Première D · Leçon 6
Primitives
Ce que dit le programme officiel (6 points)
- Notion de primitives d’une fonction continue sur un intervalle
- Détermination de primitives d’une fonction
- Définir une primitive d’une fonction continue sur un intervalle
- Déterminer l’ensemble des primitives d’une fonction
- Déterminer la primitive d’une fonction prenant une valeur donnée en un point donné
- Limite : on se limite à des cas simples : fonctions polynômes, fonction sinus, fonction cosinus
Source : Programme de mathématiques, classe de Première D, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Primitives : définition, primitives usuelles
Tu sais dériver : à partir d'une fonction, tu calcules sa dérivée. Dans cette leçon, on fait le chemin inverse. On connaît la dérivée et on cherche la fonction de départ. Cette question se pose souvent en sciences : on connaît la vitesse d'un mobile à chaque instant et on veut retrouver sa position ; on connaît le rythme auquel une quantité varie et on veut retrouver cette quantité. La fonction cherchée s'appelle une primitive. Tu vas apprendre à reconnaître une primitive, à trouver toutes les primitives d'une fonction simple (polynôme, sinus, cosinus) et à choisir celle qui prend une valeur donnée en un point.
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\). On appelle primitive de \(f\) sur \(I\) toute fonction \(F\) dérivable sur \(I\) telle que, pour tout \(x\) de \(I\),
\[F'(x)=f(x).\]Autrement dit : \(F\) est une primitive de \(f\) signifie que \(f\) est la dérivée de \(F\).
Premiers exemples. La fonction \(F(x)=x^2\) est une primitive sur \(\mathbb{R}\) de \(f(x)=2x\), car \(F'(x)=2x\). La fonction \(G(x)=x^2+5\) en est une autre, car la dérivée de la constante 5 est nulle : \(G'(x)=2x\). Une même fonction a donc plusieurs primitives.
Comment vérifier. Pour savoir si \(F\) est une primitive de \(f\), on ne « devine » rien : on dérive \(F\) et on compare le résultat à \(f\).
Existence (admise). Toute fonction continue sur un intervalle \(I\) admet des primitives sur \(I\).
Théorème. Soit \(F\) une primitive de \(f\) sur l'intervalle \(I\). Les primitives de \(f\) sur \(I\) sont exactement les fonctions
\[x\longmapsto F(x)+k,\quad k \text{ constante réelle.}\]Démonstration. D'abord, pour toute constante \(k\), la fonction \(F+k\) a pour dérivée \(F'+0=f\) : c'est bien une primitive de \(f\). Réciproquement, soit \(G\) une primitive quelconque de \(f\) sur \(I\). La fonction \(G-F\) a pour dérivée \(G'-F'=f-f=0\) sur \(I\). Or une fonction dont la dérivée est nulle sur un intervalle est constante sur cet intervalle. Il existe donc un réel \(k\) tel que \(G(x)-F(x)=k\), c'est-à-dire \(G(x)=F(x)+k\) pour tout \(x\) de \(I\).
Conséquence : primitive prenant une valeur donnée. Soit \(x_0\) un point de \(I\) et \(y_0\) un réel. Il existe une unique primitive \(G\) de \(f\) sur \(I\) telle que \(G(x_0)=y_0\). En effet, la condition \(F(x_0)+k=y_0\) fixe une seule valeur de la constante : \(k=y_0-F(x_0)\).
Lecture graphique. Les courbes des primitives de \(f\) se déduisent l'une de l'autre par une translation verticale. Par chaque point du plan dont l'abscisse est dans \(I\), il passe une seule de ces courbes.
Chaque ligne se vérifie en dérivant la fonction de droite. Dans tout le tableau, \(k\) désigne une constante réelle et l'intervalle est \(\mathbb{R}\).
| Fonction \(f\) | Primitives de \(f\) |
|---|---|
| \(f(x)=a\) (constante) | \(F(x)=ax+k\) |
| \(f(x)=x\) | \(F(x)=\dfrac{x^2}{2}+k\) |
| \(f(x)=x^n\), \(n\) entier naturel non nul | \(F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+k\) |
| \(f(x)=\cos x\) | \(F(x)=\sin x+k\) |
| \(f(x)=\sin x\) | \(F(x)=-\cos x+k\) |
Somme. Si \(U\) est une primitive de \(u\) et \(V\) une primitive de \(v\) sur \(I\), alors \(U+V\) est une primitive de \(u+v\) sur \(I\).
Produit par un nombre. Si \(U\) est une primitive de \(u\) sur \(I\) et si \(a\) est un réel, alors \(aU\) est une primitive de \(au\) sur \(I\).
Ces deux règles viennent directement des règles de dérivation \((U+V)'=U'+V'\) et \((aU)'=aU'\). Elles suffisent pour trouver les primitives de n'importe quelle fonction polynôme : on traite chaque terme séparément. Par exemple, une primitive de \(5x^3\) est \(5\times\dfrac{x^4}{4}=\dfrac{5x^4}{4}\).
- Repère l'intervalle sur lequel la fonction est continue. Pour une fonction polynôme, pour le sinus et pour le cosinus, c'est \(\mathbb{R}\).
- Sépare les termes de la somme et mets les coefficients de côté.
- Applique le tableau à chaque terme : pour \(x^n\), on augmente l'exposant de 1 et on divise par le nouvel exposant ; un terme constant \(a\) donne \(ax\).
- Ajoute la constante \(k\) : tu obtiens ainsi toutes les primitives.
- Contrôle en dérivant ton résultat : tu dois retrouver exactement la fonction de départ. Ce contrôle prend quelques secondes et évite presque toutes les erreurs.
On cherche la primitive \(F\) de \(f\) telle que \(F(x_0)=y_0\).
- Écris la forme générale des primitives : \(F(x)=\ldots+k\).
- Remplace \(x\) par \(x_0\) et écris l'équation \(F(x_0)=y_0\). L'inconnue est \(k\).
- Résous cette équation : elle donne une seule valeur de \(k\).
- Écris la primitive obtenue, puis vérifie les deux conditions : \(F'=f\) et \(F(x_0)=y_0\).
Sur un dessin, cela revient à choisir, parmi toutes les courbes des primitives, celle qui passe par le point de coordonnées \((x_0;y_0)\).
Énoncé. Détermine toutes les primitives sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \(f(x)=6x^2-4x+5\).
Solution. On traite chaque terme. Une primitive de \(x^2\) est \(\dfrac{x^3}{3}\), donc une primitive de \(6x^2\) est \(6\times\dfrac{x^3}{3}=2x^3\). Une primitive de \(x\) est \(\dfrac{x^2}{2}\), donc une primitive de \(-4x\) est \(-4\times\dfrac{x^2}{2}=-2x^2\). Une primitive de la constante 5 est \(5x\).
Les primitives de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) sont donc les fonctions \(F(x)=2x^3-2x^2+5x+k\), où \(k\) est une constante réelle.
Contrôle. \(F'(x)=2\times 3x^2-2\times 2x+5=6x^2-4x+5\) : on retrouve bien \(f(x)\).
Énoncé. Détermine la primitive \(F\) de \(f(x)=3x^2-2x+1\) sur \(\mathbb{R}\) telle que \(F(1)=4\).
Solution. Les primitives de \(f\) sont les fonctions \(F(x)=x^3-x^2+x+k\). On écrit la condition : \(F(1)=1-1+1+k=1+k\). On veut \(1+k=4\), donc \(k=3\).
La primitive cherchée est \(F(x)=x^3-x^2+x+3\).
Contrôle. \(F'(x)=3x^2-2x+1=f(x)\) et \(F(1)=1-1+1+3=4\). Les deux conditions sont remplies.
Figure — Trois primitives d'une même fonction
Courbes des fonctions \(F(x)=x^3-x^2+x+k\) pour \(k=-3\), \(k=0\) et \(k=3\) : ce sont trois primitives de \(f(x)=3x^2-2x+1\). On passe de l'une à l'autre par une translation verticale, puisqu'elles ne diffèrent que d'une constante. Une seule de ces courbes passe par le point \(A(1\,;4)\) : celle de \(k=3\), la primitive trouvée dans l'exemple 2.
Énoncé. Détermine la primitive \(F\) de \(f(x)=2\cos x-3\sin x\) sur \(\mathbb{R}\) telle que \(F(0)=1\).
Solution. Une primitive de \(\cos x\) est \(\sin x\) ; une primitive de \(\sin x\) est \(-\cos x\). Donc une primitive de \(-3\sin x\) est \(-3\times(-\cos x)=3\cos x\). Les primitives de \(f\) sont les fonctions \(F(x)=2\sin x+3\cos x+k\).
Condition : \(F(0)=2\sin 0+3\cos 0+k=0+3+k\). On veut \(3+k=1\), donc \(k=-2\). La primitive cherchée est \(F(x)=2\sin x+3\cos x-2\).
Contrôle. \(F'(x)=2\cos x+3\times(-\sin x)=2\cos x-3\sin x=f(x)\), et \(F(0)=0+3-2=1\).
Énoncé. On lance une pierre verticalement vers le haut. À l'instant \(t\) (en secondes), sa vitesse est \(v(t)=-10t+20\) (en mètres par seconde) et sa hauteur est \(h(t)\) (en mètres). Au départ, la pierre est à 5 m du sol : \(h(0)=5\). Détermine \(h(t)\), puis la hauteur maximale atteinte.
Solution. La vitesse est la dérivée de la hauteur : \(h'(t)=v(t)\). La fonction \(h\) est donc la primitive de \(v\) qui vaut 5 en 0. Les primitives de \(v\) sont les fonctions \(-5t^2+20t+k\). La condition \(h(0)=5\) donne \(k=5\), donc \(h(t)=-5t^2+20t+5\).
La pierre est au plus haut quand sa vitesse s'annule : \(-10t+20=0\), soit \(t=2\). Avant cet instant la vitesse est positive (la pierre monte), après elle est négative (la pierre descend). On calcule \(h(2)=-5\times 4+20\times 2+5=25\). La hauteur maximale est donc 25 m, atteinte au bout de 2 secondes.
Figure — Hauteur de la pierre en fonction du temps
Courbe de \(h(t)=-5t^2+20t+5\), la primitive de la vitesse qui vaut 5 en 0. La pierre monte tant que la vitesse est positive, atteint 25 m à l'instant \(t=2\), où la vitesse s'annule, puis redescend.
Oublier la constante. Si on te demande les primitives, la réponse contient toujours « \(+k\) ». Si on te demande la primitive qui vérifie une condition, il faut calculer \(k\).
Diviser par le mauvais nombre. Pour \(x^n\), on divise par le nouvel exposant \(n+1\), pas par \(n\). Une primitive de \(x^3\) est \(\dfrac{x^4}{4}\) et non \(\dfrac{x^4}{3}\).
Confondre dériver et « primitiver ». La dérivée de \(\sin x\) est \(\cos x\), mais une primitive de \(\sin x\) est \(-\cos x\). En cas de doute, dérive ta réponse : la dérivée de \(\cos x\) est \(-\sin x\), donc \(\cos x\) n'est pas une primitive de \(\sin x\).
Faire le produit des primitives. Il n'existe pas de règle pour un produit. La fonction \(x^2=x\times x\) a pour primitive \(\dfrac{x^3}{3}\), et non \(\dfrac{x^2}{2}\times\dfrac{x^2}{2}=\dfrac{x^4}{4}\). Devant un produit, développe d'abord.
Oublier l'intervalle. Le résultat « deux primitives diffèrent d'une constante » n'est vrai que sur un intervalle.
Résumé
\(F\) est une primitive de \(f\) sur l'intervalle \(I\) si \(F'(x)=f(x)\) pour tout \(x\) de \(I\). Pour vérifier, on dérive \(F\).
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\), les autres sont les fonctions \(F+k\), avec \(k\) constante réelle.
Une seule primitive vérifie \(F(x_0)=y_0\) : on calcule \(k\) en écrivant cette condition.
\(a\to ax\) ; \(x^n\to\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) ; \(\cos x\to\sin x\) ; \(\sin x\to-\cos x\). On ajoute la constante \(k\).
Primitive d'une somme : somme des primitives. Primitive de \(au\) : \(a\) fois une primitive de \(u\). Aucune règle pour un produit de fonctions.