois ans, le capital est de 178 812,5 francs.
Première représentation : les points \((n\,;u_n)\). On place dans un repère les points d'abscisse le rang et d'ordonnée le terme. On ne les relie pas : une suite n'est définie que pour les entiers.
Seconde représentation : la construction « en escalier ». Elle place les termes sur l'axe des abscisses sans aucun calcul. On trace la courbe \(\mathcal C\) de la fonction \(f\) et la droite \(\Delta\) d'équation \(y=x\).
- On place \(u_0\) sur l'axe des abscisses.
- On monte (ou l'on descend) verticalement jusqu'à la courbe \(\mathcal C\) : le point atteint a pour ordonnée \(f(u_0)=u_1\).
- On se déplace horizontalement jusqu'à la droite \(\Delta\) : le point atteint a pour abscisse \(u_1\). On reporte \(u_1\) sur l'axe des abscisses.
- On recommence à partir de \(u_1\) pour obtenir \(u_2\), et ainsi de suite.
La droite \(\Delta\) sert à « rabattre » une ordonnée sur l'axe des abscisses. Les abscisses des points où \(\mathcal C\) coupe \(\Delta\) sont les solutions de \(f(x)=x\) : ce sont les valeurs de \(u_0\) pour lesquelles la suite est constante.
Figure — La construction en escalier pour u₀ = 1 et f(x) = 0,5x + 2
En bleu marine, la droite d'équation y = 0,5x + 2 (courbe de f) ; en or, la droite d'équation y = x. Le trajet bleu part de 1 sur l'axe des abscisses, monte jusqu'à la courbe, rejoint horizontalement la droite dorée, et recommence. Les traits verticaux en pointillés reportent sur l'axe les termes 1 ; 2,5 ; 3,25 ; 3,625. Les marches se resserrent près du point d'intersection des deux droites, d'abscisse 4.
Énoncé. La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=0{,}5\,u_n+2\). a) Calculer \(u_1\) à \(u_5\). b) Que suggère la construction en escalier de la figure ci-dessus ? c) Que devient la suite si l'on prend \(u_0=4\) ? et \(u_0=6\) ?
Solution : a) \(u_1=0{,}5\times 1+2=2{,}5\) ; \(u_2=0{,}5\times 2{,}5+2=3{,}25\) ; \(u_3=3{,}625\) ; \(u_4=3{,}8125\) ; \(u_5=3{,}90625\).
b) Les termes reportés sur l'axe des abscisses avancent vers la droite : la suite semble croissante. Les marches sont de plus en plus petites et les termes s'approchent de 4, abscisse du point d'intersection des deux droites, sans le dépasser. Le calcul du a) va dans le même sens. Ce sont des observations : le graphique ne constitue pas une démonstration.
c) L'équation \(f(x)=x\) s'écrit \(0{,}5x+2=x\), soit \(x=4\). Avec \(u_0=4\), on trouve \(u_1=0{,}5\times 4+2=4\), puis \(u_2=4\)… : la suite est constante. Avec \(u_0=6\), on obtient \(u_1=5\), \(u_2=4{,}5\), \(u_3=4{,}25\) : cette fois les termes diminuent en s'approchant de 4. Le premier terme change le comportement de la suite.
Figure — Les points (n ; uₙ) de la même suite
Les six premiers termes de la suite de l'exemple 2, représentés par les points de coordonnées (0 ; 1), (1 ; 2,5), (2 ; 3,25), (3 ; 3,625), (4 ; 3,8125) et (5 ; 3,90625). Les points montent de moins en moins vite et se rapprochent de la droite en pointillés d'équation y = 4. On ne relie pas les points.
Énoncé. On reprend la suite définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=0{,}5\,u_n+2\). Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(v_n=u_n-4\). a) Montrer que la suite \((v_n)\) est géométrique. b) En déduire l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\), puis calculer \(u_{10}\).
Solution : a) Pour tout \(n\), \(v_{n+1}=u_{n+1}-4=0{,}5\,u_n+2-4=0{,}5\,u_n-2=0{,}5\,(u_n-4)=0{,}5\,v_n\). La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison 0,5 ; son premier terme est \(v_0=u_0-4=-3\).
b) On en déduit \(v_n=-3\times 0{,}5^{\,n}\), puis \(u_n=v_n+4\), c'est-à-dire
\[u_n=4-3\times 0{,}5^{\,n}.\]Vérification : pour \(n=1\), la formule donne \(4-1{,}5=2{,}5\), valeur trouvée à l'exemple 2. Enfin \(u_{10}=4-\dfrac{3}{1024}\approx 3{,}997\). On a obtenu \(u_{10}\) sans calculer les neuf termes qui le précèdent : c'est tout l'intérêt d'une formule explicite. Le nombre 4 retranché n'est pas choisi au hasard : c'est la solution de \(f(x)=x\).
Appliquer la fonction au rang. Pour \(u_0=3\) et \(u_{n+1}=u_n^{\,2}-2\), on a \(u_1=3^2-2=7\) et \(u_2=7^2-2=47\). Écrire \(u_2=2^2-2=2\) revient à utiliser la formule explicite \(u_n=n^2-2\), qui définit une autre suite.
Confondre \(u_{n+1}\) et \(u_n+1\). \(u_{n+1}\) est le terme qui suit \(u_n\) ; \(u_n+1\) est le terme \(u_n\) augmenté de 1. Pour la suite de l'exemple 1, \(u_1=5\) alors que \(u_0+1=2\).
Oublier le premier terme. La relation de récurrence seule ne définit pas la suite : avec la même relation, \(u_0=1\), \(u_0=4\) et \(u_0=6\) donnent trois suites différentes (exemple 2).
Prendre une lecture graphique pour une preuve. Le graphique permet de conjecturer le sens de variation ; pour le démontrer, on étudie le signe de \(u_{n+1}-u_n\).
Raisonnement par récurrence
\((u_n)\) est majorée par \(M\) si \(u_n\le M\) pour tout \(n\) (de même pour minorée). Elle est croissante si \(u_{n+1}\ge u_n\) pour tout \(n\) (décroissante si \(u_{n+1}\le u_n\)), périodique de période \(T\) si \(u_{n+T}=u_n\) pour tout \(n\).
Pour démontrer qu'une propriété \(P(n)\) est vraie pour tout entier \(n\ge n_0\), il suffit de montrer :
a) Initialisation : \(P(n_0)\) est vraie.
b) Hérédité : pour un entier quelconque \(n\ge n_0\), si \(P(n)\)
est vraie alors \(P(n+1)\) l'est aussi.
c) Conclusion : \(P(n)\) est vraie pour tout \(n\ge n_0\).
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Voir les offresFigure interactive — Termes d'une suite
Les points représentent \((n\,;\,u_n)\) pour \(n=0,\ldots,10\).
Limite d'une suite, convergence, limites usuelles
Les suites de terme général \(n\), \(n^2\), \(n^3\) tendent vers \(+\infty\) : on note \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\). Les suites de terme général \(\dfrac1n\), \(\dfrac1{n^2}\), \(\dfrac1{\sqrt n}\) tendent vers \(0\) : on note \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=L\) (ici \(L=0\)). L'unicité de la limite est admise.
Pour \(u_n=k^n\) avec \(k>0\) :
• si \(0\leqslant k<1\), alors \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}k^n=0\) ;
• si \(k>1\), alors \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}k^n=+\infty\).
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Voir les offresFigure — \((0{,}5)^n\to0\) contre \((1{,}5)^n\to+\infty\)
Même point de départ (\(k^0=1\)), comportements opposés selon que \(k<1\) ou \(k>1\).
Les limites d'une somme, d'un produit par une constante, d'un produit, d'un inverse et d'un quotient de suites s'obtiennent en combinant les limites de chaque suite (sauf formes indéterminées, hors programme).
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
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Un premier terme et une relation \(u_{n+1}=f(u_n)\) : chaque terme se calcule à partir du précédent.
De proche en proche : \(u_1=f(u_0)\), \(u_2=f(u_1)\)… On ne remplace pas \(n\) dans \(f\).
On étudie le signe de \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\).
Courbe de \(f\) et droite \(y=x\) : verticale jusqu'à la courbe, horizontale jusqu'à la droite.
Si \(f(u_0)=u_0\), tous les termes sont égaux à \(u_0\).
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