Suites numériques

Exercice 1 — QCM

1) $(u_n)$ est arithmétique, $u_0=5$, $r=3$. La valeur de $u_{10}$ est :
a) $32$   b) $35$   c) $38$   d) $30$

2) $(u_n)$ est géométrique, $u_0=2$, $q=3$. La valeur de $u_5$ est :
a) $162$   b) $242$   c) $486$   d) $729$

3) $(u_n)$ est arithmétique, $u_0=1$, $r=2$. La somme $S=u_0+u_1+\cdots+u_9$ ($10$ termes) vaut :
a) $90$   b) $55$   c) $110$   d) $100$

4) La suite $(v_n)$ définie par $v_n=(0{,}8)^n$ :
a) diverge vers $+\infty$   b) converge vers $0$   c) converge vers $1$   d) est périodique

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $f(x)=3x-2$ et $u_n=f(n)$ pour tout $n$. $u_3$ vaut :
a) 5   b) 7   c) 9   d) 1

2) Soit $u_0=2$ et $u_{n+1}=3u_n+1$. $u_2$ vaut :
a) 19   b) 22   c) 25   d) 7

3) Soit $v_n=8-2n$. $v_{n+1}-v_n$ vaut :
a) $-2$   b) $2$   c) $-2n$   d) $8$

4) Une suite $(w_n)$ vérifie $w_{n+1}-w_n=4$ pour tout $n$. La suite $(w_n)$ est :
a) croissante   b) décroissante   c) constante   d) on ne peut pas savoir

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $v_n=\dfrac n{n+3}$. Cette suite est majorée par :
a) $1$   b) $\dfrac13$   c) $3$   d) $n$

2) Soit $w_n=50-7n$. Le sens de variation de $(w_n)$ est :
a) croissante   b) décroissante   c) constante   d) non monotone

3) Dans une démonstration par récurrence, la deuxième étape s'appelle :
a) Initialisation   b) Hérédité   c) Conclusion   d) Réciproque

4) Une suite $(u_n)$ vérifie $u_{n+p}=u_n$ pour tout $n$ : elle est dite :
a) monotone   b) majorée   c) périodique de période $p$   d) bornée

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(4n^2-7)$ vaut :
a) $4$   b) $-7$   c) $+\infty$   d) $0$

2) $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac1{n^3}$ vaut :
a) $+\infty$   b) $1$   c) $0$   d) n'existe pas

3) Soit $u_n=(0{,}8)^n$. $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$ vaut :
a) $0$   b) $+\infty$   c) $1$   d) $0{,}8$

4) $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(9-5\times\left(\dfrac13\right)^n\right)$ vaut :
a) $9$   b) $4$   c) $-5$   d) n'existe pas

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un jeune commerçant veut acheter un tricycle de transport dans $5$ ans, dès que son épargne atteindra $550\,000$ FCFA. Il dispose aujourd'hui de $400\,000$ FCFA et hésite entre deux structures de microfinance :

Option A : chaque année, l'épargne augmente d'un montant fixe de $30\,000$ FCFA (intérêt simple).
Option B : chaque année, l'épargne est multipliée par $1{,}06$ (intérêt composé à $6\,\%$). On donne $1{,}06^5\approx 1{,}3382$.

Consigne : Calculer le montant obtenu après $5$ ans dans chacune des deux options, puis conseiller au commerçant l'option qui lui permet d'atteindre son objectif de $550\,000$ FCFA.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une ONG suit le nombre total d'arbres plantés dans le cadre d'un programme de reboisement. Le nombre cumulé d'arbres plantés après $n$ années, noté $u_n$, vérifie $u_0=200$ (arbres plantés la première année) et, pour tout $n$, $u_{n+1}=u_n+150$ (150 nouveaux arbres plantés chaque année, qui s'ajoutent au total).

Consigne : Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$, étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$, et dire si ce modèle est cohérent avec un programme de reboisement mené sans interruption.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une ONG installe des pompes à eau villageoises dans la région du Sahel. Elle modélise la proportion de pompes en panne après $n$ mois de fonctionnement par $p_n=\dfrac n{n+2}$.

Consigne : Montrer que cette proportion reste toujours strictement inférieure à $1$ (majorée par $1$), montrer qu'elle est croissante, et interpréter ces deux résultats pour la maintenance à long terme du réseau de pompes.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une banque de développement finance un projet d'adduction d'eau. Le coût cumulé de maintenance (en millions de FCFA) après $n$ années de fonctionnement suit $C_n=8-6\times(0{,}5)^n$.

Consigne : Étudier la limite de $C_n$ quand $n\to+\infty$, et interpréter ce résultat pour le budget à long terme du projet : le coût cumulé se stabilise-t-il, et vers quelle valeur plafond ?

Partie A. $(u_n)$ est arithmétique, $u_0=7$, $r=4$. 1) Calculer $u_1,u_2,u_3$ et exprimer $u_n$ en fonction de $n$. 2) Exprimer $S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n$ en fonction de $n$, puis calculer $S_{10}$.

Partie B. $(v_n)$ est géométrique, $v_0=3$, $q=2$. 3) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et calculer $v_6$. 4) Exprimer $T_n=v_0+v_1+\cdots+v_n$ en fonction de $n$, puis calculer $T_6$.

Partie C. 5) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $2^n\geqslant n+1$.

Problème.

Partie A. Soit $f(x)=2x^2-1$ et $u_n=f(n)$ pour tout $n\in\mathbb N$.
1) Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$.
2) Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$, et en déduire le sens de variation de $(u_n)$.

Partie B. Soit $(v_n)$ définie par $v_0=3$ et, pour tout $n$, $v_{n+1}=2v_n-1$.
3) Calculer $v_1$, $v_2$, $v_3$ et $v_4$.
4) En observant les écarts entre termes consécutifs, conjecturer une expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis vérifier cette conjecture pour $n=0,1,2,3,4$.

Exercice 4 — Approfondissement

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\dfrac13u_n+4$.

1) On pose $v_n=u_n-6$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.

2) Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.

3) Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$.

4) Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n>5{,}99$.

Problème — Un laboratoire étudie l'effet d'un traitement antibiotique sur une population bactérienne. Le nombre de bactéries après $n$ heures, noté $u_n$, vérifie $u_0=1\,000$ et $u_{n+1}=2u_n-500$ pour tout $n$.

Partie A. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$.

Partie B. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n=500\times2^n+500$.

Partie C. D'après la formule de la partie B, quel est le comportement de $u_n$ lorsque $n$ devient très grand ? Que peut-on en conclure sur l'efficacité de ce traitement pour éradiquer la population bactérienne à long terme ?

Problème — Une plateforme de tutorat en ligne burkinabè suit trois indicateurs mensuels, $n$ désignant le nombre de mois depuis le lancement.

Partie A. Nombre d'inscriptions cumulées (en dizaines) : $u_n=6n^3-100$. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$, en justifiant.

Partie B. Taux de rétention (en %) : $v_n=12-8\times(0{,}25)^n$. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n$, en justifiant.

Partie C. Note de satisfaction (sur $10$) : $w_n=\dfrac1{n^2}+5$. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}w_n$, en justifiant.

Partie D. D'après les trois résultats précédents, lequel de ces indicateurs ne se stabilise jamais et continue de croître indéfiniment ? Lesquels se stabilisent, et vers quelles valeurs ?