Dérivation

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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $f(x)=x^2$. Le nombre dérivé $f'(3)$ vaut :
a) $3$   b) $6$   c) $9$   d) $0$

2) Sachant $f(2)=5$ et $f'(2)=-3$, la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $2$ a pour équation :
a) $y=-3x+11$   b) $y=5x-3$   c) $y=-3x-1$   d) $y=3x+5$

3) La dérivée de $g(x)=\cos(4x-1)$ est :
a) $-4\sin(4x-1)$   b) $4\sin(4x-1)$   c) $-\sin(4x-1)$   d) $4\cos(4x-1)$

4) La dérivée de $\dfrac{x-2}{x+3}$ est :
a) $\dfrac5{(x+3)^2}$   b) $\dfrac1{(x+3)^2}$   c) $\dfrac{-5}{(x+3)^2}$   d) $1$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Si $f'(x)>0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est sur $I$ :
a) constante   b) croissante   c) décroissante   d) non dérivable

2) Si $f$ est dérivable et admet un extremum local en $a$, intérieur à $I$, alors :
a) $f(a)=0$   b) $f'(a)=0$   c) $f''(a)=0$   d) $f(a)=a$

3) Pour appliquer le théorème de la bijection monotone à $f$ sur $[a;b]$, il faut que $f$ soit :
a) continue seulement   b) dérivable et $f'$ de signe constant sur $[a;b]$   c) positive sur $[a;b]$   d) paire

4) La courbe de $|f|$ s'obtient à partir de celle de $f$ en :
a) la translatant vers le haut   b) repliant vers le haut, par symétrie d'axe $(Ox)$, les portions où $f$ est négative   c) l'inversant totalement   d) rien ne change

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $h(x)=x^3-2x$. $h'(x)$ est égal à :
a) $3x^2-2$   b) $3x^2-2x$   c) $x^2-2$   d) $3x-2$

2) Avec la même fonction $h$, $h'(2)$ vaut :
a) $10$   b) $8$   c) $12$   d) $6$

3) Soit $h_2(x)=x^2-3x$. L'équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse $x=1$ est :
a) $y=-x-1$   b) $y=-x+1$   c) $y=x-1$   d) $y=-2x+1$

4) Soit $k(x)=\dfrac1{x+1}$. $k'(x)$ est égal à :
a) $\dfrac{-1}{(x+1)^2}$   b) $\dfrac1{(x+1)^2}$   c) $\dfrac{-1}{x+1}$   d) $\dfrac1{x+1}$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un chauffeur de taxi-brousse effectue le trajet entre deux villes. Il modélise la distance parcourue depuis le départ, en kilomètres, par $d(t)=-2t^2+50t$, où $t$ est le temps écoulé en heures, $t\in[0;5]$.

Sur une portion de route particulière, la limitation de vitesse est fixée à $90$ km/h. Le chauffeur veut vérifier s'il respecte cette limitation exactement à l'instant $t=2$ heures après son départ.

Consigne : Calculer le nombre dérivé $d'(2)$ en utilisant la définition (taux de variation entre $2$ et $2+h$, puis limite quand $h\to0$), interpréter ce nombre comme une vitesse instantanée, et dire si le chauffeur respecte la limitation à cet instant.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une exploitante de manguiers de la Boucle du Mouhoun vend sa récolte sur le marché local. Son bénéfice, en milliers de FCFA, est modélisé par $B(x)=-x^2+18x-45$, où $x$ est le nombre de tonnes vendues, $x\in[0;16]$.

Elle souhaite déterminer la quantité à vendre pour obtenir le bénéfice le plus élevé possible, sans gaspiller de récolte en vendant au-delà de cette quantité optimale.

Consigne : Calculer $B'(x)$, étudier son signe sur $[0;16]$, en déduire les variations de $B$ sur cet intervalle, puis déterminer la quantité optimale à vendre et le bénéfice maximal correspondant.

Exercice supplémentaire. Un artisan dispose de barres de fer dont la longueur $x$ (en mètres) vérifie $2\le x\le5$.

1) Donner un majorant et un minorant de cet ensemble de longueurs.
2) Deux barres de longueurs $x_1$ et $x_2$ vérifient les mêmes contraintes : encadrer $x_1+x_2$ puis $x_1-x_2$.
3) L'artisan affirme que $|x_1-x_2|$ ne dépasse jamais $3$ m. A-t-il raison ?

Problème — Soit $f(x)=x^3-4x+1$ et $g(x)=\sqrt{2x+3}$.

Partie A. 1) Calculer $f'(x)$. 2) Calculer $f'(1)$, puis $f(1)$. 3) En déduire l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$.

Partie B. 1) Donner l'ensemble de définition de $g$. 2) En utilisant la formule de dérivation de $x\mapsto\sqrt{ax+b}$, calculer $g'(x)$. 3) Calculer $g'(3)$.

Problème — Soit $f(x)=-x^2+4x-1$, définie sur $\mathbb{R}$.

Partie A. 1) Calculer $f'(x)$ et étudier son signe. 2) En déduire les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ et la valeur de son maximum.

Partie B. 1) Justifier que $f$ réalise une bijection de $[2;5]$ sur un intervalle à préciser. 2) En déduire que l'équation $f(x)=-4$ admet une unique solution dans $[2;5]$, puis la déterminer.

Partie C. Déterminer les racines de $f$, puis donner l'expression de $f^+(x)$ (partie positive de $f$) selon les valeurs de $x$.

Problème. On considère l'ensemble $F=\{x\in\mathbb R\ /\ -3\le x<5\}$.

Partie A. 1) Le réel $5$ est-il un majorant de $F$ ? Est-ce le maximum de $F$ ? Justifier. 2) Le réel $-3$ est-il un minorant de $F$ ? Est-ce le minimum de $F$ ? Justifier.

Partie B. 3) Sachant $|x-1|<4$, déterminer l'intervalle ouvert correspondant, et vérifier qu'il est inclus dans $F$.

Partie C. 4) Sachant toujours $|x-1|<4$, majorer $|2x-3|$ en écrivant $2x-3=2(x-1)-1$ et en utilisant l'inégalité triangulaire.