Première D · Leçon 5
Exemples d’étude de fonctions numériques
Exercices corrigés
Problème — Étude d'une fonction rationnelle et de ses asymptotes
Problème — Soit $f(x)=\dfrac{5x-1}{2x+4}$, définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$.
Partie A. 1) Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $f(x)=a+\dfrac{b}{2x+4}$. 2) En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$, puis donner l'équation de l'asymptote horizontale. 3) Déterminer les limites de $f$ en $(-2)^-$ et $(-2)^+$, puis donner l'équation de l'asymptote verticale.
Partie B. 1) Étudier le signe de $f(x)-a$ selon les valeurs de $x$. 2) En déduire, selon les valeurs de $x$, si la courbe de $f$ est au-dessus ou en dessous de son asymptote horizontale.
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- $5x-1=\dfrac52(2x+4)-11$ (car $\dfrac52(2x+4)=5x+10$, et $-1-10=-11$), donc $a=\dfrac52$, $b=-11$ : $f(x)=\dfrac52-\dfrac{11}{2x+4}$.
- Quand $x\to\pm\infty$, $\dfrac{11}{2x+4}\to0$, donc $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\dfrac52$. Asymptote horizontale : $y=\dfrac52$.
- Quand $x\to(-2)^+$, $2x+4\to0^+$, donc $-\dfrac{11}{2x+4}\to-\infty$ et $f(x)\to-\infty$. Quand $x\to(-2)^-$, $2x+4\to0^-$, donc $-\dfrac{11}{2x+4}\to+\infty$ et $f(x)\to+\infty$. Asymptote verticale : $x=-2$.
- $f(x)-\dfrac52=-\dfrac{11}{2x+4}$. Pour $x>-2$, $2x+4>0$ donc $-\dfrac{11}{2x+4}<0$ : $f(x)<\dfrac52$. Pour $x<-2$, $2x+4<0$ donc $-\dfrac{11}{2x+4}>0$ : $f(x)>\dfrac52$.
- Sur $]-2;+\infty[$, la courbe de $f$ reste en dessous de l'asymptote $y=\dfrac52$ ; sur $]-\infty;-2[$, elle reste au-dessus.
Étudier une fonction homographique
On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\). On note \(\mathcal C\) sa courbe dans un repère.
1) Donne l'ensemble de définition de \(f\). Calcule les limites de \(f\) en \(-\infty\), en \(+\infty\), puis à gauche et à droite de 1. Quelles asymptotes en déduis-tu ?
2) Calcule \(f'(x)\) et dresse le tableau de variation de \(f\).
3) Détermine les points d'intersection de \(\mathcal C\) avec les axes du repère.
4) Démontre que le point \(I\) de coordonnées \((1\,;2)\) est centre de symétrie de \(\mathcal C\).
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1) Le dénominateur s'annule pour \(x=1\) : \(f\) est définie sur \(]-\infty\,;1[\,\cup\,]1\,;+\infty[\). En l'infini, on écrit \(f(x)=\dfrac{2+\frac1x}{1-\frac1x}\) : les limites en \(-\infty\) et en \(+\infty\) valent 2. La droite d'équation \(y=2\) est asymptote horizontale à \(\mathcal C\). En 1, le numérateur tend vers 3 et le dénominateur vers 0 : à droite de 1 le dénominateur est positif, la limite est \(+\infty\) ; à gauche il est négatif, la limite est \(-\infty\). La droite d'équation \(x=1\) est asymptote verticale.
2) Avec la dérivée d'un quotient : \(f'(x)=\dfrac{2(x-1)-(2x+1)\times 1}{(x-1)^2}=\dfrac{-3}{(x-1)^2}\). Elle est strictement négative pour tout \(x\neq 1\). Donc \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;1[\), où elle descend de 2 vers \(-\infty\), et strictement décroissante sur \(]1\,;+\infty[\), où elle descend de \(+\infty\) vers 2. Attention : \(f\) n'est pas décroissante sur la réunion des deux intervalles.
3) Avec l'axe des ordonnées : \(f(0)=\dfrac{1}{-1}=-1\), point \((0\,;-1)\). Avec l'axe des abscisses : \(f(x)=0\) équivaut à \(2x+1=0\), soit \(x=-\dfrac12\), point \(\left(-\dfrac12\,;0\right)\).
4) Pour tout réel \(h\neq 0\), les réels \(1+h\) et \(1-h\) sont dans l'ensemble de définition. On calcule \(f(1+h)=\dfrac{3+2h}{h}=2+\dfrac3h\) et \(f(1-h)=\dfrac{3-2h}{-h}=2-\dfrac3h\). Donc \(f(1+h)+f(1-h)=4=2\times 2\) : le milieu des points de \(\mathcal C\) d'abscisses \(1+h\) et \(1-h\) est toujours \(I\). Le point \(I\), intersection des deux asymptotes, est centre de symétrie de \(\mathcal C\).
Réponse : Ensemble de définition : tous les réels sauf 1 ; asymptotes \(x=1\) et \(y=2\) ; \(f'(x)=\dfrac{-3}{(x-1)^2}\), \(f\) strictement décroissante sur chacun des deux intervalles ; la courbe coupe les axes en \((0\,;-1)\) et \(\left(-\dfrac12\,;0\right)\) ; \(I(1\,;2)\) est centre de symétrie.
Un quotient avec une asymptote oblique
On considère la fonction \(f\) définie pour \(x\neq 1\) par \(f(x)=\dfrac{x^2-3x+6}{x-1}\), et \(\mathcal C\) sa courbe.
1) Vérifie que, pour tout \(x\neq 1\), \(f(x)=x-2+\dfrac{4}{x-1}\).
2) Calcule les limites de \(f\) aux bornes de son ensemble de définition. Montre que la droite \(\Delta\) d'équation \(y=x-2\) est asymptote à \(\mathcal C\), et cite l'autre asymptote.
3) Calcule \(f'(x)\), étudie son signe et dresse le tableau de variation de \(f\).
4) Étudie la position de \(\mathcal C\) par rapport à \(\Delta\).
Étudier la fonction qui à x associe sin(2x)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=\sin(2x)\).
1) Montre que \(f\) est périodique de période \(\pi\) et qu'elle est impaire. Que peut-on en déduire pour sa courbe ?
2) Calcule \(f'(x)\) et étudie son signe sur l'intervalle \([0\,;\pi]\).
3) Dresse le tableau de variation de \(f\) sur \([0\,;\pi]\) et précise ses extremums.
4) Résous dans \([0\,;\pi]\) l'équation \(f(x)=\dfrac12\), puis donne une équation de la tangente à la courbe à l'origine.