Première D · Leçon 1
Équations – inéquations – polynômes – systèmes linéaires
Ce que dit le programme officiel (18 points)
- Polynômes du second degré
- Somme et produit des zéros d’un polynôme du second degré, mise en équation
- Équation du second degré avec paramètre et quelques exemples d’inéquations du second degré avec paramètre
- Utiliser la somme et le produit des zéros d’un polynôme du second degré
- Résoudre une équation du second degré avec paramètre
- Factorisation d’un polynôme de degré n (n ≥ 3)
- Zéro d’un polynôme
- Théorème de factorisation
- Reconnaître et utiliser le théorème de factorisation d’un polynôme
- Limite : le théorème de factorisation est admis
- Systèmes d’équations linéaires dans ℝ³ et ℝ⁴
- Résoudre des systèmes d’équations linéaires à l’aide de la méthode du pivot de Gauss
- Limite : la méthode du pivot de Gauss est présentée sans aucune théorie
- Exemples d’équations et d’inéquations irrationnelles
- Équation du type √(ax + b) = cx + d
- Inéquations des types √(ax + b) ≤ cx + d ; √(ax + b) ≥ cx + d ; √(ax + b) < cx + d ; √(ax + b) > cx + d
- Résoudre les équations et inéquations irrationnelles retenues à ce niveau
- Limite : « on exclura les paramètres » (commentaire placé en regard des systèmes linéaires et des équations et inéquations irrationnelles)
Source : Programme de mathématiques, classe de Première D, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Trinôme du second degré : forme canonique
Rappel de SecondeUn polynôme du second degré s'écrit \(P(x) = ax^2+bx+c\) avec \(a, b, c \in \mathbb{R}\) et \(a \ne 0\). Sa forme canonique est :
\[ P(x) = a\left(x-\alpha\right)^2 + \beta, \qquad \alpha = -\dfrac{b}{2a},\quad \beta = P(\alpha). \]Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresSomme et produit des racines d'un trinôme
Si \(ax^2+bx+c\) (\(a\neq0\)) admet deux racines \(x_1\), \(x_2\), alors \(S=x_1+x_2=-\dfrac ba\) et \(P=x_1x_2=\dfrac ca\).
Exemple. \(x^2-7x+12=0\) : \(S=7\), \(P=12\), donc les racines sont \(3\) et \(4\) (\(3+4=7\), \(3\times4=12\)).
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresÉquation du second degré : discriminant et racines
Rappel de SecondePour \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\ne 0\)), on pose \(\Delta = b^2-4ac\).
Si \(\Delta > 0\) : deux solutions distinctes,
\[ x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}. \]Si \(\Delta = 0\) : une unique solution (racine double), \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\).
Si \(\Delta < 0\) : aucune solution réelle.
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresSigne du trinôme et inéquations du second degré
Rappel de SecondeSi \(\Delta > 0\) (racines \(x_1<x_2\)) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) à l'extérieur de \([x_1;x_2]\), du signe de \(-a\) entre les racines.
Si \(\Delta = 0\) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) partout, sauf en \(x_0\) où il s'annule.
Si \(\Delta < 0\) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) pour tout réel \(x\) (jamais nul).
Règle mnémotechnique du Bac : « signe de \(a\), sauf entre les racines ».
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresFigure interactive — Parabole \(y=ax^2+bx+c\)
Observez comment le signe du discriminant détermine le nombre de points d'intersection avec l'axe des abscisses.
Polynômes : degré, racine et factorisation par (x − a)
Un polynôme s'écrit sous forme réduite \(P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\) avec \(a_n\ne0\) : \(n\) est le degré de \(P\). Le polynôme nul est celui dont tous les coefficients sont nuls ; on admet que si un polynôme est nul, tous ses coefficients le sont.
Si \(P(a)=0\), alors \(P(x)=(x-a)Q(x)\) pour un polynôme \(Q\) de degré \(n-1\).
Pour \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\ne0\)) de racines \(x_1,x_2\) (éventuellement égales) :
\[ x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}. \]Utile pour retrouver rapidement des racines évidentes, ou pour construire un trinôme à partir de deux racines données.
Diviser \(P(x)=2x^3-3x^2+4x-1\) par \(D(x)=x-1\).
On dispose la division comme pour les entiers : \(2x^3\div x = 2x^2\), on multiplie et soustrait, on répète.
\[ \begin{aligned} 2x^3-3x^2+4x-1 &= (x-1)(2x^2) + (-x^2+4x-1) \\ &= (x-1)(2x^2-x) + (3x-1) \\ &= (x-1)(2x^2-x+3) + 2 \end{aligned} \]Quotient \(2x^2-x+3\), reste \(2\) (constant, degré \(<1\)).
Racine évidente. \(P(x)=x^3-6x^2+11x-6\) : \(P(1)=1-6+11-6=0\). On divise par \((x-1)\) : \(P(x)=(x-1)(x^2-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3)\).
Fraction rationnelle. Simplifier \(\dfrac{x^2-4}{x^2-x-2}\). On factorise : numérateur \((x-2)(x+2)\), dénominateur \((x-2)(x+1)\) (car somme des racines \(1\), produit \(-2\) : racines \(2\) et \(-1\)). Pour \(x\ne2\) : \(\dfrac{x^2-4}{x^2-x-2}=\dfrac{x+2}{x+1}\).
Systèmes linéaires à trois inconnues : pivot de Gauss
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresÉquations et inéquations avec radicaux
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresFigure — \(\sqrt{2x+3}=x\), une seule vraie solution
Les courbes \(y=\sqrt{2x+3}\) et \(y=x\) ne se croisent qu'en \(x=3\) : \(x=-1\), trouvé après élévation au carré, est une solution parasite (la droite \(y=x\) y est négative, incompatible avec une racine carrée).
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresÉquations et inéquations du premier degré
Rappel de SecondeL'ordre est conservé par addition d'un même réel, et par multiplication par un réel strictement positif. Il est inversé par multiplication par un réel strictement négatif. Toute virtuosité technique au-delà de ces règles élémentaires est exclue du programme.
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
Résoudre \(-2x+5 \le 11\).
\(-2x \le 6\), puis on divise par \(-2\) (négatif : l'inégalité s'inverse) : \(x \ge -3\). Solution : \(x \in [-3\,;+\infty[\).
Facile. \(3x-1 > 8 \iff 3x > 9 \iff x > 3\), soit \(x \in\ ]3\,;+\infty[\).
Intervalle. \(x \in [-2\,;5[\) signifie \(-2 \le x < 5\) : borne de gauche incluse, borne de droite exclue.
Figure interactive — Fonction de proportionnalité
La droite \(y=ax\) passe toujours par l'origine, quel que soit \(a\).
Résumé
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresSujet type devoir
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offres