Première D · Leçon 11
Applications du produit scalaire et du barycentre
Exercices corrigés
QCM — Calcul du produit scalaire, norme, orthogonalité
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Soit $\vec u(3;-4)$ et $\vec v(2;5)$. $\vec u\cdot\vec v$ vaut :
a) $-14$ b) $6$ c) $26$ d) $-6$
2) $\|\vec u\|$ pour $\vec u(3;-4)$ vaut :
a) $5$ b) $7$ c) $1$ d) $25$
3) Deux vecteurs $\vec u,\vec v$ sont orthogonaux si et seulement si :
a) $\vec u\cdot\vec v=0$ b) $\det(\vec u,\vec v)=0$ c) $\|\vec u\|=\|\vec v\|$ d) $\vec u=-\vec v$
4) Pour $A(2;1)$, $B(6;4)$, la distance $AB$ vaut :
a) $5$ b) $4$ c) $3$ d) $7$
Situation d'intégration — Vérifier un angle droit
Exercice 2 — Situation d'intégration
Un architecte vérifie que l'angle d'un mur de fondation est bien droit avant la pose des fondations. Les trois coins du mur sont repérés, dans un repère où les distances sont en mètres, par $A(0;0)$, $B(8;0)$, $C(8;6)$.
Consigne : 1) Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$. 2) Calculer $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$ et en déduire si l'angle en $B$ est droit. 3) Calculer les longueurs $AB$, $BC$ et $AC$, et vérifier la cohérence avec le théorème de Pythagore.
Problème — Ensemble de points et cercle de diamètre
Problème.
Partie A. Soit $A(-2;0)$ et $B(4;0)$ fixes, et $M$ un point mobile du plan.
1) Déterminer la nature de l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.
2) Donner le centre et le rayon de cet ensemble.
3) Écrire son équation cartésienne.
Partie B.
4) Le point $M(1;3)$ appartient-il à cet ensemble ? Justifier par le calcul (équation cartésienne, puis vérification directe par le produit scalaire).
Voir le corrigé
- D'après le cours, c'est le cercle de diamètre $[AB]$.
- Centre $I$ = milieu de $[AB]$ = $\left(\dfrac{-2+4}2;0\right)=(1;0)$. Rayon $=IA=|1-(-2)|=3$.
- $(x-1)^2+y^2=9$.
- Équation : $(1-1)^2+3^2=0+9=9$ : $M$ vérifie l'équation, donc appartient au cercle. Vérification directe : $\overrightarrow{MA}=(-3;-3)$, $\overrightarrow{MB}=(3;-3)$, $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=-9+9=0$ : confirmé.
Problème — Intersection cercle-droite et barycentre
Problème.
Partie A.
1) Déterminer les coordonnées des points d'intersection du cercle d'équation $x^2+y^2=25$ et de la droite d'équation $y=x-1$.
Partie B. On note $A$ et $B$ les deux points trouvés (avec $A$ d'abscisse positive).
2) Déterminer les coordonnées du barycentre $G$ de $(A,3)$ et $(B,1)$.
3) Vérifier que $G$ appartient à la droite $(AB)$.
La ligne de niveau MA² + MB² = k
\(A\) et \(B\) sont deux points du plan tels que \(AB=8\), et \(I\) est le milieu de \([AB]\).
1) Montre que, pour tout point \(M\) du plan, \(MA^2+MB^2=2MI^2+32\).
2) Détermine l'ensemble des points \(M\) tels que \(MA^2+MB^2=50\).
3) Détermine l'ensemble des points \(M\) tels que \(MA^2+MB^2=32\), puis tels que \(MA^2+MB^2=20\).
4) Pour quelle valeur de \(k\) la ligne de niveau \(MA^2+MB^2=k\) passe-t-elle par le point \(A\) ? Décris-la.
Voir le corrigé
1) Les coefficients sont \(a=b=1\), de somme \(2\ne 0\) : le barycentre de \((A\,;1)\) et \((B\,;1)\) est le milieu \(I\). La réduction de la fonction scalaire de Leibniz donne \(MA^2+MB^2=2MI^2+IA^2+IB^2\). Comme \(IA=IB=4\), on a \(IA^2+IB^2=16+16=32\), d'où \(MA^2+MB^2=2MI^2+32\).
2) L'égalité s'écrit \(2MI^2+32=50\), soit \(MI^2=9\), donc \(MI=3\). L'ensemble est le cercle de centre \(I\) et de rayon 3.
3) Pour \(k=32\) : \(2MI^2=0\), donc \(MI=0\) ; l'ensemble est réduit au point \(I\). Pour \(k=20\) : \(2MI^2=20-32=-12\), soit \(MI^2=-6\), ce qui est impossible car un carré est positif ; l'ensemble est vide. La somme \(MA^2+MB^2\) ne descend jamais au-dessous de 32.
4) Si \(M=A\), alors \(MA^2+MB^2=0+AB^2=64\) : la ligne de niveau qui passe par \(A\) est celle de \(k=64\). Elle vérifie \(2MI^2+32=64\), soit \(MI^2=16\) et \(MI=4\) : c'est le cercle de centre \(I\) et de rayon 4, c'est-à-dire le cercle de diamètre \([AB]\) (il passe aussi par \(B\)).
Réponse : \(MA^2+MB^2=2MI^2+32\) ; pour \(k=50\), le cercle de centre \(I\) et de rayon 3 ; pour \(k=32\), le point \(I\) ; pour \(k=20\), l'ensemble vide ; la ligne de niveau passant par \(A\) est celle de \(k=64\), le cercle de diamètre \([AB]\).
Des coefficients différents : 3MA² + 2MB²
\(A\) et \(B\) sont deux points du plan tels que \(AB=10\). Pour tout point \(M\), on pose \(\varphi(M)=3MA^2+2MB^2\).
1) Justifie l'existence du barycentre \(G\) de \((A\,;3)\) et \((B\,;2)\), exprime \(\overrightarrow{AG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\), puis calcule \(GA\) et \(GB\).
2) Calcule \(\varphi(G)\) de deux façons.
3) Écris la forme réduite de \(\varphi(M)\), puis détermine l'ensemble des points \(M\) tels que \(\varphi(M)=210\).
4) Détermine l'ensemble des points \(M\) tels que \(\varphi(M)=100\). Quelle est la plus petite valeur prise par \(\varphi\), et en quel point ?
Une droite, un cercle et leurs points communs
\(A\) et \(B\) sont deux points du plan tels que \(AB=4\), et \(I\) est le milieu de \([AB]\). On note \((F)\) l'ensemble des points \(M\) tels que \(MA^2-MB^2=-8\) et \((E)\) l'ensemble des points \(M\) tels que \(3MA^2-MB^2=26\).
1) Détermine \((F)\). On rappelle que \(MA^2-MB^2=2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{IM}\).
2) Justifie l'existence du barycentre \(G\) de \((A\,;3)\) et \((B\,;-1)\), place-le sur la droite \((AB)\), puis calcule \(3GA^2-GB^2\).
3) Détermine \((E)\).
4) Montre que tout point commun à \((E)\) et à \((F)\) vérifie \(MA^2=17\) et \(MB^2=25\). Déduis-en le nombre de points communs et leur distance à la droite \((AB)\).