Dénombrement

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $A$ et $B$ sont deux ensembles finis avec $\text{card}(A)=20$, $\text{card}(B)=15$, $\text{card}(A\cap B)=5$. Alors $\text{card}(A\cup B)$ vaut :
a) $35$   b) $30$   c) $40$   d) $10$

2) Dans un ensemble $E$ de cardinal $40$, une partie $A$ vérifie $\text{card}(A)=28$. Le cardinal du complémentaire $\overline A$ vaut :
a) $68$   b) $12$   c) $-12$   d) $40$

3) $E$ et $F$ sont deux ensembles finis, $\text{card}(E)=6$, $\text{card}(F)=4$. Le cardinal de $E\times F$ vaut :
a) $10$   b) $2$   c) $24$   d) $6^4$

4) $E$ est un ensemble à $7$ éléments. Le nombre de parties de $E$ (l'ensemble $\mathcal P(E)$) vaut :
a) $128$   b) $14$   c) $49$   d) $64$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $5!$ vaut :
a) $20$   b) $120$   c) $25$   d) $100$

2) $A_6^2$ vaut :
a) $30$   b) $15$   c) $12$   d) $36$

3) Le nombre de façons de ranger $4$ personnes en file indienne vaut :
a) $24$   b) $16$   c) $12$   d) $4$

4) Pour tout entier $n\geqslant1$, $A_n^n$ est égal à :
a) $n$   b) $n!$   c) $n^n$   d) $1$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $\binom72$ vaut :
a) $21$   b) $14$   c) $42$   d) $5$

2) D'après la relation $\binom np=\binom n{n-p}$, on a $\binom{10}3=\binom{10}{k}$ avec $k=$ :
a) $3$   b) $7$   c) $10$   d) $13$

3) Dans le développement de $(x+1)^4$, le coefficient de $x^2$ vaut :
a) $4$   b) $6$   c) $8$   d) $12$

4) D'après la relation de Pascal, $\binom52+\binom53=\binom6{k}$ avec $k=$ :
a) $2$   b) $3$   c) $5$   d) $6$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un lycée organise une kermesse de fin d'année. Sur les $200$ élèves de l'établissement, $120$ participent à l'atelier théâtre, $85$ à l'atelier musique, et $40$ participent aux deux ateliers à la fois.

Le comité d'organisation doit commander un tee-shirt pour chaque élève participant à au moins un atelier (sans doublon pour ceux qui font les deux), plus une réserve correspondant à $10\%$ des élèves ne participant à aucun atelier, qui seront mobilisés comme bénévoles le jour J.

Consigne : Déterminer le nombre d'élèves participant à au moins un atelier, le nombre d'élèves ne participant à aucun des deux, puis le nombre total de tee-shirts à commander (réserve bénévoles arrondie à l'entier supérieur).

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative agricole compte $10$ membres candidats à un bureau de $3$ postes bien distincts : président, trésorier et secrétaire.

La coopérative doit ensuite afficher, dans l'ordre du meilleur au moins bon, le classement des $5$ producteurs les plus performants (en tonnage de coton) parmi les $12$ producteurs de la coopérative, sans aucun ex-æquo possible.

Consigne : Déterminer le nombre de bureaux différents possibles, puis le nombre de classements différents possibles pour les $5$ meilleurs producteurs parmi les $12$.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une ONG intervenant dans la région du Sahel a formé $9$ volontaires. Elle doit sélectionner, parmi eux, une équipe de $4$ animateurs pour organiser une campagne de sensibilisation à l'hygiène dans les villages. Les $4$ postes de l'équipe sont identiques : aucune hiérarchie n'est établie entre les animateurs sélectionnés.

Pour son rapport de subvention, l'ONG doit vérifier que le nombre total d'équipes possibles reste strictement inférieur à un plafond de $150$ fixé par le bailleur de fonds (ce plafond garantissant que la procédure de sélection reste suffisamment restreinte et traçable).

Consigne : Calculer le nombre d'équipes de $4$ animateurs possibles parmi les $9$ volontaires, puis vérifier si ce nombre respecte le plafond fixé par le bailleur.

Problème — Codes, digicode et parties d'un ensemble.

Partie A. Un cadenas de vélo utilise un code à $4$ chiffres choisis parmi $\{0,1,\dots,9\}$, les répétitions étant autorisées. 1) Combien de codes différents existe-t-il au total ? 2) Combien de ces codes ont leurs $4$ chiffres deux à deux distincts ?

Partie B. Le digicode d'un immeuble utilise un code de $3$ caractères, chacun choisi parmi les $10$ chiffres et les $26$ lettres de l'alphabet ($36$ symboles au total), répétitions autorisées. Combien de codes différents sont possibles ?

Partie C. Un technicien dispose d'un ensemble $E$ de $8$ clés USB numérotées. Il doit constituer un lot à prêter à un collègue (n'importe quel sous-ensemble de $E$, y compris ne rien prêter ou tout prêter). Combien de lots différents peut-il constituer ?

Problème — $8$ candidats passent un examen oral et sont reçus un par un dans une salle.

Partie A. De combien de façons peut-on établir l'ordre de passage des $8$ candidats ?

Partie B. Parmi ces $8$ candidats, $3$ sont désignés pour représenter leur promotion lors d'une cérémonie officielle, où ils occuperont $3$ sièges numérotés distincts sur l'estrade (siège 1, siège 2, siège 3). Combien de façons y a-t-il de choisir puis de placer ces $3$ candidats sur les $3$ sièges ?

Partie C. Les $5$ candidats restants doivent également être reçus en entretien individuel, dans un ordre précis établi par le jury. Combien d'ordres de passage différents sont possibles pour ces $5$ candidats ?

Problème.

Partie A. Développer $(x-1)^5$ à l'aide de la ligne $n=5$ du triangle de Pascal.

Partie B. Vérifier la relation $\binom62+\binom63=\binom73$.

Partie C. Une coopérative compte $12$ membres. Elle doit former un comité de $5$ membres, sans distinction de rôle entre eux. Combien de comités différents peut-elle former ?

Pour ranger des dossiers, on leur attribue un code formé d'une lettre choisie parmi A, B, C, suivie d'un chiffre choisi parmi 1, 2, 3, 4. Exemple : B3.

1) Décris l'arbre de choix qui donne tous les codes, puis indique combien de codes on peut former.

2) Combien de codes commencent par la lettre A ? Combien se terminent par un chiffre pair ?

3) Les codes ne suffisent plus : on ajoute à la fin une seconde lettre, choisie parmi A, B, C mais différente de la première. Exemple : B3A. Combien de codes obtient-on ? Combien se terminent par la lettre A ?

On lance un dé bleu et un dé jaune dont les faces sont numérotées de 1 à 4, et l'on note le produit des deux numéros obtenus.

1) Dresse le tableau à double entrée des produits. Combien y a-t-il de résultats possibles (un résultat est un couple : numéro bleu, numéro jaune) ?

2) Combien de résultats donnent un produit égal à 4 ? un produit au moins égal à 8 ?

3) Combien de résultats donnent un produit pair ?

4) Combien de produits différents peut-on obtenir ? Lequel est obtenu le plus souvent ?

Une fourmi se déplace sur les lignes d'un quadrillage. Elle part du point \(A\) et, à chaque pas, elle avance d'un carreau vers la droite (D) ou d'un carreau vers le haut (H). Elle veut atteindre le point \(B\), situé 2 carreaux à droite et 2 carreaux au-dessus de \(A\). Un trajet se note par la suite de ses pas, par exemple DHHD.

1) Construis l'arbre de choix des trajets de \(A\) à \(B\) et donne leur liste. Combien y en a-t-il ?

2) Explique pourquoi on ne peut pas trouver ce nombre par le calcul \(2\times 2\times 2\times 2\).

3) Combien de trajets passent par le centre \(O\) du carré, situé 1 carreau à droite et 1 carreau au-dessus de \(A\) ?

4) La fourmi veut maintenant atteindre le point \(C\), situé 3 carreaux à droite et 2 carreaux au-dessus de \(A\). Combien de trajets a-t-elle ? Tu peux classer les trajets selon leur dernier pas.