Fonctions numériques d’une variable réelle

Facile. Pour \(f(x)=x^2\), l'image de \(3\) est \(f(3)=9\). Les antécédents de \(9\) sont \(3\) et \(-3\) (deux antécédents).

Intermédiaire. Pour \(f(x)=x^2\) sur \(D_f=\mathbb{R}\), l'image de l'intervalle \(I=[-2;3]\) est \(f(I)=[0;9]\) (le minimum \(0\) est atteint en \(0 \in I\), le maximum \(9\) en \(x=3\), car \(3^2=9 > (-2)^2=4\)).

Image réciproque. Toujours pour \(f(x)=x^2\), l'image réciproque de \(J=[4;9]\) est l'ensemble des \(x\) tels que \(4 \le x^2 \le 9\), soit \(x \in [-3;-2]\cup[2;3]\).

Utilité pratique. Si l'on sait qu'une fonction est paire, il suffit d'étudier son comportement sur \([0;+\infty[\), puis de compléter la courbe par symétrie — on divise le travail par deux.

Périodicité. Les fonctions cosinus et sinus (étudiées plus loin dans ce cours) sont périodiques de période \(2\pi\).

Énoncé. Soit \(f(x)=2x-3\) et \(g(x)=x^2\), définies sur \(\mathbb R\). a) Calculer \((g\circ f)(x)\) et \((f\circ g)(x)\). b) Calculer les images de 1 et de 4 par ces deux composées. c) A-t-on \(g\circ f=f\circ g\) ?

Solution : a) \((g\circ f)(x)=g(2x-3)=(2x-3)^2=4x^2-12x+9\). Dans l'autre ordre, \((f\circ g)(x)=f(x^2)=2x^2-3\).

b) \((g\circ f)(1)=(2-3)^2=1\) et \((f\circ g)(1)=2-3=-1\). De même \((g\circ f)(4)=5^2=25\) et \((f\circ g)(4)=2\times 16-3=29\).

c) Non : les images de 1 sont déjà différentes. Les deux composées ne prennent la même valeur que si \(4x^2-12x+9=2x^2-3\), c'est-à-dire \(x^2-6x+6=0\), ce qui n'arrive que pour deux valeurs de \(x\) (\(3-\sqrt3\) et \(3+\sqrt3\)).

Énoncé. Soit \(u(x)=x-4\), définie sur \(\mathbb R\), et \(r(x)=\sqrt x\), définie sur \([0\,;+\infty[\). Donner l'expression et l'ensemble de définition de \(r\circ u\), puis de \(u\circ r\).

Solution : \((r\circ u)(x)=r(x-4)=\sqrt{x-4}\). Il faut que \(u(x)\) soit dans \([0\,;+\infty[\) : \(x-4\geq 0\), soit \(x\geq 4\). L'ensemble de définition de \(r\circ u\) est \([4\,;+\infty[\). Par exemple \((r\circ u)(13)=\sqrt 9=3\), tandis que \((r\circ u)(3)\) n'existe pas.

\((u\circ r)(x)=u(\sqrt x)=\sqrt x-4\). Ici il faut seulement que \(x\) soit dans l'ensemble de définition de \(r\), puisque \(u\) est définie partout : l'ensemble de définition de \(u\circ r\) est \([0\,;+\infty[\). Par exemple \((u\circ r)(9)=3-4=-1\).

Les deux composées n'ont ni la même expression ni le même ensemble de définition.

Énoncé. Écrire chacune des fonctions suivantes comme la composée de deux fonctions simples : a) \(h(x)=(3x+1)^2\) ; b) \(k(x)=\dfrac{1}{x^2+1}\) ; c) \(m(x)=|2x-5|\).

Solution : a) La dernière opération est l'élévation au carré : \(h=g\circ f\) avec \(f(x)=3x+1\) et \(g(X)=X^2\).

b) La dernière opération est le passage à l'inverse : \(k=g\circ f\) avec \(f(x)=x^2+1\) et \(g(X)=\dfrac1X\). Comme \(x^2+1\) n'est jamais nul, \(k\) est définie sur \(\mathbb R\).

c) La dernière opération est la valeur absolue : \(m=g\circ f\) avec \(f(x)=2x-5\) et \(g(X)=|X|\).

Dans les trois cas, la fonction de départ est une fonction affine ou un polynôme simple, et la fonction d'arrivée une fonction de référence : c'est ce découpage qui permettra, plus tard, d'étudier ces fonctions.

Énoncé. a) Calculer \(E(7{,}2)\), \(E(-0{,}5)\), \(E(\sqrt{50})\) et \(E(-\pi)\). b) Résoudre dans \(\mathbb R\) l'équation \(E(x)=3\).

Solution : a) \(7\leq 7{,}2\lt 8\), donc \(E(7{,}2)=7\). \(-1\leq -0{,}5\lt 0\), donc \(E(-0{,}5)=-1\). Comme \(49\leq 50\lt 64\), on a \(7\leq\sqrt{50}\lt 8\), donc \(E(\sqrt{50})=7\). Enfin \(\pi\) est voisin de 3,14, donc \(-4\leq -\pi\lt -3\) et \(E(-\pi)=-4\).

b) \(E(x)=3\) signifie \(3\leq x\lt 4\). L'ensemble des solutions est l'intervalle \([3\,;4[\) : une infinité de réels ont la même partie entière.

Énoncé. Un opérateur facture un appel 50 F par minute entière écoulée. On note \(t\) la durée de l'appel en minutes (\(t\geq 0\)) et \(p(t)\) son prix. a) Exprimer \(p(t)\). b) Calculer le prix d'un appel de 2 min 45 s, puis de 3 min exactement. c) Quelles durées coûtent 200 F ?

Solution : a) Le nombre de minutes entières écoulées est la partie entière de \(t\) : \(p(t)=50\,E(t)\).

b) 2 min 45 s font \(2{,}75\) min : \(p(2{,}75)=50\times 2=100\) F. Pour 3 min exactement, \(p(3)=50\times 3=150\) F : le prix saute de 50 F à l'instant où la troisième minute est complète.

c) \(50\,E(t)=200\) équivaut à \(E(t)=4\), c'est-à-dire \(4\leq t\lt 5\) : tous les appels de 4 minutes à moins de 5 minutes coûtent 200 F. La fonction \(p\) est constante sur chaque intervalle \([n\,;n+1[\) : c'est une fonction en escalier.

Énoncé. a) Donner un ordre de grandeur de \(\dfrac{4\,987\times 0{,}0203}{9{,}8}\). b) Les côtés d'une plaque rectangulaire mesurent \(L=12{,}4\pm 0{,}1\) cm et \(\ell=7{,}6\pm 0{,}1\) cm. Encadrer son périmètre et son aire.

Solution : a) On remplace \(4\,987\) par \(5\,000\), \(0{,}0203\) par \(0{,}02\) et \(9{,}8\) par 10 : \(\dfrac{5\,000\times 0{,}02}{10}=\dfrac{100}{10}=10\). Le résultat est de l'ordre de 10 (la calculatrice donne environ 10,33). Un affichage de 103 ou de 1,03 signalerait une erreur de saisie.

b) \(12{,}3\leq L\leq 12{,}5\) et \(7{,}5\leq\ell\leq 7{,}7\). En ajoutant : \(19{,}8\leq L+\ell\leq 20{,}2\), donc \(39{,}6\leq 2(L+\ell)\leq 40{,}4\) : le périmètre vaut \(40\pm 0{,}4\) cm.

Tous les nombres sont positifs : \(12{,}3\times 7{,}5\leq L\times\ell\leq 12{,}5\times 7{,}7\), soit \(92{,}25\leq L\ell\leq 96{,}25\). L'aire est comprise entre 92,25 cm² et 96,25 cm² : la valeur \(12{,}4\times 7{,}6=94{,}24\) n'est donc connue qu'à 2 cm² près environ. Une incertitude de 1 mm sur chaque côté suffit à rendre incertains tous les chiffres après l'unité.

Énoncé. Étudier, à l'aide du taux de variation, le sens de variation de \(f(x)=x^2-4x\) sur \(]-\infty\,;2]\) et sur \([2\,;+\infty[\).

Solution : Pour \(a\neq b\) : \(f(b)-f(a)=b^2-a^2-4(b-a)=(b-a)(b+a)-4(b-a)=(b-a)(a+b-4)\). Le taux de variation vaut donc \(T(a,b)=a+b-4\).

Si \(a\) et \(b\) sont deux réels distincts de \([2\,;+\infty[\), alors \(a+b\gt 4\) (l'un au moins est strictement supérieur à 2), donc \(T(a,b)\gt 0\) : \(f\) est strictement croissante sur \([2\,;+\infty[\).

Si \(a\) et \(b\) sont deux réels distincts de \(]-\infty\,;2]\), alors \(a+b\lt 4\), donc \(T(a,b)\lt 0\) : \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;2]\). La fonction admet un minimum en 2, égal à \(f(2)=-4\).

Énoncé. Soit \(g(x)=\dfrac{2x+3}{x}\), définie pour \(x\neq 0\). Étudier son sens de variation et décrire sa courbe.

Solution : \(g(x)=\dfrac{2x}{x}+\dfrac3x=2+\dfrac3x\). Ajouter la constante 2 ne change pas le taux de variation : pour \(a\) et \(b\) distincts et de même signe, \(T(a,b)=-\dfrac{3}{ab}\), qui est strictement négatif. Donc \(g\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]0\,;+\infty[\).

Dans le repère d'origine \(\Omega(0\,;2)\), on a \(X=x\) et \(Y=y-2\), et la courbe a pour équation \(Y=\dfrac3X\) : c'est une hyperbole de centre \(\Omega\). Ses asymptotes sont l'axe des ordonnées et la droite d'équation \(y=2\).

Quelques points : \(g(1)=5\), \(g(3)=3\), \(g(-1)=-1\), \(g(-3)=1\). La courbe coupe l'axe des abscisses lorsque \(2x+3=0\), c'est-à-dire en \(x=-1{,}5\).

Énoncé. Soit \(h(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\), définie pour \(x\neq 1\). a) Écrire \(h(x)\) sous la forme \(\beta+\dfrac{k}{x-\alpha}\). b) En déduire le sens de variation de \(h\), les asymptotes et le centre de symétrie de sa courbe.

Solution : a) \(2x+1=2(x-1)+3\), donc \(h(x)=\dfrac{2(x-1)+3}{x-1}=2+\dfrac{3}{x-1}\) : \(\alpha=1\), \(\beta=2\), \(k=3\).

b) On prend pour nouvelle origine \(\Omega(1\,;2)\) : \(X=x-1\), \(Y=y-2\). L'égalité \(y=2+\dfrac{3}{x-1}\) devient \(Y=\dfrac3X\). Comme \(k=3\) est positif, \(Y\) décroît quand \(X\) croît, sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]0\,;+\infty[\). En revenant à \(x\) : \(h\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;1[\) et sur \(]1\,;+\infty[\).

La courbe est une hyperbole de centre \(\Omega(1\,;2)\), d'asymptotes les droites d'équations \(x=1\) et \(y=2\). Points utiles : \(h(2)=5\), \(h(4)=3\), \(h(0)=-1\), \(h(-2)=1\) ; elle coupe l'axe des abscisses en \(x=-0{,}5\).