Angles orientés et trigonométrie

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Un couple $(\vec i,\vec j)$ est une base orthonormée directe si :
a) $\vec i$ et $\vec j$ sont unitaires seulement   b) $\vec i$ et $\vec j$ sont orthogonaux seulement   c) $\vec i,\vec j$ unitaires, orthogonaux, et $\vec j$ obtenu par rotation de $+90°$ de $\vec i$   d) $\vec i,\vec j$ unitaires et colinéaires

2) Dans une base orthonormée directe, on donne $\vec u(1;1)$ et $\vec v(-1;1)$. Le cosinus de $\theta=(\widehat{\vec u,\vec v})$ vaut :
a) $0$   b) $1$   c) $\dfrac12$   d) $-1$

3) Si $\vec u\cdot\vec v=0$ et $\det(\vec u,\vec v)>0$, alors $(\vec u,\vec v)$ forme :
a) deux vecteurs colinéaires de même sens   b) deux vecteurs colinéaires de sens contraire   c) une base orthonormée directe (à un facteur près)   d) une base orthonormée indirecte (à un facteur près)

4) Pour $\vec u(3;-4)$ (donc $\|\vec u\|=5$), le vecteur unitaire $\vec v$ tel que $(\vec u,\vec v)$ soit orthonormée directe est :
a) $\left(\dfrac45;\dfrac35\right)$   b) $\left(-\dfrac45;-\dfrac35\right)$   c) $\left(\dfrac35;\dfrac45\right)$   d) $\left(-\dfrac35;\dfrac45\right)$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) En écrivant $105°=45°+60°$, la valeur exacte de $\cos(105°)$ est :
a) $\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$   b) $\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}$   c) $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$   d) $\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}$

2) Sachant $\sin a=\dfrac45$ avec $a\in\left[0;\dfrac\pi2\right]$, la valeur de $\cos(2a)$ est :
a) $\dfrac{7}{25}$   b) $-\dfrac{7}{25}$   c) $\dfrac{9}{25}$   d) $-\dfrac{9}{25}$

3) La forme linéarisée de $\cos^2x$ est :
a) $\dfrac{1+\cos(2x)}{2}$   b) $\dfrac{1-\cos(2x)}{2}$   c) $1+\cos(2x)$   d) $\dfrac{\cos(2x)}{2}$

4) Pour écrire $\cos x+\sqrt3\sin x$ sous la forme $R\cos(x-\varphi)$, la valeur de $R$ est :
a) $2$   b) $\sqrt3$   c) $4$   d) $1$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) L'ensemble des solutions réelles de $\cos(x)=\cos\!\left(\dfrac\pi5\right)$ est :
a) $x=\dfrac\pi5+2k\pi$ uniquement, $k\in\mathbb Z$   b) $x=\dfrac\pi5+2k\pi$ ou $x=-\dfrac\pi5+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$   c) $x=\dfrac\pi5+k\pi$, $k\in\mathbb Z$   d) $x=\dfrac{2\pi}5+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$

2) Dans un triangle $ABC$ (notations usuelles $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$), la loi des cosinus s'écrit :
a) $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A$   b) $a^2=b^2+c^2+2bc\cos\widehat A$   c) $a^2=b^2-c^2-2bc\cos\widehat A$   d) $a=b+c-2bc\cos\widehat A$

3) Un triangle a pour côtés $b=6$, $c=8$ et un angle $\widehat A=90°$ entre eux. Par la loi des cosinus, le troisième côté $a$ vaut :
a) $10$   b) $14$   c) $2$   d) $100$

4) L'aire d'un triangle avec $b=4$, $c=6$ et $\widehat A=30°$ vaut :
a) $6$   b) $12$   c) $24$   d) $3$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un technicien installe un panneau solaire sur le toit d'un centre de santé. Sur le support métallique, deux tiges de fixation définissent, dans un repère orthonormé direct lié au support (unité : décimètre), les vecteurs directeurs $\vec u(5;0)$ et $\vec v(3;4)$.

Le cahier des charges du fournisseur impose que l'angle $\theta$ entre les deux tiges soit strictement supérieur à $30°$, afin d'assurer un écoulement correct de l'eau de pluie en saison des pluies et d'éviter toute stagnation susceptible d'endommager le panneau.

Consigne : Calculer $\cos\theta$ et $\sin\theta$ où $\theta=(\widehat{\vec u,\vec v})$, en déduire une valeur approchée de $\theta$ en degrés (arrondie à l'unité), puis dire si l'installation respecte la contrainte du cahier des charges.

Problème — Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct, on donne $A(1;2)$, $B(6;5)$, $C(-2;7)$.

Partie A. 1) Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. 2) Calculer $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ et $\det(\vec{AB},\vec{AC})$. 3) En déduire $\cos(\widehat{BAC})$ et $\sin(\widehat{BAC})$, puis la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ en degrés.

Partie B. 1) Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ? Justifier à l'aide du produit scalaire. 2) Le couple $(\vec{AB},\vec{AC})$ forme-t-il une base directe ou indirecte du plan ? Justifier à partir du signe du déterminant.

Problème — On pose $f(x)=\cos^2x-\sin^2x+2\sin x\cos x$ pour $x\in\mathbb R$.

Partie A. 1) Montrer, à l'aide des formules de duplication, que $f(x)=\cos(2x)+\sin(2x)$. 2) Écrire $\cos(2x)+\sin(2x)$ sous la forme $R\cos(2x-\varphi)$ avec $R>0$ et $\varphi\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$. 3) En déduire les valeurs maximale et minimale de $f$ sur $\mathbb R$, ainsi qu'une valeur de $x$ pour laquelle le maximum est atteint.

Partie B. Résoudre dans $[0;2\pi[$ l'équation $f(x)=1$.

Problème.

Partie A. Résoudre dans $[0;2\pi[$ l'équation $2\cos(x)-\sqrt3=0$.

Partie B. Un triangle $ABC$ vérifie $AB=c=10$, $AC=b=14$, et l'angle $\widehat{BAC}=A$ tel que $\cos A=\dfrac12$ (déduit d'une mesure de terrain, et cohérent avec l'une des solutions trouvées en Partie A ramenée en degrés). 1) Donner la valeur exacte de l'angle $\widehat A$ en degrés. 2) Calculer $BC=a$. 3) En déduire l'aire du triangle $ABC$ (on donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée au dixième).