Première D · Leçon 2
Généralités sur les fonctions numériques d’une variable réelle
Ce que dit le programme officiel (9 points)
- Comparaison de deux fonctions (f ≤ g)
- Opérations sur les fonctions : somme, différence, produit, quotient, composée de deux fonctions
- Fonctions associées à une fonction f : x ↦ |f(x)| ; x ↦ f(|x|) ; x ↦ f(x + a) ; x ↦ f(x) + a ; x ↦ – f(x) ; x ↦ f(– x)
- Image directe, image réciproque
- Notion d’application ; notion d’application injective, surjective, bijective
- Comparer deux fonctions (algébriquement et graphiquement)
- Décomposer une fonction numérique donnée en une somme, un produit, un quotient, une composée de deux fonctions
- Utiliser les transformations pour tracer les courbes des fonctions associées
- Utiliser les notions d’image directe et d’image réciproque pour donner la nature d’une application
Source : Programme de mathématiques, classe de Première D, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Opérations sur les fonctions, composée de fonctions monotones
On rappelle les opérations usuelles sur les fonctions numériques : pour \(f\) et \(g\) définies sur un même ensemble, on note \(f+g\), \(\lambda f\) (\(\lambda\) réel), \(fg\), \(\dfrac1f\), \(\dfrac fg\) et la composée \(g\circ f\) (\(g\circ f(x)=g(f(x))\)). On dit que \(f\leqslant g\) si \(f(x)\leqslant g(x)\) pour tout \(x\) du domaine considéré.
Si \(u\) est monotone sur \(I\) et \(v\) monotone sur un intervalle contenant \(u(I)\), alors \(v\circ u\) est monotone sur \(I\) :
| \(u\) | \(v\) | \(v\circ u\) |
|---|---|---|
| croissante | croissante | croissante |
| croissante | décroissante | décroissante |
| décroissante | croissante | décroissante |
| décroissante | décroissante | croissante |
Fonctions associées : changement d'origine, d'échelle, |f|
À partir de la courbe d'une fonction \(f\), on obtient graphiquement, sans nouveau calcul de dérivée :
• la courbe de \(f^+\) (partie positive, \(f^+(x)=f(x)\) si \(f(x)\geqslant0\),
sinon \(0\)) en effaçant les portions où \(f\) est négative ;
• la courbe de \(|f|\) en repliant vers le haut, par symétrie d'axe \((Ox)\), les
portions où \(f\) est négative ;
• la courbe de \(x\mapsto f(x+a)\) par translation horizontale de la courbe de
\(f\).
Exemple. Pour \(f(x)=x^2-1\) (nulle en \(-1\) et \(1\), négative entre les deux) : \(f^+\) coïncide avec \(f\) hors de \([-1;1]\) et vaut \(0\) sur \([-1;1]\) ; \(|f|\) coïncide avec \(f\) hors de \([-1;1]\) et vaut \(1-x^2\) (symétrique par rapport à \((Ox)\)) sur \([-1;1]\) ; la courbe de \(x\mapsto f(x+2)=(x+2)^2-1\) est celle de \(f\) décalée de \(2\) vers la gauche.
Fonction : image, antécédent, ensemble de définition, courbe
Rappel de SecondeUne fonction peut être définie de plusieurs façons : tracé graphique, tableau de données numériques, formule explicite, ou même touches d'une calculatrice. Savoir passer d'une représentation à l'autre est l'objectif central de ce chapitre.
Une fonction \(f\) associe à chaque réel \(x\) d'un ensemble \(D_f\) (l'ensemble de définition) au plus un réel noté \(f(x)\), l'image de \(x\) par \(f\). Un réel \(x\) tel que \(f(x)=y\) est un antécédent de \(y\).
La courbe représentative de \(f\), notée \(\mathcal{C}_f\), est l'ensemble des points \(M(x\,;\,f(x))\) pour \(x \in D_f\).
Pour lire l'image de \(a\) : tracer la verticale \(x=a\), lire l'ordonnée du point d'intersection avec \(\mathcal{C}_f\). Pour lire les antécédents de \(b\) : tracer l'horizontale \(y=b\), lire les abscisses des points d'intersection — il peut y en avoir zéro, un, ou plusieurs.
L'image d'un intervalle \(I \subset D_f\) est l'ensemble \(f(I) = \{f(x)\ /\ x \in I\}\) : l'ensemble des ordonnées atteintes quand \(x\) parcourt \(I\). L'image réciproque d'un intervalle \(J\) est l'ensemble des \(x\) tels que \(f(x) \in J\) : l'ensemble des abscisses dont l'image tombe dans \(J\).
Facile. Pour \(f(x)=x^2\), l'image de \(3\) est \(f(3)=9\). Les antécédents de \(9\) sont \(3\) et \(-3\) (deux antécédents).
Intermédiaire. Pour \(f(x)=x^2\) sur \(D_f=\mathbb{R}\), l'image de l'intervalle \(I=[-2;3]\) est \(f(I)=[0;9]\) (le minimum \(0\) est atteint en \(0 \in I\), le maximum \(9\) en \(x=3\), car \(3^2=9 > (-2)^2=4\)).
Image réciproque. Toujours pour \(f(x)=x^2\), l'image réciproque de \(J=[4;9]\) est l'ensemble des \(x\) tels que \(4 \le x^2 \le 9\), soit \(x \in [-3;-2]\cup[2;3]\).
Applications : injection, surjection, bijection
Ces notions ne font pas l'objet d'un exposé détaillé en Première : elles sont étudiées de façon succincte, puis réinvesties toute l'année (fonctions numériques, transformations du plan).
Une application \(f:E\to F\) est injective si deux éléments distincts de \(E\) ont toujours des images distinctes (autrement dit, \(f(a)=f(b) \Rightarrow a=b\)). Elle est surjective si tout élément de \(F\) a au moins un antécédent. Elle est bijective si elle est à la fois injective et surjective : tout élément de \(F\) a alors exactement un antécédent.
Le nombre de solutions de l'équation \(f(x)=k\) (d'inconnue \(x\)) dépend directement de la nature de \(f\) : au plus une solution si \(f\) est injective, au moins une si \(f\) est surjective, exactement une si \(f\) est bijective. Graphiquement, cela se lit sur le nombre de points d'intersection de la courbe avec la droite horizontale \(y=k\).
Si \(f\) est bijective de \(E\) vers \(F\), sa réciproque \(f^{-1}\) est l'application de \(F\) vers \(E\) qui à chaque \(y\) associe l'unique \(x\) tel que \(f(x)=y\). Graphiquement, dans un repère orthonormé, la courbe de \(f^{-1}\) est le symétrique de celle de \(f\) par rapport à la droite \(y=x\).
La composée \(g\circ f\) de deux applications se calcule en appliquant d'abord \(f\), puis \(g\) au résultat : \((g\circ f)(x)=g(f(x))\).
Réciproque simple. \(f(x)=2x+3\) sur \(\mathbb R\) est bijective (droite non horizontale). Pour trouver \(f^{-1}\) : on pose \(y=2x+3\), on résout en \(x\) : \(x=\dfrac{y-3}{2}\). Donc \(f^{-1}(y)=\dfrac{y-3}{2}\).
Composée. \(f(x)=x+1\), \(g(x)=x^2\). Alors \((g\circ f)(x)=g(x+1)=(x+1)^2\), tandis que \((f\circ g)(x)=g(x)+1=x^2+1\) : les deux composées sont différentes en général.
Figure interactive — Une fonction et sa réciproque
La courbe de \(f^{-1}\) (orange) est le symétrique de celle de \(f\) (navy) par rapport à la droite \(y=x\) (pointillés).