Première D · Leçon 8
Statistique descriptive
Ce que dit le programme officiel (9 points)
- Séries statistiques à une variable : regroupement par classes
- Centre et amplitude d’une classe
- Histogramme
- Organiser et représenter des données statistiques (tableaux, diagrammes, histogrammes)
- Caractéristiques de position d’une série groupée en classes : classe modale, médiane, moyenne
- Déterminer les caractéristiques de position d’une série statistique (classe modale, médiane, moyenne)
- Caractéristiques de dispersion d’une série groupée en classes : variance et écart-type, étendue, écart moyen
- Déterminer les caractéristiques de dispersion d’une série statistique (écart moyen, variance, écart type)
- Limite : les classes n’ont pas forcément la même amplitude ; le calcul des caractéristiques de dispersion se fait à l’aide du centre des classes
Source : Programme de mathématiques, classe de Première D, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Statistiques : vocabulaire, effectifs, fréquences, classes
Rappel de SecondeLa population est l'ensemble étudié ; un caractère est la propriété observée sur chaque individu (quantitatif ou qualitatif). L'effectif d'une valeur est le nombre d'individus qui la présentent ; la fréquence est l'effectif divisé par l'effectif total (souvent exprimée en %).
L'effectif cumulé (croissant) d'une valeur est la somme des effectifs des valeurs inférieures ou égales ; la fréquence cumulée se définit de même à partir des fréquences.
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Voir les offresSérie regroupée en classes : centre et amplitude d'une classe
Quand un caractère prend beaucoup de valeurs différentes (une taille, une durée, un salaire), un tableau qui les donnerait une à une serait illisible. On range alors les valeurs dans des intervalles, les classes. On perd un peu d'information, mais on gagne une vue d'ensemble : c'est le point de départ de l'histogramme et de tous les calculs sur les séries à caractère continu.
On étudie un caractère quantitatif dont les valeurs sont rangées dans des intervalles de la forme \([a\,;b[\), appelés classes : la borne \(a\) appartient à la classe, la borne \(b\) n'y appartient pas (elle appartient à la classe suivante). Ainsi chaque valeur est dans une classe et une seule.
- L'amplitude de la classe \([a\,;b[\) est sa longueur : \(b-a\).
- Le centre de la classe \([a\,;b[\) est le milieu de l'intervalle : \(c=\dfrac{a+b}{2}\).
- L'effectif d'une classe est le nombre de valeurs qu'elle contient ; sa fréquence est le quotient de cet effectif par l'effectif total.
Rôle du centre. Une fois les valeurs regroupées, on ne sait plus où elles se trouvent dans chaque classe. Pour calculer, on fait comme si toutes les valeurs d'une classe étaient égales à son centre : c'est avec les centres que l'on calcule la moyenne, la variance et l'écart-type d'une série regroupée en classes. Le résultat est une valeur approchée de celui de la série de départ.
Amplitudes inégales. Les classes n'ont pas forcément la même amplitude : on prend souvent des classes plus larges là où les valeurs sont rares.
Dans un histogramme, chaque classe est représentée par un rectangle dont la base est la classe, portée sur l'axe des abscisses. La règle est la suivante : l'aire de chaque rectangle est proportionnelle à l'effectif de la classe.
- Si toutes les classes ont la même amplitude, les hauteurs sont proportionnelles aux effectifs : on peut porter les effectifs en ordonnée.
- Si les amplitudes sont inégales, la hauteur d'un rectangle est proportionnelle au quotient \(\dfrac{\text{effectif}}{\text{amplitude}}\), appelé densité de la classe. On choisit une amplitude unité \(u\) et l'on prend pour hauteur \(\dfrac{\text{effectif}}{\text{amplitude}}\times u\) : c'est l'effectif « par tranche de largeur \(u\) ».
La classe modale est celle dont le rectangle est le plus haut, c'est-à-dire celle qui a la plus grande densité. Avec des amplitudes égales, c'est simplement la classe de plus grand effectif.
1. Choisir les classes. Elles doivent se suivre sans trou ni chevauchement, de la plus petite valeur à la plus grande. Cinq à huit classes suffisent en général.
2. Compter les effectifs. Ranger chaque valeur dans sa classe, en faisant attention aux bornes : dans \([a\,;b[\), on compte \(a\) mais pas \(b\). Vérifier que la somme des effectifs est l'effectif total.
3. Compléter le tableau par une ligne pour l'amplitude \(b-a\) et une ligne pour le centre \(\dfrac{a+b}{2}\), puis, selon les besoins, par les fréquences.
4. Pour l'histogramme, si les amplitudes sont inégales, ajouter la ligne des hauteurs : \(\dfrac{\text{effectif}}{\text{amplitude}}\times u\).
Énoncé. Voici les tailles, en centimètres, de seize élèves : 152, 155, 158, 160, 161, 163, 164, 165, 166, 168, 170, 171, 173, 175, 178, 184. Les regrouper dans les classes \([150\,;160[\), \([160\,;165[\), \([165\,;170[\), \([170\,;180[\), \([180\,;190[\), puis donner l'amplitude, le centre et la fréquence de chaque classe.
Solution : La taille 160 appartient à \([160\,;165[\) et non à \([150\,;160[\) ; de même 165 et 170 sont rangées dans la classe dont elles sont la borne de gauche.
| Classe | \([150\,;160[\) | \([160\,;165[\) | \([165\,;170[\) | \([170\,;180[\) | \([180\,;190[\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 4 | 3 | 5 | 1 |
| Amplitude | 10 | 5 | 5 | 10 | 10 |
| Centre | 155 | 162,5 | 167,5 | 175 | 185 |
| Fréquence | 18,75 % | 25 % | 18,75 % | 31,25 % | 6,25 % |
Contrôle : \(3+4+3+5+1=16\). Par exemple, la fréquence de la deuxième classe est \(\dfrac{4}{16}=0{,}25\).
Énoncé. On a relevé la durée du trajet, en minutes, de 40 élèves pour se rendre au lycée.
| Durée | \([0\,;10[\) | \([10\,;20[\) | \([20\,;30[\) | \([30\,;50[\) | \([50\,;90[\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 6 | 12 | 10 | 8 | 4 |
a) Donner l'amplitude et le centre de chaque classe. b) Calculer les hauteurs des rectangles de l'histogramme, en prenant 10 minutes pour amplitude unité. Quelle est la classe modale ? c) Calculer la durée moyenne du trajet.
Solution : a) Amplitudes : 10, 10, 10, 20 et 40 minutes. Centres : 5, 15, 25, 40 et 70 minutes.
b) Hauteurs : \(\dfrac{6}{10}\times 10=6\), \(\dfrac{12}{10}\times 10=12\), \(\dfrac{10}{10}\times 10=10\), \(\dfrac{8}{20}\times 10=4\) et \(\dfrac{4}{40}\times 10=1\). La classe modale est \([10\,;20[\). On remarque que la classe \([30\,;50[\) a un effectif plus grand que la classe \([0\,;10[\) (8 contre 6), mais un rectangle moins haut (4 contre 6) : ses 8 élèves sont répartis sur 20 minutes.
c) On remplace chaque classe par son centre : \(\dfrac{6\times 5+12\times 15+10\times 25+8\times 40+4\times 70}{40}=\dfrac{30+180+250+320+280}{40}=\dfrac{1060}{40}=26{,}5\). La durée moyenne est d'environ 26,5 minutes.
Figure — L'histogramme des durées de trajet
Histogramme de l'exemple 2. En abscisse, la durée en minutes ; en ordonnée, l'effectif par tranche de 10 minutes. L'aire de chaque rectangle représente l'effectif de la classe, écrit au-dessus : le rectangle de la classe de 30 à 50 minutes est deux fois plus large et moins haut que celui de la classe de 0 à 10 minutes, pour un effectif pourtant plus grand. En or, la classe modale.
Prendre l'effectif pour hauteur quand les amplitudes sont inégales. Dans l'exemple 2, un rectangle de hauteur 8 sur la classe \([30\,;50[\) aurait une aire deux fois trop grande et ferait croire que cette classe domine. C'est l'aire, et non la hauteur, qui représente l'effectif.
Se tromper sur les bornes. Dans \([160\,;165[\), la valeur 160 est comptée et la valeur 165 ne l'est pas. Compter une valeur deux fois, ou l'oublier, fausse tous les effectifs.
Croire que le centre est une valeur de la série. Le centre 162,5 de la classe \([160\,;165[\) n'est la taille d'aucun élève. C'est un représentant commode de la classe ; la moyenne calculée avec les centres n'est qu'une valeur approchée de la vraie moyenne.
Représentations graphiques (bâtons, circulaire, histogramme)
Rappel de SecondeDiagramme en bâtons : une barre par valeur, hauteur = effectif (adapté à un caractère discret). Diagramme circulaire : secteurs proportionnels aux effectifs (adapté aux comparaisons de proportions). Histogramme : utilisé quand les données sont regroupées en classes ; l'aire de chaque rectangle (pas seulement la hauteur) doit être proportionnelle à l'effectif de la classe. Diagramme cumulatif : représente les effectifs (ou fréquences) cumulés, utile pour lire graphiquement médiane et quartiles.
Figure — Diagramme en bâtons des notes
Chaque barre représente l'effectif d'une note — lecture directe du mode (barre la plus haute).
Paramètres de position : mode, moyenne, médiane
Rappel de SecondeLe mode est la valeur de plus grand effectif. La moyenne est la somme des valeurs pondérées par leurs effectifs, divisée par l'effectif total. La médiane est une valeur qui partage la population en deux groupes de même effectif (une fois les données triées par ordre croissant) : autant de valeurs inférieures que supérieures à elle.
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Voir les offresParamètres de dispersion : étendue, écart moyen, variance, écart-type
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Voir les offresPour une série de valeurs \(x_1,\dots,x_n\) de moyenne \(\bar x\) :
\[ \text{Étendue}=\max(x_i)-\min(x_i), \qquad e=\dfrac1n\sum_{i=1}^n|x_i-\bar x| \ \text{(écart-moyen)}. \]La variance se calcule souvent plus vite grâce à la formule simplifiée (obtenue en développant \((x_i-\bar x)^2\)) :
\[ V=\left(\dfrac1n\sum_{i=1}^nx_i^2\right)-\bar x^2. \]Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresFigure — Écarts à la moyenne de la série \(3,5,7,9\)
Chaque segment pointillé représente l'écart \(x_i-\bar x\) utilisé pour calculer l'écart-moyen et la variance.
Résumé
Intervalle \([a\,;b[\) : la borne \(a\) est comptée, la borne \(b\) ne l'est pas.
Amplitude : \(b-a\). Centre : \(\dfrac{a+b}{2}\), utilisé à la place des valeurs dans les calculs.
L'aire de chaque rectangle est proportionnelle à l'effectif de la classe.
Hauteur \(=\dfrac{\text{effectif}}{\text{amplitude}}\times u\), où \(u\) est l'amplitude unité choisie.
Celle dont le rectangle est le plus haut (la plus grande densité).
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