Première D · Leçon 8
Statistique descriptive
Exercices corrigés
QCM — Caractéristiques de dispersion
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Pour la série $4,6,6,8$, l'étendue vaut :
a) $2$ b) $4$ c) $6$ d) $8$
2) La formule simplifiée de la variance est :
a) $V=\left(\dfrac1n\sum x_i^2\right)-\bar x$ b) $V=\left(\dfrac1n\sum x_i^2\right)-\bar x^2$ c) $V=\bar x^2-\left(\dfrac1n\sum x_i^2\right)$ d) $V=\dfrac1n\sum(x_i-\bar x)$
3) L'écart-type $\sigma$ est égal à :
a) $V^2$ b) $\sqrt V$ c) $\dfrac Vn$ d) $nV$
4) Pour la série $2,2,2,2$, la variance vaut :
a) $0$ b) $2$ c) $4$ d) indéfinie
QCM — Effectif, mode, moyenne, médiane
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
Une coopérative a relevé l'âge de $20$ de ses membres :
\[ \begin{array}{c|ccccc} \text{Âge} & 20 & 25 & 30 & 35 & 40 \\ \hline \text{Effectif} & 2 & 5 & 8 & 3 & 2 \end{array} \]1) L'effectif total de cette série est :
a) $20$ b) $5$ c) $150$ d) $8$
2) Le mode de cette série est :
a) $30$ b) $8$ c) $35$ d) $20$
3) La moyenne de cette série vaut (arrondie) :
a) $29{,}5$ b) $30$ c) $28$ d) $32$
4) La médiane de cette série est :
a) $30$ b) $29{,}5$ c) $25$ d) $27{,}5$
Situation d'intégration — Prix du kilogramme de tomate, vallée du Kou
Exercice 2 — Situation d'intégration
Une coopérative maraîchère de la vallée du Kou relève, le même jour, le prix de vente (en francs CFA) du kilogramme de tomate sur $5$ marchés partenaires : $250$, $275$, $260$, $245$, $270$.
Avant de fixer un prix de référence commun à tous les marchés, la coopérative veut vérifier si ces prix sont suffisamment homogènes. Elle a fixé comme critère : si l'écart-type des prix dépasse $15$ FCFA, les prix sont jugés trop dispersés pour fixer un prix unique.
Consigne : Calculer le prix moyen, la variance (à l'aide de la formule simplifiée) puis l'écart-type de cette série (arrondi au centième), et conclure si la coopérative peut fixer un prix de référence unique.
Voir le corrigé
- Moyenne. $\bar x=\dfrac{250+275+260+245+270}5=\dfrac{1\,300}5=260$ FCFA.
- Variance (formule simplifiée). $\sum x_i^2=250^2+275^2+260^2+245^2+270^2=62\,500+75\,625+67\,600+60\,025+72\,900=338\,650$. $V=\dfrac{338\,650}5-260^2=67\,730-67\,600=130$.
- Écart-type. $\sigma=\sqrt{130}\approx11{,}40$ FCFA.
- Conclusion. $11{,}40<15$ : les prix sont suffisamment homogènes, la coopérative peut fixer un prix de référence commun d'environ $260$ FCFA/kg.
Situation d'intégration — Rendements de mil au Sahel
Exercice 2 — Situation d'intégration
Le président d'une association de producteurs de mil dans la région du Sahel a relevé les rendements (en kg par are) de $15$ parcelles pilotes : $40, 45, 45, 50, 50, 50, 55, 55, 55, 55, 60, 60, 65, 70, 75$.
Consigne : 1) Construire le tableau des effectifs et l'effectif cumulé croissant. 2) Calculer le rendement moyen des $15$ parcelles. 3) Déterminer la médiane de cette série. 4) Le président qualifie de "bon rendement" toute parcelle au-dessus de la moyenne. Combien de parcelles sont dans ce cas ?
Exercice supplémentaire — Vaccinations
Exercice supplémentaire. Un vétérinaire relève le nombre de vaccins administrés par jour sur $20$ jours : $3$ jours à $2$ vaccins, $5$ jours à $4$ vaccins, $8$ jours à $5$ vaccins, $4$ jours à $8$ vaccins.
1) Vérifier que l'effectif total est bien $20$.
2) Calculer la moyenne.
3) Déterminer la médiane de cette série.
Problème — Pluviométrie de deux régions
Problème — On compare les précipitations mensuelles (en mm) de deux régions sur $4$ mois.
Région A : $80$, $85$, $75$, $80$. Région B : $40$, $100$, $60$, $120$.
Partie A. Calculer la moyenne, l'étendue, l'écart-moyen, la variance (formule simplifiée) et l'écart-type de la région A.
Partie B. Calculer les mêmes caractéristiques pour la région B.
Partie C. Comparer les deux régions et conclure sur celle qui présente le risque agricole lié à l'irrégularité des pluies le plus élevé.
Problème — Notes d'une interrogation
Problème. Un enseignant de mathématiques d'un lycée a noté sur $20$ les résultats de $22$ élèves à une interrogation : $6, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 17, 18, 19$.
Partie A.
1) Quel est le mode de cette série ?
2) Calculer la moyenne de la classe (arrondir au dixième).
Partie B.
3) Déterminer la médiane de cette série ($22$ valeurs : moyenne des $11^e$ et $12^e$ valeurs triées).
4) L'enseignant attribue une mention "Très bien" aux notes strictement supérieures à $15$. Combien d'élèves l'obtiennent, et quel pourcentage de la classe cela représente-t-il (arrondi à l'entier) ?
Voir le corrigé
- Mode $=12$ (effectif $4$, le plus grand).
- Somme $=6+16+9+30+11+48+26+28+30+16+17+18+19=274$. Moyenne $=274/22\approx12{,}5$.
- Effectifs cumulés : $\ldots$, jusqu'à $11$ : $8$ ; jusqu'à $12$ : $12$. Les $11^e$ et $12^e$ valeurs sont toutes deux dans le groupe $12$ : médiane $=(12+12)/2=12$.
- Notes $>15$ : $16, 17, 18, 19$ soit $4$ élèves. Pourcentage $=4/22\times100\approx18\%$.
Regrouper vingt masses en classes
Un vendeur a pesé vingt mangues. Voici leurs masses, en grammes, rangées dans l'ordre croissant : 205, 212, 228, 236, 240, 250, 255, 262, 268, 270, 274, 281, 288, 295, 300, 305, 318, 326, 340, 349.
On les regroupe dans les classes \([200\,;250[\), \([250\,;300[\) et \([300\,;350[\).
1) Dans quelle classe range-t-on la mangue de 250 g ? celle de 300 g ? Donne l'effectif de chaque classe.
2) Donne l'amplitude et le centre de chaque classe, puis la fréquence de chaque classe en pourcentage.
3) Calcule la masse moyenne des mangues à partir du tableau regroupé, en utilisant les centres des classes.
Voir le corrigé
1) Dans une classe \([a\,;b[\), la borne \(a\) est comptée et la borne \(b\) ne l'est pas. La mangue de 250 g est donc dans \([250\,;300[\) et celle de 300 g dans \([300\,;350[\). On compte : cinq masses dans \([200\,;250[\) (205, 212, 228, 236, 240), neuf dans \([250\,;300[\) (de 250 à 295) et six dans \([300\,;350[\) (de 300 à 349). Contrôle : \(5+9+6=20\).
2) Les trois classes ont la même amplitude : \(250-200=50\) g. Leurs centres sont \(\dfrac{200+250}{2}=225\), \(\dfrac{250+300}{2}=275\) et \(\dfrac{300+350}{2}=325\). Les fréquences sont \(\dfrac{5}{20}=25\ \%\), \(\dfrac{9}{20}=45\ \%\) et \(\dfrac{6}{20}=30\ \%\) ; leur somme est bien 100 %.
3) On fait comme si toutes les mangues d'une classe avaient la masse du centre : \(\dfrac{225\times 5+275\times 9+325\times 6}{20}=\dfrac{1125+2475+1950}{20}=\dfrac{5550}{20}=277{,}5\). La masse moyenne est environ 277,5 g. C'est une valeur approchée : avec les vingt masses de départ, on trouverait 275,1 g. Le regroupement fait perdre un peu de précision.
Réponse : 250 g est dans \([250\,;300[\) et 300 g dans \([300\,;350[\) ; effectifs 5, 9 et 6 ; amplitude 50 g ; centres 225, 275 et 325 ; fréquences 25 %, 45 % et 30 % ; moyenne approchée 277,5 g.
Histogramme avec des classes d'amplitudes inégales
On a relevé la superficie, en hectares, des champs de 50 cultivateurs d'un village.
| Superficie | \([0\,;2[\) | \([2\,;4[\) | \([4\,;6[\) | \([6\,;10[\) | \([10\,;20[\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 8 | 14 | 10 | 12 | 6 |
1) Donne l'amplitude et le centre de chaque classe.
2) On veut tracer l'histogramme en prenant 2 hectares pour amplitude unité. Calcule la hauteur de chaque rectangle.
3) La classe \([6\,;10[\) a un effectif plus grand que la classe \([4\,;6[\). Son rectangle est-il plus haut ? Explique.
4) Quel pourcentage des cultivateurs possède un champ de moins de 4 hectares ?
Lire un histogramme et estimer une moyenne
Un commerçant a noté le montant des achats de ses clients pendant une matinée, en milliers de francs. Il a tracé un histogramme en prenant pour amplitude unité 5 milliers de francs. Voici la hauteur de chaque rectangle.
| Montant | \([10\,;15[\) | \([15\,;20[\) | \([20\,;30[\) | \([30\,;50[\) |
|---|---|---|---|---|
| Hauteur | 4 | 8 | 3 | 1,5 |
1) Donne l'amplitude et le centre de chaque classe.
2) Retrouve l'effectif de chaque classe, puis le nombre total de clients.
3) Quelle est la fréquence des clients dont l'achat est inférieur à 20 milliers de francs ?
4) Estime le montant moyen d'un achat, à la centaine de francs près.
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.