Première D · Leçon 12
Transformation du plan
Ce que dit le programme officiel (12 points)
- Isométries du plan : définition
- Propriétés des isométries
- Définir une isométrie
- Reconnaître la propriété « La réciproque d’une isométrie est une isométrie. »
- Utiliser les propriétés des isométries (conservation de la distance, de l’orthogonalité, du parallélisme, du produit scalaire, du barycentre, de la mesure des angles) pour démontrer ou/et construire
- Homothéties : propriétés des homothéties
- Composées d’homothéties
- Utiliser les homothéties pour démontrer ou/et construire
- Utiliser la composée d’homothéties pour démontrer et/ou construire
- Composée d’une homothétie et d’une isométrie : similitudes
- Construire les images de figures simples par une similitude
- Limite : on n’utilise pas pour l’instant les similitudes pour résoudre des problèmes ; on s’attache seulement à construire les images de figures simples par des similitudes
Source : Programme de mathématiques, classe de Première D, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Isométries du plan : classification et conservation
Toute isométrie du plan qui fixe un point \(\Omega\) est soit une rotation de centre \(\Omega\) (l'identité étant le cas particulier d'angle \(0°\)), soit une réflexion d'axe passant par \(\Omega\). Ces deux familles épuisent donc, à elles seules, toutes les isométries fixant un point donné.
Rotations et réflexions sont des isométries : elles conservent la distance, donc l'alignement, le parallélisme, l'orthogonalité, le contact (tangence) et les barycentres. Seule différence entre les deux familles : une rotation conserve le signe des angles orientés (chapitre 1, en commun avec les homothéties-translations), une réflexion l'inverse (chapitre 2).
Homothétie : définition et propriétés
Rappel de SecondeQuand on agrandit une photo, quand on projette une diapositive sur un mur ou quand on dessine un plan à l'échelle, la figure change de taille mais garde exactement sa forme : les angles ne bougent pas, toutes les longueurs sont multipliées par le même nombre. L'homothétie est la transformation du plan qui décrit ces agrandissements et ces réductions à partir d'un point fixe, le centre. C'est aussi un outil de démonstration : reconnaître une homothétie dans une figure donne d'un seul coup des droites parallèles, des points alignés et des rapports de longueurs.
L'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\) (\(k\in\mathbb{R}^*\)) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}\). Elle correspond exactement à la multiplication par le scalaire \(k\) en écriture vectorielle depuis le centre \(O\) — c'est le même \(k\) que celui du théorème de Thalès.
Conserve l'alignement, le parallélisme, les barycentres. Multiplie les distances par \(|k|\) et les aires par \(k^2\). Si \(k=1\) : identité. Si \(k=-1\) : symétrie centrale de centre \(O\). Une droite est envoyée sur une droite parallèle ; un cercle de rayon \(r\) sur un cercle de rayon \(|k|r\).
Facile. \(O(0;0)\), \(k=2\), \(A(3;1)\). L'image \(A'\) vérifie \(\overrightarrow{OA'}=2\overrightarrow{OA}\), donc \(A'(6;2)\).
Rapport négatif. \(O(1;1)\), \(k=-\tfrac12\), \(B(5;3)\). \(\overrightarrow{OB}(4;2)\), donc \(\overrightarrow{OB'}=-\tfrac12(4;2)=(-2;-1)\), soit \(B'(-1;0)\) : \(B'\) est de l'autre côté de \(O\) par rapport à \(B\).
Figure interactive — Homothétie de centre O
Le triangle bleu est l'image du triangle gris par l'homothétie de centre O et de rapport k.
Soit \(h\) l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\) (avec \(k\ne 0\)), et \(M\) un point distinct de \(O\), d'image \(M'=h(M)\). L'égalité \(\overrightarrow{OM'}=k\,\overrightarrow{OM}\) dit où se trouve \(M'\) :
- \(M'\) est toujours sur la droite \((OM)\), à la distance \(OM'=|k|\times OM\) du centre ;
- si \(k\gt 0\), \(M\) et \(M'\) sont du même côté de \(O\) ; si \(k\lt 0\), ils sont de part et d'autre de \(O\) ;
- si \(|k|\gt 1\), l'homothétie est un agrandissement : \(M'\) est plus loin de \(O\) que \(M\) ; si \(|k|\lt 1\), c'est une réduction : \(M'\) est plus près de \(O\).
Par exemple, pour \(k=\dfrac{1}{2}\), \(M'\) est le milieu de \([OM]\) ; pour \(k=-2\), \(O\) est entre \(M\) et \(M'\) et \(OM'=2\,OM\).
Soit \(h\) l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\).
- Point invariant. Le centre est sa propre image : \(h(O)=O\). Si \(k\ne 1\), c'est le seul point invariant. En effet, si \(M'=M\), alors \(\overrightarrow{OM}=k\,\overrightarrow{OM}\), donc \((1-k)\,\overrightarrow{OM}=\vec{0}\), ce qui impose \(M=O\).
- Alignement. Un point, son image et le centre sont toujours alignés, car les vecteurs \(\overrightarrow{OM}\) et \(\overrightarrow{OM'}\) sont colinéaires.
- Homothétie réciproque. Si \(M'=h(M)\), alors \(\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{k}\,\overrightarrow{OM'}\) : on revient de \(M'\) à \(M\) par l'homothétie de même centre \(O\) et de rapport \(\dfrac{1}{k}\).
Conséquence pratique : si deux points \(A\) et \(B\) ont pour images \(A'\) et \(B'\), le centre est à la fois sur \((AA')\) et sur \((BB')\).
Soit \(h\) l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\). Si \(A'=h(A)\) et \(B'=h(B)\), alors
\[\overrightarrow{A'B'}=k\,\overrightarrow{AB}.\]Démonstration. Avec la relation de Chasles, \(\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{A'O}+\overrightarrow{OB'}=-k\,\overrightarrow{OA}+k\,\overrightarrow{OB}=k\left(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\right)=k\,\overrightarrow{AB}\).
Ce que l'on en tire.
- \(A'B'=|k|\times AB\) : toutes les longueurs sont multipliées par \(|k|\).
- Les droites \((AB)\) et \((A'B')\) sont parallèles : l'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle.
- Si \(k\gt 0\), les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{A'B'}\) ont le même sens ; si \(k\lt 0\), ils sont de sens contraires.
Caractérisation. Réciproquement, si une transformation vérifie \(\overrightarrow{A'B'}=k\,\overrightarrow{AB}\) pour tous les points \(A\) et \(B\), avec \(k\) différent de 0 et de 1, alors c'est une homothétie de rapport \(k\).
Par une homothétie de rapport \(k\) :
- l'image d'un segment \([AB]\) est le segment \([A'B']\), de longueur \(|k|\times AB\) ; l'image du milieu de \([AB]\) est le milieu de \([A'B']\) ;
- l'image d'une droite est une droite parallèle ; une droite qui passe par le centre est sa propre image ;
- l'image d'une demi-droite d'origine \(A\) est une demi-droite d'origine \(A'\) ;
- l'image du cercle de centre \(I\) et de rayon \(r\) est le cercle de centre \(I'=h(I)\) et de rayon \(|k|\times r\) ;
- l'image d'un triangle est un triangle qui a les mêmes angles : deux droites perpendiculaires ont des images perpendiculaires, deux droites parallèles ont des images parallèles.
Aires. Les longueurs sont multipliées par \(|k|\), donc les aires sont multipliées par \(k^2\). Pour un rectangle de côtés \(a\) et \(b\), l'image a pour côtés \(|k|a\) et \(|k|b\), donc pour aire \(k^2\times ab\).
Image d'un point \(M\) par l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\).
- Trace la droite \((OM)\).
- Regarde le signe de \(k\) : pour \(k\gt 0\), l'image est sur la demi-droite \([OM)\) ; pour \(k\lt 0\), elle est sur la demi-droite opposée.
- Reporte la distance \(OM'=|k|\times OM\) à partir de \(O\).
Image d'une figure. On ne construit ainsi qu'un seul point. Pour les suivants, on utilise le parallélisme : si \(A'\) est connu, l'image \(B'\) de \(B\) est le point d'intersection de la droite \((OB)\) et de la parallèle à \((AB)\) passant par \(A'\). C'est plus rapide et plus précis que de mesurer à chaque fois.
Image d'un cercle. Il suffit de construire l'image \(I'\) du centre, puis de tracer le cercle de centre \(I'\) et de rayon \(|k|\times r\).
On connaît deux points \(A\), \(B\) et leurs images \(A'\), \(B'\).
- Le rapport. Écris \(\overrightarrow{A'B'}=k\,\overrightarrow{AB}\). La valeur absolue de \(k\) est \(\dfrac{A'B'}{AB}\) ; son signe est positif si les deux vecteurs ont le même sens, négatif sinon.
- Le centre. Sur une figure, c'est le point d'intersection des droites \((AA')\) et \((BB')\). Par le calcul, on traduit \(\overrightarrow{OA'}=k\,\overrightarrow{OA}\) en coordonnées et on résout deux équations du premier degré.
- La vérification. Contrôle que l'on a bien aussi \(\overrightarrow{OB'}=k\,\overrightarrow{OB}\).
Pour démontrer avec une homothétie, la rédaction suit toujours le même plan : nommer le centre et le rapport, justifier l'image de chaque point utilisé, puis citer la propriété qui donne la conclusion (parallélisme, longueurs multipliées par \(|k|\), alignement avec le centre).
Énoncé. \(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\) tel que \(AB=4\) cm et \(AC=3\) cm. On note \(A'B'C'\) son image par une homothétie de rapport 3. Calcule les côtés, le périmètre et l'aire de \(A'B'C'\).
Solution. D'après le théorème de Pythagore, \(BC^2=4^2+3^2=25\), donc \(BC=5\) cm. Une homothétie de rapport 3 multiplie les longueurs par 3 : \(A'B'=12\) cm, \(A'C'=9\) cm et \(B'C'=15\) cm.
Les droites perpendiculaires \((AB)\) et \((AC)\) ont des images perpendiculaires : le triangle \(A'B'C'\) est rectangle en \(A'\). On le contrôle : \(12^2+9^2=144+81=225=15^2\).
Le périmètre passe de \(4+3+5=12\) cm à \(12+9+15=36\) cm : il est multiplié par 3, comme toute longueur. L'aire de \(ABC\) vaut \(\dfrac{4\times 3}{2}=6\) cm² ; celle de \(A'B'C'\) vaut \(\dfrac{12\times 9}{2}=54\) cm², soit \(9\times 6\) : elle est multipliée par \(k^2=9\), et non par 3.
Remarque : le résultat ne dépend pas de la position du centre. Le centre fixe l'endroit où se trouve l'image, pas sa taille.
Énoncé. \(ABCD\) est un trapèze tel que \(\overrightarrow{DC}=\dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{AB}\), avec \(AB=6\) cm. Ses diagonales \([AC]\) et \([BD]\) se coupent en \(I\). Démontre que \(IA=3\,IC\), puis calcule \(IA\) et \(IC\) sachant que \(AC=8\) cm.
Solution. Les points \(I\), \(A\) et \(C\) sont alignés et \(I\) est distinct de \(A\) : il existe une homothétie \(h\) de centre \(I\) qui envoie \(A\) sur \(C\). Notons \(k\) son rapport.
L'image de la droite \((AB)\) est la droite parallèle à \((AB)\) passant par \(C\), c'est-à-dire \((CD)\). L'image de \(B\) est donc sur \((CD)\). Elle est aussi sur la droite \((IB)\), qui est la droite \((BD)\). Le seul point commun à ces deux droites est \(D\) : \(h(B)=D\).
D'après la propriété fondamentale, \(\overrightarrow{CD}=k\,\overrightarrow{AB}\). Or \(\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}=-\dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{AB}\), donc \(k=-\dfrac{1}{3}\). Ainsi \(\overrightarrow{IC}=-\dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{IA}\), d'où \(IC=\dfrac{1}{3}\,IA\), c'est-à-dire \(IA=3\,IC\).
Le rapport est négatif : \(I\) est entre \(A\) et \(C\), donc \(AC=IA+IC=4\,IC\). Avec \(AC=8\) cm, on obtient \(IC=2\) cm et \(IA=6\) cm. De même \(IB=3\,ID\).
Énoncé. Dans un repère, une homothétie \(h\) envoie \(A(2;1)\) sur \(A'(4;5)\) et \(B(3;0)\) sur \(B'(7;2)\). Détermine son rapport et son centre, puis l'image du point \(C(0;2)\).
Rapport. \(\overrightarrow{AB}(1;-1)\) et \(\overrightarrow{A'B'}(3;-3)\), donc \(\overrightarrow{A'B'}=3\,\overrightarrow{AB}\) : le rapport est \(k=3\).
Centre. Soit \(O(x;y)\) le centre. L'égalité \(\overrightarrow{OA'}=3\,\overrightarrow{OA}\) s'écrit \(4-x=3(2-x)\) et \(5-y=3(1-y)\). La première équation donne \(2x=2\), soit \(x=1\) ; la seconde donne \(2y=-2\), soit \(y=-1\). Le centre est \(O(1;-1)\).
Vérification avec \(B\). \(\overrightarrow{OB}(2;1)\) et \(\overrightarrow{OB'}(6;3)\) : on a bien \(\overrightarrow{OB'}=3\,\overrightarrow{OB}\).
Image de \(C\). \(\overrightarrow{OC}(-1;3)\), donc \(\overrightarrow{OC'}=3\,\overrightarrow{OC}\) a pour coordonnées \((-3;9)\), et \(C'\) a pour coordonnées \((1-3;-1+9)\), soit \(C'(-2;8)\).
Premier piège : le signe. L'égalité \(\overrightarrow{A'B'}=k\,\overrightarrow{AB}\) porte sur des vecteurs. Pour les longueurs, c'est \(A'B'=|k|\times AB\) : une longueur n'est jamais négative. Avec \(k=-\dfrac{1}{2}\) et \(AB=4\) cm, on trouve \(A'B'=2\) cm, et non \(-2\) cm.
Deuxième piège : les aires. Les aires sont multipliées par \(k^2\), pas par \(k\). Avec \(k=-\dfrac{1}{2}\), un triangle d'aire 6 cm² a une image d'aire \(\dfrac{1}{4}\times 6=1{,}5\) cm². Une aire doublée ne correspond donc pas à des longueurs doublées.
Troisième piège : le centre. Le centre \(O\) n'est le milieu de \([MM']\) que pour \(k=-1\). Dans tous les autres cas, on sait seulement que \(O\), \(M\) et \(M'\) sont alignés.
Quatrième piège : l'ordre des points. Dire que \(h\) envoie \(A\) sur \(A'\) avec le rapport \(k\) s'écrit \(\overrightarrow{OA'}=k\,\overrightarrow{OA}\). Écrire \(\overrightarrow{OA}=k\,\overrightarrow{OA'}\) revient à prendre l'homothétie réciproque, de rapport \(\dfrac{1}{k}\).
Homothéties et translations : caractérisation, réciproque, composition, expression analytique
Soit \(f\) une application du plan dans lui-même. \(f\) est une homothétie-translation si et seulement si il existe un réel \(k\neq0\) tel que, pour tout bipoint \((M,N)\) du plan, en notant \(M'=f(M)\) et \(N'=f(N)\) :
\[ \overrightarrow{M'N'}=k\,\overrightarrow{MN}. \]Si \(k=1\), \(f\) est une translation (de vecteur \(\overrightarrow{AA'}\), le même pour tout point \(A\)). Si \(k\neq1\), \(f\) est une homothétie de rapport \(k\) : elle admet un unique point fixe \(\Omega\) (son centre), et pour tout point \(M\) :
\[ \overrightarrow{\Omega M'}=k\,\overrightarrow{\Omega M}. \]Soit \(h\) l'homothétie de centre \(\Omega(1;-2)\) et de rapport \(k=2\). Déterminer l'image de \(A(4;1)\).
\[ \overrightarrow{\Omega A}=(3;3)\ \Rightarrow\ \overrightarrow{\Omega A'}=2\times(3;3)=(6;6)\ \Rightarrow\ A'=\Omega+(6;6)=(7;4). \]Figure interactive — Homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(k\)
Faites glisser \(k\) : à \(k=1\) le triangle image coïncide avec l'original ; pour \(k<0\), l'image est retournée par rapport à \(\Omega\).
La réciproque d'une homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(k\) est l'homothétie de même centre \(\Omega\) et de rapport \(\dfrac1k\). La réciproque d'une translation de vecteur \(\vec u\) est la translation de vecteur \(-\vec u\).
La composée \(f_1\circ f_2\) de rapports \(k_1\) et \(k_2\) vérifie \(\overrightarrow{M'N'}=k_1k_2\,\overrightarrow{MN}\) : c'est donc encore une homothétie-translation, de rapport \(k_1k_2\). Si \(k_1k_2\neq1\), c'est une homothétie (le centre se détermine sur des exemples, en calculant l'image d'un point) ; si \(k_1k_2=1\), c'est une translation.
\(h_1\) : centre \(A(0;0)\), rapport \(2\). \(h_2\) : centre \(B(3;0)\), rapport \(\dfrac12\). Comme \(2\times\dfrac12=1\), \(h_1\circ h_2\) est une translation. Pour tout point \(M(x;y)\) :
\[ h_2(M)=B+\tfrac12(M-B)=\left(\tfrac{x+3}2;\tfrac y2\right),\qquad h_1\bigl(h_2(M)\bigr)=2\times h_2(M)=(x+3;y). \]\(h_1\circ h_2\) est donc la translation de vecteur \(\vec u(3;0)\).
Translation de vecteur \(\vec u(p;q)\) : \(x'=x+p\), \(y'=y+q\). Homothétie de centre \(\Omega(a;b)\) et de rapport \(k\) : \(x'=a+k(x-a)\), \(y'=b+k(y-b)\).
Une translation conserve les distances (c'est une isométrie). Une homothétie de rapport \(k\) multiplie toutes les distances par \(|k|\) : elle conserve l'alignement, le parallélisme et l'orthogonalité, mais pas les distances (sauf si \(|k|=1\)).
Similitudes directes
Sur une carte, sur une photographie agrandie ou sur une maquette, les objets changent de taille et de position, mais gardent leur forme : un angle droit reste un angle droit, un cercle reste un cercle. Les transformations qui font cela s'appellent des similitudes. On les obtient en enchaînant une homothétie, qui règle la taille, et une isométrie, qui règle la position.
On appelle similitude du plan toute transformation obtenue en composant une homothétie et une isométrie (translation, rotation, symétrie centrale, symétrie orthogonale…), dans un ordre ou dans l'autre.
Si l'homothétie a pour rapport \(k\), le nombre positif \(\lambda=|k|\) est le rapport de la similitude. Une isométrie conserve les distances et une homothétie de rapport \(k\) les multiplie par \(|k|\) : une similitude de rapport \(\lambda\) multiplie toutes les distances par \(\lambda\). Pour tous points \(M\) et \(N\) d'images \(M'\) et \(N'\) :
\[M'N'=\lambda\,MN.\]Cas particuliers. Une isométrie est une similitude de rapport 1. Une homothétie de rapport \(k\) est une similitude de rapport \(|k|\) : le rapport d'une similitude est toujours positif, même si celui de l'homothétie est négatif.
Agrandissement, réduction. Si \(\lambda\gt 1\), la figure est agrandie ; si \(\lambda\lt 1\), elle est réduite.
Une homothétie et une isométrie conservent chacune l'alignement, le parallélisme, l'orthogonalité, les angles géométriques, les milieux et les barycentres. Leur composée aussi. Pour une similitude de rapport \(\lambda\) :
- l'image d'une droite est une droite ; l'image d'un segment \([AB]\) est le segment \([A'B']\), de longueur \(\lambda\,AB\) ;
- l'image du milieu d'un segment est le milieu du segment image ;
- deux droites parallèles ont pour images deux droites parallèles, deux droites perpendiculaires deux droites perpendiculaires ;
- les angles géométriques sont conservés : un triangle a pour image un triangle de mêmes angles, dont les côtés sont multipliés par \(\lambda\) ;
- l'image d'un cercle de centre \(I\) et de rayon \(r\) est le cercle de centre \(I'\) (image de \(I\)) et de rayon \(\lambda r\) ;
- les périmètres sont multipliés par \(\lambda\) et les aires par \(\lambda^2\).
Le sens de la figure. Lorsque l'isométrie est une translation ou une rotation, la figure image se parcourt dans le même sens que la figure de départ : la similitude est dite directe. Lorsque l'isométrie est une symétrie orthogonale, le sens de parcours est renversé, comme dans un miroir.
Différence avec une homothétie. Une homothétie envoie toute droite sur une droite parallèle. Ce n'est plus vrai pour une similitude en général : la rotation ou la symétrie fait tourner les directions.
1. Lire l'ordre. Dans l'écriture \(g\circ f\), on applique d'abord \(f\), puis \(g\). On note aussi le rapport \(\lambda\) : il servira à contrôler la construction.
2. Choisir les points utiles. Pour un polygone, ses sommets ; pour un cercle, son centre et un de ses points ; pour une droite, deux de ses points.
3. Construire en deux temps. On construit l'image de chaque point par la première transformation (figure intermédiaire, tracée légèrement), puis l'image de cette figure intermédiaire par la seconde.
4. Relier et contrôler. On joint les points images dans le même ordre. On vérifie sur une longueur que \(A'B'=\lambda\,AB\), et que les angles droits et les parallèles de la figure de départ se retrouvent sur l'image.
Retrouver le rapport. Si l'on connaît un segment et son image, \(\lambda=\dfrac{A'B'}{AB}\).
Énoncé. Dans un repère orthonormé d'origine \(O\), on donne \(A(1\,;0)\), \(B(3\,;0)\) et \(C(1\,;2)\). On note \(h\) l'homothétie de centre \(O\) et de rapport 2, \(r\) le quart de tour direct de centre \(O\) (rotation d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\)) et \(s=r\circ h\). Construire l'image du triangle \(ABC\) par \(s\) et contrôler la construction.
Solution : \(s\) est une similitude de rapport 2. On applique d'abord \(h\), qui double les coordonnées : \(A_1(2\,;0)\), \(B_1(6\,;0)\), \(C_1(2\,;4)\). On applique ensuite le quart de tour direct de centre \(O\) : sur le quadrillage, il envoie le point \((x\,;y)\) sur le point \((-y\,;x)\). On obtient \(A'(0\,;2)\), \(B'(0\,;6)\) et \(C'(-4\,;2)\).
Contrôle. Le triangle \(ABC\) est rectangle isocèle en \(A\), avec \(AB=AC=2\). Sur l'image, \(A'B'=4\) et \(A'C'=4\) : les longueurs sont doublées. Le segment \([A'B']\) est vertical et \([A'C']\) horizontal : l'angle droit en \(A'\) est conservé. L'aire passe de 2 à 8 : elle est multipliée par \(2^2=4\).
Remarque. Ici, l'homothétie et la rotation ont le même centre : on obtient la même image en commençant par la rotation. Avec deux centres différents, l'image changerait de place, mais pas de taille.
Figure — Le triangle ABC, la figure intermédiaire et l'image A′B′C′
Le triangle ABC (en bleu marine) est d'abord agrandi par l'homothétie de centre O et de rapport 2 : on obtient le triangle intermédiaire en pointillés bleus. Le quart de tour direct de centre O envoie ensuite ce triangle sur le triangle doré A′B′C′. L'image a la même forme que ABC, deux fois plus grande, et elle a tourné d'un quart de tour.
Énoncé. Dans un repère orthonormé d'origine \(O\), \(\mathcal C\) est le cercle de centre \(I(4\,;2)\) et de rayon 2. On note \(h\) l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(\dfrac12\), \(\sigma\) la symétrie orthogonale d'axe l'axe des ordonnées, et \(s=\sigma\circ h\). Construire l'image de \(\mathcal C\) par \(s\).
Solution : \(s\) est une similitude de rapport \(\dfrac12\) : l'image de \(\mathcal C\) est un cercle de rayon \(\dfrac12\times 2=1\), dont le centre est l'image de \(I\). Il suffit donc de construire l'image d'un seul point.
Par \(h\), le point \(I(4\,;2)\) a pour image \(I_1(2\,;1)\). Par \(\sigma\), le point \(I_1\) a pour image \(I'(-2\,;1)\). L'image de \(\mathcal C\) est le cercle de centre \(I'(-2\,;1)\) et de rayon 1.
Contrôle avec un point du cercle : \(M(6\,;2)\) est sur \(\mathcal C\). Son image par \(h\) est \((3\,;1)\), puis par \(\sigma\) le point \(M'(-3\,;1)\). On a bien \(I'M'=1\).
Cette similitude contient une symétrie orthogonale : elle renverse le sens de parcours des figures. Elle n'est pas directe.
Figure — Un cercle, son image par l'homothétie, puis par la symétrie
Le cercle de centre I et de rayon 2 (en bleu marine) est réduit de moitié par l'homothétie de centre O : on obtient le cercle en pointillés bleus, de centre I₁ et de rayon 1. La symétrie par rapport à l'axe vertical (en gris) l'envoie sur le cercle doré de centre I′. Le rayon de l'image est la moitié du rayon de départ.
Énoncé. a) Une similitude de rapport 3 transforme un triangle \(ABC\) de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm en un triangle \(A'B'C'\). Donner la nature, les côtés, le périmètre et l'aire de \(A'B'C'\). b) Une similitude transforme un segment de 2,5 cm en un segment de 10 cm. Quel est son rapport ? Par combien multiplie-t-elle les aires ? Quel est le rayon de l'image d'un cercle de rayon 7 cm ?
Solution : a) Comme \(3^2+4^2=5^2\), le triangle \(ABC\) est rectangle. Une similitude conserve les angles : \(A'B'C'\) est rectangle lui aussi. Ses côtés mesurent \(3\times 3=9\) cm, \(3\times 4=12\) cm et \(3\times 5=15\) cm ; son périmètre est \(9+12+15=36\) cm, soit trois fois celui de \(ABC\). L'aire de \(ABC\) est \(\dfrac{3\times 4}{2}=6\) cm² ; celle de \(A'B'C'\) est \(3^2\times 6=54\) cm² (on retrouve \(\dfrac{9\times 12}{2}=54\)).
b) \(\lambda=\dfrac{10}{2{,}5}=4\). Les aires sont multipliées par \(\lambda^2=16\). L'image d'un cercle de rayon 7 cm est un cercle de rayon \(4\times 7=28\) cm.
Donner un rapport négatif. Le rapport d'une similitude est un rapport de longueurs : il est positif. Si l'homothétie a pour rapport \(-2\), la similitude a pour rapport 2.
Multiplier les aires par \(\lambda\). Les longueurs sont multipliées par \(\lambda\), les aires par \(\lambda^2\). Avec un rapport 3, une aire est multipliée par 9, pas par 3.
Tracer l'image d'une droite parallèle à la droite de départ. C'est vrai pour une homothétie ou une translation, pas pour une similitude quelconque : dans l'exemple 1, le côté \([AB]\) est horizontal et son image \([A'B']\) est verticale.
Appliquer les transformations dans le mauvais ordre. \(r\circ h\) signifie « \(h\) d'abord, \(r\) ensuite ». Lorsque les centres sont différents, changer l'ordre déplace l'image.
Résumé
Composée d'une homothétie de rapport \(k\) et d'une isométrie ; rapport \(\lambda=|k|\), toujours positif.
\(M'N'=\lambda\,MN\). Périmètres multipliés par \(\lambda\), aires par \(\lambda^2\).
Alignement, milieux, parallélisme, orthogonalité, angles : la forme de la figure est conservée.
L'image d'un cercle de rayon \(r\) est un cercle de rayon \(\lambda r\), centré en l'image du centre.
En deux temps : la figure intermédiaire, puis l'image. On contrôle une longueur et un angle.
\(M'=h(M)\) signifie \(\overrightarrow{OM'}=k\,\overrightarrow{OM}\). Même côté de \(O\) si \(k\gt 0\), côtés opposés si \(k\lt 0\).
\(O\) est le seul point invariant si \(k\ne 1\). \(O\), \(M\) et \(M'\) sont alignés. Réciproque : même centre, rapport \(\dfrac{1}{k}\).
\(\overrightarrow{A'B'}=k\,\overrightarrow{AB}\) : \((A'B')\) est parallèle à \((AB)\) et \(A'B'=|k|\times AB\).
Droite, segment, cercle : image de même nature. Angles, milieux, parallélisme conservés. Longueurs multipliées par \(|k|\), aires par \(k^2\).
Nommer le centre et le rapport, justifier chaque image, conclure avec le parallélisme, les longueurs ou l'alignement.
\(\overrightarrow{M'N'}=k\,\overrightarrow{MN}\) : translation si \(k=1\), homothétie sinon.
Homothétie \((\Omega,k)\to(\Omega,\frac1k)\) ; translation \(\vec u\to-\vec u\).
Rapport \(k_1k_2\) : homothétie si \(k_1k_2\neq1\), translation si \(k_1k_2=1\).
Distances multipliées par \(|k|\) ; alignement, parallélisme, orthogonalité conservés.
Sujet type devoir
Question 1. Soit \(h\) l'homothétie de centre \(\Omega(2;-1)\) et de rapport \(k=3\). Déterminer l'image de \(A(4;1)\).
\(\overrightarrow{\Omega A}=(2;2)\), donc \(\overrightarrow{\Omega A'}=3\times(2;2)=(6;6)\), soit \(A'=(2+6;-1+6)=(8;5)\).
Question 2. Déterminer le centre et le rapport de la réciproque de \(h\).
Même centre \(\Omega(2;-1)\), rapport \(\dfrac13\).
Question 3. \(h_1\) : centre \(A(1;0)\), rapport \(3\). \(h_2\) : centre \(B(0;2)\), rapport \(\dfrac13\). Montrer que \(h_1\circ h_2\) est une translation et déterminer son vecteur (en calculant l'image de \(O(0;0)\)).
\(3\times\dfrac13=1\), donc \(h_1\circ h_2\) est une translation. \(h_2(O)=B+\tfrac13(O-B)=(0;2)+\tfrac13(0;-2)=\left(0;\tfrac43\right)\). \(h_1\bigl(h_2(O)\bigr)=A+3\bigl(h_2(O)-A\bigr)=(1;0)+3\left(-1;\tfrac43\right)=(1;0)+(-3;4)=(-2;4)\). Le vecteur de translation est \(\overrightarrow{O\,h_1(h_2(O))}=(-2;4)\).