Première D · Leçon 3
Limites – continuité
Exercices corrigés
QCM — Limites et asymptotes
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{4x+3}{x-1}$ vaut :
a) $4$ b) $-3$ c) $0$ d) $+\infty$
2) Soit $g(x)=\dfrac5{x+2}$. La courbe de $g$ admet pour asymptote verticale la droite :
a) $x=2$ b) $x=-2$ c) $y=5$ d) $y=0$
3) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(7-\dfrac3{x^2}\right)$ vaut :
a) $7$ b) $-3$ c) $4$ d) $+\infty$
4) Pour $x>0$, on a $|h(x)-2|\leqslant\dfrac4x$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac4x=0$. On en déduit :
a) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=2$ b) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=4$ c) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=0$ d) on ne peut rien conclure
Voir le corrigé
- Réponse : a. $4x+3=4(x-1)+7$, donc $f(x)=4+\dfrac7{x-1}\to4$ quand $x\to+\infty$.
- Réponse : b. $g$ n'est pas définie en $x=-2$ et $\displaystyle\lim_{x\to-2}g(x)=\pm\infty$ selon le côté : asymptote verticale $x=-2$.
- Réponse : a. $\dfrac3{x^2}\to0$ quand $x\to+\infty$, donc la limite vaut $7-0=7$.
- Réponse : a. C'est le théorème de comparaison : l'encadrement $|h(x)-2|\leqslant4/x$ avec $4/x\to0$ force $h(x)\to2$.
Situation d'intégration — Coût de production
Exercice 2 — Situation d'intégration
Une unité de transformation de karité a un coût moyen de production, en milliers de FCFA par kilogramme, modélisé par $C(x)=\dfrac{500+3x}{x+2}$, où $x$ est la quantité produite en tonnes, $x\in\;]0;+\infty[$.
Le gérant de l'unité envisage d'augmenter fortement la production et veut savoir si le coût moyen peut descendre indéfiniment, ou s'il existe un plancher que le coût ne pourra jamais franchir, même pour une très grande quantité produite.
Consigne : Réécrire $C(x)$ sous la forme $a+\dfrac{b}{x+2}$, déterminer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}C(x)$ et l'interpréter, puis étudier le signe de $C(x)-a$ pour dire si le coût moyen peut atteindre ou passer sous ce seuil pour une valeur finie de $x$.
Voir le corrigé
- Réécriture. $500+3x=3(x+2)+494$ (car $3(x+2)=3x+6$, et $500-6=494$), donc $C(x)=3+\dfrac{494}{x+2}$.
- Limite. Quand $x\to+\infty$, $\dfrac{494}{x+2}\to0$, donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}C(x)=3$ : la droite $y=3$ est asymptote horizontale. Le coût moyen se rapproche de $3$ milliers de FCFA/kg sans jamais réellement l'atteindre pour une production finie.
- Signe de $C(x)-3=\dfrac{494}{x+2}$. Pour $x>0$, on a $x+2>0$ donc $\dfrac{494}{x+2}>0$ : $C(x)>3$ pour toute valeur de $x$.
- Conclusion. Le coût moyen reste toujours strictement supérieur à $3$ milliers de FCFA/kg, quelle que soit la quantité produite : il existe bien un plancher que le gérant ne pourra jamais franchir, seulement en approcher indéfiniment en augmentant $x$.
Problème — Étude complète des limites et asymptotes d'une fonction homographiqueApprofondissement — Limites et asymptotes d'une fonction homographique
Soit $f(x)=\dfrac{2x+7}{x+1}$, définie sur $\mathbb R\setminus\{-1\}$.
Partie A. 1) Écrire $f(x)$ sous la forme $a+\dfrac{b}{x+1}$. 2) Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$, en $-\infty$, en $(-1)^-$ et en $(-1)^+$. En déduire les équations de toutes les asymptotes de la courbe de $f$.
Partie B. 3) Calculer $f(x)-2$ et simplifier l'expression. En déduire une expression simplifiée de $g(x)=|f(x)-2|$ pour $x\neq-1$. 4) Résoudre l'inéquation $f(x)>2$.
Approfondissement — Limites et asymptotes d'une fonction homographique
Exercice 4 — Approfondissement
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}$.
1) Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)$. Qu'en déduit-on ?
2) Montrer que, pour tout $x\neq1$, $f(x)=x+1+\dfrac{2}{x-1}$.
3) En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[f(x)-(x+1)]$ et interpréter graphiquement.