Seconde S · Leçon 2
Repérage cartésien
Exercices corrigés
QCM — Colinéarité, coordonnées, milieu
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Soit $\vec u(4;6)$ et $\vec v(2;3)$. $\vec u$ et $\vec v$ sont :
a) colinéaires b) orthogonaux c) ni l'un ni l'autre d) égaux
2) $A(1;2)$, $B(5;8)$. Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont :
a) $(4;6)$ b) $(6;10)$ c) $(4;10)$ d) $(-4;-6)$
3) Soit $A(2;-1)$, $B(6;3)$. Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées :
a) $(4;1)$ b) $(8;2)$ c) $(2;2)$ d) $(4;2)$
4) Trois points $A,B,C$ sont alignés si et seulement si :
a) $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0$ b) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ c) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$ d) $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=1$
Voir le corrigé
- Réponse : a. $\det(\vec u,\vec v)=4\times3-2\times6=0$ : colinéaires ($\vec v=\tfrac12\vec u$).
- Réponse : a. $\overrightarrow{AB}=(5-1;8-2)=(4;6)$.
- Réponse : a. $I=\left(\dfrac{2+6}2;\dfrac{-1+3}2\right)=(4;1)$.
- Réponse : a. Définition du critère d'alignement par le déterminant.
QCM — Droites, cercle, barycentre
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Une équation cartésienne de la droite passant par $A(1;2)$ de vecteur directeur $\vec u(3;-1)$ est :
a) $x+3y-7=0$ b) $x+3y=0$ c) $3x+y-5=0$ d) $x-3y+5=0$
2) Deux droites de vecteurs directeurs $\vec u(2;5)$ et $\vec v(4;10)$ sont :
a) parallèles b) orthogonales c) sécantes non perpendiculaires d) nécessairement confondues
3) Le cercle d'équation $(x+2)^2+(y-3)^2=16$ a pour centre et rayon :
a) $\Omega(-2;3)$, $r=4$ b) $\Omega(2;-3)$, $r=4$ c) $\Omega(-2;3)$, $r=16$ d) $\Omega(2;3)$, $r=4$
4) $G$ est le barycentre de $(A,2)$ et $(B,3)$. On a alors :
a) $2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=\vec0$ b) $2\overrightarrow{GA}=3\overrightarrow{GB}$ c) $\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{GB}$ d) $3\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}=\vec0$
Voir le corrigé
- Réponse : a. Vecteur directeur $(3;-1)$ donne une équation de la forme $x+3y+\gamma=0$ ; en $A(1;2)$ : $1+6+\gamma=0 \Rightarrow \gamma=-7$.
- Réponse : a. $\det(\vec u,\vec v)=2\times10-4\times5=0$ : parallèles (éventuellement confondues, mais pas certain sans un point commun).
- Réponse : a. Forme $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ avec $a=-2$, $b=3$, $r^2=16 \Rightarrow r=4$.
- Réponse : a. Définition vectorielle du barycentre.
Situation d'intégration — Bornage d'un terrain
Exercice 2 — Situation d'intégration
Un géomètre vérifie l'alignement de trois bornes délimitant un terrain agricole avant la construction d'une clôture rectiligne. Dans un repère où les distances sont en mètres : $A(2;3)$, $B(14;11)$, $C(20;15)$.
Consigne : 1) Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. 2) Les trois bornes sont-elles alignées ? Justifier par le calcul du déterminant. 3) Une quatrième borne $D$ doit être placée telle que $\overrightarrow{BD}=\dfrac32\overrightarrow{BA}$. Calculer les coordonnées de $D$.