Angles et trigonométrie

Énoncé. Sur un cercle de centre \(O\), on place deux points \(A\) et \(B\) tels que \(\widehat{AOB}=104^\circ\). Soit \(M\) un point du grand arc \(AB\), \(M'\) un point du petit arc \(AB\), et \([AT)\) la demi-tangente en \(A\) située du même côté de \((AB)\) que \(M'\). Calculer \(\widehat{AMB}\), \(\widehat{AM'B}\) et \(\widehat{TAB}\).

Solution : L'angle inscrit \(\widehat{AMB}\) intercepte le petit arc \(AB\), comme l'angle au centre \(\widehat{AOB}\) : \(\widehat{AMB}=\dfrac{104^\circ}{2}=52^\circ\).

Les points \(M\) et \(M'\) sont de part et d'autre de la corde \([AB]\) : les angles \(\widehat{AMB}\) et \(\widehat{AM'B}\) sont supplémentaires, donc \(\widehat{AM'B}=180^\circ-52^\circ=128^\circ\). On retrouve ce résultat avec l'angle au centre rentrant : \(\dfrac{360^\circ-104^\circ}{2}=128^\circ\).

L'angle \(\widehat{TAB}\), formé par la demi-tangente et la corde, intercepte le petit arc \(AB\) : \(\widehat{TAB}=\dfrac{104^\circ}{2}=52^\circ\). Il est égal à \(\widehat{AMB}\).

Énoncé. a) Un quadrilatère convexe \(ABCD\) a pour angles \(\widehat A=75^\circ\), \(\widehat B=110^\circ\), \(\widehat C=105^\circ\) et \(\widehat D=70^\circ\). Est-il inscriptible ? b) Un parallélogramme qui a un angle de \(60^\circ\) est-il inscriptible ?

Solution : a) \(\widehat A+\widehat C=75^\circ+105^\circ=180^\circ\) : deux angles opposés sont supplémentaires, donc \(ABCD\) est inscriptible. On vérifie que l'autre paire convient aussi : \(110^\circ+70^\circ=180^\circ\), ce qui était attendu puisque la somme des quatre angles vaut \(360^\circ\).

b) Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux. Si l'un mesure \(60^\circ\), l'angle opposé aussi, et leur somme vaut \(120^\circ\), qui est différent de \(180^\circ\) : le parallélogramme n'est pas inscriptible. Plus généralement, un parallélogramme est inscriptible seulement si ses angles opposés, égaux, valent chacun \(90^\circ\) : c'est alors un rectangle.

Énoncé. Soit \(ABC\) un triangle dont les trois angles sont aigus. On note \(H\) le pied de la hauteur issue de \(B\) (sur \([AC]\)) et \(K\) le pied de la hauteur issue de \(C\) (sur \([AB]\)). a) Démontrer que \(B\), \(C\), \(H\), \(K\) sont cocycliques. b) Démontrer que \(\widehat{AHK}=\widehat{ABC}\).

Solution : a) Par définition des hauteurs, \(\widehat{BHC}=90^\circ\) et \(\widehat{BKC}=90^\circ\). Les points \(H\) et \(K\) appartiennent donc au cercle de diamètre \([BC]\). Les quatre points \(B\), \(C\), \(H\), \(K\) sont sur ce cercle, dont le centre est le milieu de \([BC]\).

b) Le quadrilatère \(BKHC\) est inscrit dans ce cercle : ses angles opposés sont supplémentaires, donc \(\widehat{KHC}+\widehat{KBC}=180^\circ\). D'autre part, \(A\), \(H\), \(C\) sont alignés dans cet ordre, donc \(\widehat{AHK}+\widehat{KHC}=180^\circ\). En comparant : \(\widehat{AHK}=\widehat{KBC}=\widehat{ABC}\).

Les triangles \(AHK\) et \(ABC\) ont ainsi les mêmes angles : le triangle \(AHK\) est une réduction « retournée » du triangle \(ABC\).

Énoncé. \(ABCDEF\) est un hexagone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique, les sommets étant nommés dans le sens direct, avec \(A=I\). Donner la mesure principale des arcs orientés \((A\,;B)\), \((A\,;C)\), \((A\,;E)\), \((C\,;A)\) et \((E\,;B)\).

Solution : Les six sommets partagent le cercle en six arcs égaux, de longueur \(\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}\). Les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) sont donc repérés par \(0\), \(\dfrac{\pi}{3}\), \(\dfrac{2\pi}{3}\), \(\pi\), \(\dfrac{4\pi}{3}\), \(\dfrac{5\pi}{3}\).

\((A\,;B)\) : \(\dfrac{\pi}{3}\). \((A\,;C)\) : \(\dfrac{2\pi}{3}\). \((A\,;E)\) : une mesure est \(\dfrac{4\pi}{3}\), qui dépasse \(\pi\) ; la mesure principale est \(\dfrac{4\pi}{3}-2\pi=-\dfrac{2\pi}{3}\) : il est plus court d'aller de \(A\) à \(E\) dans le sens indirect.

\((C\,;A)\) : c'est l'opposé de \((A\,;C)\), soit \(-\dfrac{2\pi}{3}\). \((E\,;B)\) : une mesure est \(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{4\pi}{3}=-\pi\), qui n'est pas dans \(]-\pi\,;\pi]\) ; la mesure principale est \(-\pi+2\pi=\pi\). Les points \(E\) et \(B\) sont diamétralement opposés.

Énoncé. a) Donner la mesure principale des angles orientés dont une mesure est \(\dfrac{17\pi}{4}\), \(-\dfrac{11\pi}{3}\), \(\dfrac{7\pi}{6}\) et \(-\dfrac{25\pi}{6}\). b) Convertir \(150^\circ\) en radians. c) Sur un cercle de rayon 3 cm, quelle est la longueur d'un arc intercepté par un angle au centre de \(\dfrac{2\pi}{3}\) radians ?

Solution : a) \(\dfrac{17\pi}{4}-4\pi=\dfrac{\pi}{4}\). \(-\dfrac{11\pi}{3}+4\pi=\dfrac{\pi}{3}\). \(\dfrac{7\pi}{6}\) dépasse \(\pi\) : \(\dfrac{7\pi}{6}-2\pi=-\dfrac{5\pi}{6}\). \(-\dfrac{25\pi}{6}+4\pi=-\dfrac{\pi}{6}\).

b) \(150^\circ=150\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}\) radians.

c) La longueur est \(r\alpha=3\times\dfrac{2\pi}{3}=2\pi\approx 6{,}28\) cm.

Énoncé. a) \(ABC\) est un triangle équilatéral dont les sommets sont nommés dans le sens direct. Donner la mesure principale des angles orientés \(([AB)\,;[AC))\), \(([AC)\,;[AB))\) et \(([BA)\,;[BC))\). b) \(ABCD\) est un carré de centre \(O\), nommé dans le sens direct. Donner la mesure principale de \(([OA)\,;[OB))\), \(([OB)\,;[OA))\), \(([AB)\,;[AC))\) et \(([AD)\,;[AB))\).

Solution : a) Les angles géométriques du triangle mesurent \(\dfrac{\pi}{3}\). Pour amener \([AB)\) sur \([AC)\), on tourne dans le sens direct : \(([AB)\,;[AC))\) mesure \(\dfrac{\pi}{3}\), et \(([AC)\,;[AB))\) mesure \(-\dfrac{\pi}{3}\). En \(B\), pour amener \([BA)\) sur \([BC)\), on tourne dans le sens indirect : \(([BA)\,;[BC))\) mesure \(-\dfrac{\pi}{3}\).

b) Les diagonales d'un carré sont perpendiculaires et l'on passe de \(A\) à \(B\) dans le sens direct : \(([OA)\,;[OB))\) mesure \(\dfrac{\pi}{2}\) et \(([OB)\,;[OA))\) mesure \(-\dfrac{\pi}{2}\). La diagonale \([AC)\) partage l'angle droit en \(A\) en deux angles de \(\dfrac{\pi}{4}\), et l'on tourne dans le sens direct de \([AB)\) vers \([AC)\) : \(([AB)\,;[AC))\) mesure \(\dfrac{\pi}{4}\). Enfin, de \([AD)\) vers \([AB)\), on tourne dans le sens indirect : la mesure est \(-\dfrac{\pi}{2}\).