Première D · Leçon 11
Applications du produit scalaire et du barycentre
Ce que dit le programme officiel (12 points)
- Équations de cercles : représentations paramétriques d’un cercle
- Équations cartésiennes d’un cercle
- Déterminer une équation paramétrique d’un cercle
- Exploiter une équation cartésienne d’un cercle dans la résolution des problèmes
- Distance d’un point à une droite
- Déterminer la distance d’un point à une droite
- Notion de lignes de niveau
- Définir une ligne de niveau d’une application du plan dans ℝ
- Détermination de lignes de niveau de la fonction scalaire de Leibniz associée à 2 points
- Détermination de lignes de niveau des fonctions qui à un point M associent le produit scalaire des vecteurs AM et AB ; le produit scalaire des vecteurs MA et MB ; le quotient MA / MB
- Définir la fonction scalaire de Leibniz
- Déterminer les lignes de niveau des fonctions retenues
Source : Programme de mathématiques, classe de Première D, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Équation cartésienne d'un cercle
Rappel de SecondeLe cercle de centre \(\Omega(a;b)\) et de rayon \(r\) a pour équation, en repère orthonormé :
\[ (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2. \]Pour trouver l'intersection d'une droite et d'un cercle, on substitue l'équation (ou la représentation paramétrique) de la droite dans celle du cercle : on obtient une équation du second degré en \(x\) (ou en \(t\)), dont le discriminant indique 0, 1 (tangente) ou 2 points d'intersection.
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Voir les offresProduit scalaire dans le plan : définitions et propriétés
Rappel de SecondeSoit \(\vec u=\overrightarrow{OA}\) et \(\vec v=\overrightarrow{OB}\), et \(H\) le projeté orthogonal de \(B\) sur la droite \((OA)\). Le produit scalaire de \(\vec u\) et \(\vec v\) est le réel :
\[ \vec u \cdot \vec v = \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OH}. \](produit des mesures algébriques si \(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OH}\) sont colinéaires — positif si de même sens, négatif sinon).
En particulier, \(\vec u \cdot \vec v = 0 \iff \vec u \perp \vec v\) (ou l'un des deux vecteurs est nul) : c'est la caractérisation de l'orthogonalité la plus utilisée en pratique.
\(\vec u\cdot\vec v = \vec v\cdot\vec u\) (symétrie). Pour tous réels \(a,b\) : \((a\vec u)\cdot\vec v = a(\vec u\cdot\vec v)\) et \(\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w\) (linéarité). Enfin \(\vec u\cdot\vec u = \|\vec u\|^2\) (noté aussi \(\vec u^{\,2}\)).
Ensembles de points et lignes de niveau (théorème de la médiane)
Rappel de SecondeDans un triangle \(ABC\), en notant \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) :
\[ a^2 = b^2+c^2-2bc\cos\widehat A. \]Retrouvée en développant \(BC^2=\overrightarrow{BC}\,^2=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})^2\) via la linéarité du produit scalaire. Cas particulier : si \(\widehat A=90°\), on retrouve exactement le théorème de Pythagore.
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Voir les offresFigure interactive — Cercle de diamètre [AB]
Déplacez M sur le cercle : l'angle en M reste toujours droit — vérification visuelle de \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\).
Fonction scalaire de Leibniz
Quels sont les points \(M\) du plan tels que \(MA^2+MB^2\) soit égal à un nombre donné ? et tels que \(2MA^2+MB^2\) le soit ? Ces questions se ramènent toutes à l'étude d'une même fonction, qui à chaque point \(M\) associe une somme de carrés de distances affectés de coefficients. Le barycentre permet de la réduire à un seul carré.
Soit \((A\,;a)\) et \((B\,;b)\) deux points pondérés du plan, les réels \(a\) et \(b\) n'étant pas tous les deux nuls. La fonction scalaire de Leibniz associée à ces deux points pondérés est l'application \(\varphi\) qui, à tout point \(M\) du plan, associe le réel
\[\varphi(M)=a\,MA^2+b\,MB^2.\]Le mot « scalaire » rappelle que \(\varphi(M)\) est un nombre, et non un vecteur. Par exemple, avec \(a=b=1\), \(\varphi(M)=MA^2+MB^2\) ; avec \(a=1\) et \(b=-1\), \(\varphi(M)=MA^2-MB^2\).
Pour un réel \(k\) donné, la ligne de niveau \(k\) de \(\varphi\) est l'ensemble des points \(M\) du plan tels que \(\varphi(M)=k\).
Premier cas : \(a+b\neq 0\). Soit \(G\) le barycentre de \((A\,;a)\) et \((B\,;b)\). Pour tout point \(M\) du plan,
\[a\,MA^2+b\,MB^2=(a+b)\,MG^2+\varphi(G), \qquad\text{avec}\quad \varphi(G)=a\,GA^2+b\,GB^2=\frac{ab}{a+b}\,AB^2.\]Démonstration. On écrit \(\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\), d'où \(MA^2=MG^2+2\,\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{GA}+GA^2\), et de même pour \(MB^2\). En multipliant par \(a\) et par \(b\) puis en ajoutant :
\[a\,MA^2+b\,MB^2=(a+b)MG^2+2\,\overrightarrow{MG}\cdot\left(a\,\overrightarrow{GA}+b\,\overrightarrow{GB}\right)+a\,GA^2+b\,GB^2.\]Or \(a\,\overrightarrow{GA}+b\,\overrightarrow{GB}=\vec 0\) par définition du barycentre : le produit scalaire du milieu disparaît. Pour la valeur de \(\varphi(G)\), on utilise \(GA=\dfrac{|b|}{|a+b|}AB\) et \(GB=\dfrac{|a|}{|a+b|}AB\) : \(a\,GA^2+b\,GB^2=\dfrac{ab^2+ba^2}{(a+b)^2}AB^2=\dfrac{ab}{a+b}AB^2\).
Second cas : \(a+b=0\). Alors \(\varphi(M)=a\,(MA^2-MB^2)\), et si \(I\) est le milieu de \([AB]\),
\[MA^2-MB^2=2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{IM}.\]En effet \(MA^2-MB^2=\left(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)=\overrightarrow{BA}\cdot 2\,\overrightarrow{MI}=2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{IM}\).
On cherche l'ensemble \((E_k)\) des points \(M\) tels que \(a\,MA^2+b\,MB^2=k\).
Si \(a+b\neq 0\), l'égalité s'écrit \(MG^2=\dfrac{k-\varphi(G)}{a+b}\). On pose \(\lambda=\dfrac{k-\varphi(G)}{a+b}\).
- Si \(\lambda\gt 0\) : \((E_k)\) est le cercle de centre \(G\) et de rayon \(\sqrt\lambda\).
- Si \(\lambda=0\) : \((E_k)\) est réduit au point \(G\).
- Si \(\lambda\lt 0\) : \((E_k)\) est vide.
Les lignes de niveau sont donc des cercles de même centre \(G\).
Si \(a+b=0\), l'égalité s'écrit \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{IM}=\dfrac{k}{2a}\). Si \(H\) est le projeté orthogonal de \(M\) sur \((AB)\), \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{IH}\) : le point \(H\) est fixé. \((E_k)\) est la droite perpendiculaire à \((AB)\) passant par \(H\). Les lignes de niveau sont des droites parallèles ; pour \(k=0\), on retrouve la médiatrice de \([AB]\).
1. Calculer \(a+b\). C'est ce nombre qui décide de la méthode.
2. Si \(a+b\neq 0\) : construire le barycentre \(G\) par \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}\) ; calculer \(\varphi(G)=a\,GA^2+b\,GB^2\) (ou \(\dfrac{ab}{a+b}AB^2\)) ; écrire \((a+b)MG^2+\varphi(G)=k\) ; en déduire \(MG^2\) et conclure selon son signe : cercle, point ou ensemble vide.
3. Si \(a+b=0\) : introduire le milieu \(I\) de \([AB]\), écrire \(2a\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{IM}=k\), puis placer sur \((AB)\) le point \(H\) tel que \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{IH}\) ait la valeur voulue ; conclure par la perpendiculaire à \((AB)\) en \(H\).
4. Contrôler avec un point simple : un point de la droite \((AB)\) qui appartient à l'ensemble trouvé doit vérifier l'égalité de départ.
Énoncé. \(A\) et \(B\) sont deux points tels que \(AB=6\). Déterminer l'ensemble des points \(M\) tels que : a) \(MA^2+MB^2=26\) ; b) \(MA^2+MB^2=18\) ; c) \(MA^2+MB^2=10\).
Solution : Ici \(a=b=1\), \(a+b=2\) : le barycentre est le milieu \(I\) de \([AB]\), et \(\varphi(I)=IA^2+IB^2=9+9=18\) (on retrouve \(\dfrac{ab}{a+b}AB^2=\dfrac12\times 36\)). Pour tout \(M\) : \(MA^2+MB^2=2MI^2+18\). C'est le théorème de la médiane.
a) \(2MI^2+18=26\) donne \(MI^2=4\) : l'ensemble est le cercle de centre \(I\) et de rayon 2.
b) \(2MI^2=0\) : l'ensemble est réduit au point \(I\).
c) \(2MI^2=-8\) est impossible : l'ensemble est vide. La plus petite valeur de \(MA^2+MB^2\) est 18, atteinte en \(I\).
Énoncé. Avec \(AB=6\), déterminer l'ensemble \((E)\) des points \(M\) tels que \(2MA^2+MB^2=36\).
Solution : \(a=2\), \(b=1\), \(a+b=3\neq 0\). Le barycentre \(G\) de \((A\,;2)\) et \((B\,;1)\) vérifie \(\overrightarrow{AG}=\dfrac13\overrightarrow{AB}\) : \(G\) est le point de \([AB]\) tel que \(GA=2\) et \(GB=4\).
\(\varphi(G)=2\times 2^2+4^2=24\) (ou \(\dfrac{2\times 1}{3}\times 36=24\)). Pour tout \(M\) : \(2MA^2+MB^2=3MG^2+24\).
L'égalité devient \(3MG^2=12\), soit \(MG=2\) : \((E)\) est le cercle de centre \(G\) et de rayon 2. Contrôle : comme \(GA=2\), le point \(A\) doit appartenir à \((E)\) ; en effet \(2\times 0+AB^2=36\).
Énoncé. Avec \(AB=6\), déterminer l'ensemble \((F)\) des points \(M\) tels que \(MA^2-MB^2=12\).
Solution : \(a=1\), \(b=-1\), \(a+b=0\) : il n'y a pas de barycentre. Avec \(I\) milieu de \([AB]\), \(MA^2-MB^2=2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{IM}\), donc l'égalité s'écrit \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{IM}=6\).
Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(M\) sur \((AB)\) : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{IH}=6\). Ce produit scalaire est positif, donc \(\overrightarrow{IH}\) a le sens de \(\overrightarrow{AB}\), et \(AB\times IH=6\) donne \(IH=1\). Le point \(H\) est le point du segment \([IB]\) tel que \(IH=1\).
\((F)\) est la droite perpendiculaire à \((AB)\) passant par \(H\). Contrôle avec \(H\) lui-même : \(HA=4\) et \(HB=2\), donc \(HA^2-HB^2=16-4=12\).
Figure — Les trois lignes de niveau des exemples
Sur une même figure, avec \(AB=6\). En marine, le cercle de centre \(I\) et de rayon 2 : \(MA^2+MB^2=26\). En or, le cercle de centre \(G\) et de rayon 2, qui passe par \(A\) : \(2MA^2+MB^2=36\). En bleu, la droite perpendiculaire à \((AB)\) en \(H\) : \(MA^2-MB^2=12\). Quand la somme des coefficients n'est pas nulle, la ligne de niveau est un cercle centré au barycentre ; quand elle est nulle, c'est une droite.
Chercher un barycentre qui n'existe pas. Si \(a+b=0\), les points pondérés \((A\,;a)\) et \((B\,;b)\) n'ont pas de barycentre : la ligne de niveau n'est pas un cercle mais une droite. Il faut toujours commencer par calculer \(a+b\).
Oublier de discuter. L'égalité \(MG^2=\lambda\) ne définit un cercle que si \(\lambda\gt 0\). Pour \(\lambda=0\) on obtient un point, pour \(\lambda\lt 0\) l'ensemble vide. Attention au signe lorsque \(a+b\) est négatif : on divise par un nombre négatif.
Confondre rayon et carré du rayon. \(MG^2=4\) donne un rayon égal à 2, et non à 4.
Résumé
\(\varphi(M)=a\,MA^2+b\,MB^2\) : à chaque point \(M\), on associe un nombre.
\(\varphi(M)=(a+b)MG^2+\varphi(G)\), où \(G\) est le barycentre et \(\varphi(G)=\dfrac{ab}{a+b}AB^2\).
Cercle de centre \(G\), point \(G\) ou ensemble vide, selon le signe de \(\dfrac{k-\varphi(G)}{a+b}\).
\(MA^2-MB^2=2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{IM}\) : les lignes de niveau sont des droites perpendiculaires à \((AB)\).
\(MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{AB^2}{2}\) : c'est le théorème de la médiane.
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