Seconde S · Leçon 8
Intervalles et calcul approché
Ce que dit le programme officiel (10 points)
- Intervalles de ℝ bornés ou non bornés ; centre et rayon d’un intervalle
- Connaître pour un intervalle borné le centre et le rayon, l’inéquation associée, le système associé
- Approximation décimale d’un réel
- Encadrement et opérations : trouver l’encadrement d’une somme, d’une différence et d’un produit
- Encadrer un réel par deux décimaux
- Ordre de grandeur, partie entière, arrondi, valeur approchée
- Déterminer pour un réel une valeur approchée, un arrondi, la partie entière, une approximation décimale
- Notion d’incertitude
- Utiliser une calculatrice
- Limite : les compétences relatives à l’incertitude absolue et à l’incertitude relative ne sont pas exigibles
Source : Programme de mathématiques, Seconde S (Sénégal), octobre 2006
Intervalles, valeur absolue et distance
La valeur absolue permet de mesurer un écart entre deux nombres sans se soucier de l'ordre dans lequel ils sont pris : c'est l'outil naturel pour parler de distance sur la droite numérique.
Pour \(x \in \mathbb{R}\), la valeur absolue de \(x\), notée \(|x|\), vaut \(x\) si \(x \ge 0\) et \(-x\) si \(x < 0\). Pour deux réels \(a\) et \(b\), la distance entre \(a\) et \(b\) sur la droite numérique est \(|b - a|\).
Pour \(a \in \mathbb{R}\) et \(r > 0\), l'inégalité \(|x - a| < r\) est équivalente à \(a - r < x < a + r\), c'est-à-dire \(x \in\ ]a-r\,;\,a+r[\) : l'ensemble des réels situés à une distance de \(a\) strictement inférieure à \(r\) est exactement l'intervalle centré en \(a\) de rayon \(r\).
Valeur absolue d'un produit et d'un quotient : \(|xy| = |x|\cdot|y|\) et, pour \(y \ne 0\), \(\left|\dfrac{x}{y}\right| = \dfrac{|x|}{|y|}\).
Inégalité triangulaire : pour tous réels \(x\) et \(y\),
\[ |x + y| \le |x| + |y|. \]Facile. La distance entre \(-3\) et \(5\) est \(|5-(-3)| = |8| = 8\).
Intermédiaire. Traduire par un intervalle l'ensemble des solutions de \(|x - 2| < 3\). D'après la propriété, cela équivaut à \(2 - 3 < x < 2+3\), soit \(x \in\ ]-1\,;\,5[\).
Majoration simple. Sachant \(|x| \le 2\) et \(|y| \le 5\), majorer \(|3x - y|\). Par l'inégalité triangulaire (avec le facteur \(3\) devant \(x\)) : \(|3x - y| \le |3x| + |{-y}| = 3|x| + |y| \le 3\times 2 + 5 = 11\).
Figure interactive — Intervalle centré \(]a-r\,;\,a+r[\)
Déplacez \(x\) : le point devient vert si \(|x-a|<r\) (donc \(x\) dans l'intervalle), rouge sinon.
Ordre dans ℝ et inégalités
Ce chapitre consolide les acquis du premier cycle sur les nombres réels et introduit les premiers outils de l'analyse : encadrer, comparer, approcher. C'est le socle sur lequel s'appuiera toute l'étude des fonctions et des limites dans les classes suivantes.
Pour deux réels \(a\) et \(b\), on dit que \(a\) est inférieur ou égal à \(b\), noté \(a \le b\), si \(b - a \ge 0\). Cette relation est compatible avec l'addition : pour tout réel \(c\), \(a \le b \iff a + c \le b + c\).
Multiplication par un réel : si \(a \le b\) et \(c > 0\), alors \(ac \le bc\) (l'ordre est conservé) ; si \(a \le b\) et \(c < 0\), alors \(ac \ge bc\) (l'ordre est inversé).
Passage au carré : si \(0 \le a \le b\), alors \(a^2 \le b^2\). Attention, ce résultat est faux si l'un des deux réels est négatif — voir le piège plus bas.
Passage à l'inverse : si \(0 < a \le b\), alors \(\dfrac{1}{b} \le \dfrac{1}{a}\) (l'ordre s'inverse en passant à l'inverse, pour des réels strictement positifs).
Passage à la racine carrée : si \(0 \le a \le b\), alors \(\sqrt{a} \le \sqrt{b}\) (l'ordre est conservé, la fonction racine carrée étant croissante sur \([0;+\infty[\)).
Ne jamais multiplier ou diviser une inégalité par une expression sans connaître son signe. Exemple d'erreur : de \(a < b\), on ne peut PAS déduire \(a^2 < b^2\) si \(a\) et \(b\) ne sont pas tous deux positifs. Contre-exemple : \(-5 < 2\), mais \((-5)^2 = 25 > 2^2 = 4\).
La position relative de \(x\), \(x^2\) et \(\sqrt{x}\) dépend de la position de \(x\) par rapport à \(1\) :
Si \(0 \le x < 1\) : \(x^2 < x < \sqrt{x}\) (élever au carré un nombre entre 0 et 1 le rend plus petit ; sa racine le rend plus grand).
Si \(x = 1\) : \(x^2 = x = \sqrt{x} = 1\).
Si \(x > 1\) : \(\sqrt{x} < x < x^2\) (l'effet s'inverse au-delà de 1).
Facile. Comparer \(0{,}25\), \(0{,}25^2\) et \(\sqrt{0{,}25}\). Comme \(0 \le 0{,}25 < 1\), on a \(0{,}25^2 < 0{,}25 < \sqrt{0{,}25}\), soit \(0{,}0625 < 0{,}25 < 0{,}5\). Vérifié.
Intermédiaire. Sachant \(2 \le x \le 5\), encadrer \(3x - 1\). On multiplie l'encadrement par \(3\) (positif, l'ordre est conservé) : \(6 \le 3x \le 15\), puis on soustrait \(1\) : \(5 \le 3x - 1 \le 14\).
Plus avancé. Sachant \(1 \le x \le 3\), encadrer \(\dfrac{1}{x+2}\). On a \(3 \le x + 2 \le 5\), tous strictement positifs, donc en passant à l'inverse (l'ordre s'inverse) : \(\dfrac{1}{5} \le \dfrac{1}{x+2} \le \dfrac{1}{3}\).
Encadrements et valeurs approchées
En pratique, un résultat exact est rarement utile tel quel : on travaille avec une valeur approchée, à une précision donnée. Le programme se limite volontairement à des encadrements simples — pas de recherche systématique de tous les majorants et minorants possibles.
Une valeur approchée d'un réel \(x\) à \(10^{-n}\) près est un réel \(a\) tel que \(|x - a| \le 10^{-n}\). L'approximation décimale d'ordre \(n\) par défaut de \(x\) est le plus grand décimal à \(n\) chiffres après la virgule inférieur ou égal à \(x\) ; par excès, le plus petit supérieur ou égal à \(x\). L'arrondi d'ordre \(n\) est la valeur approchée décimale à \(n\) chiffres la plus proche de \(x\).
Le programme se limite à l'encadrement d'une somme, d'une différence, d'un produit et d'un quotient de deux réels strictement positifs.
Somme et différence. Si \(3{,}1 \le x \le 3{,}2\) et \(1{,}4 \le y \le 1{,}5\), alors \(4{,}5 \le x+y \le 4{,}7\) (on additionne les bornes de même sens) et \(1{,}6 \le x - y \le 1{,}8\) (on soustrait les bornes opposées : minorant de \(x\) moins majorant de \(y\), et inversement).
Produit. Si \(2 \le x \le 2{,}1\) et \(5 \le y \le 5{,}2\) (deux réels strictement positifs), alors \(10 \le xy \le 10{,}92\) (produit des bornes inférieures d'un côté, des bornes supérieures de l'autre).
Quotient. Avec les mêmes encadrements, \(\dfrac{2}{5{,}2} \le \dfrac{x}{y} \le \dfrac{2{,}1}{5}\), c'est-à-dire \(0{,}384\ldots \le \dfrac{x}{y} \le 0{,}42\) (on divise par les bornes en croisant : borne inférieure de \(x\) sur borne supérieure de \(y\), et inversement).
Facile. \(\pi \approx 3{,}14\) est une valeur approchée de \(\pi\) à \(10^{-2}\) près par défaut ; \(3{,}15\) en est une par excès.
Intermédiaire. On donne \(1{,}41 \le \sqrt{2} \le 1{,}42\) et \(1{,}73 \le \sqrt{3} \le 1{,}74\). Encadrer \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) : \(3{,}14 \le \sqrt{2}+\sqrt{3} \le 3{,}16\).
Ordre de grandeur. Estimer \(\dfrac{4\,987 \times 0{,}0203}{9{,}8}\) sans calculatrice : on remplace par des valeurs proches simples, \(\dfrac{5\,000 \times 0{,}02}{10} = \dfrac{100}{10} = 10\). L'ordre de grandeur du résultat est \(10\).
Figure interactive — Encadrement d'une somme
Les deux intervalles bleus représentent \(x\) et \(y\) ; l'intervalle vert en dessous représente l'encadrement obtenu pour \(x + y\), largeur cumulée des deux.
Partie entière, ordre de grandeur et incertitude
Quel âge as-tu ? On répond par un nombre entier d'années, en laissant de côté les mois : on donne la partie entière de son âge. Combien de personnes dans ce stade ? On répond « environ vingt mille » : on donne un ordre de grandeur. Quelle est la longueur de cette table ? On répond « 1,20 m, à un centimètre près » : on annonce une incertitude. Ces trois façons de donner un nombre sans le donner exactement ont chacune une définition précise.
Définition. La partie entière d'un réel \(x\), notée \(E(x)\), est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à \(x\). C'est l'unique entier \(n\) tel que
\[n\leq x\lt n+1.\]Ainsi \(E(3{,}7)=3\), \(E(5)=5\) et \(E(-2{,}3)=-3\) (car \(-3\leq -2{,}3\lt -2\)).
Fonction partie entière. C'est la fonction \(x\mapsto E(x)\), définie sur \(\mathbb R\). Pour tout entier \(n\), elle est constante sur l'intervalle \([n\,;n+1[\), où elle vaut \(n\). Elle est croissante au sens large : si \(x\leq y\), alors \(E(x)\leq E(y)\) ; mais elle n'est pas strictement croissante.
Sa représentation graphique est formée de segments horizontaux, les « marches » d'un escalier : chaque marche contient son extrémité gauche et ne contient pas son extrémité droite. À chaque entier, la courbe fait un saut d'une unité.
Figure — La courbe de la fonction partie entière
Sur chaque intervalle allant d'un entier au suivant, la courbe est un segment horizontal. Le point plein, à gauche, appartient à la courbe ; le point creux, à droite, ne lui appartient pas : par exemple l'image de 2 est 2, et non 1. La courbe monte d'une unité à chaque entier.
Ordre de grandeur d'un nombre. Tout nombre positif s'écrit \(a\times 10^n\), avec \(1\leq a\lt 10\) et \(n\) entier (écriture scientifique). Un ordre de grandeur de ce nombre est le produit de \(10^n\) par l'arrondi de \(a\) à l'unité : pour \(13\,120=1{,}312\times 10^4\), on retient \(10^4\) ; pour \(0{,}0478=4{,}78\times 10^{-2}\), on retient \(5\times 10^{-2}\).
Ordre de grandeur d'un résultat. On remplace chaque nombre du calcul par un nombre voisin très simple, et l'on effectue le calcul de tête. Cela ne donne pas la valeur exacte, mais permet de repérer une erreur de virgule ou de touche sur la calculatrice.
Incertitude. Dire qu'une grandeur \(x\) vaut \(a\) avec une incertitude \(h\) (on écrit \(x=a\pm h\)), c'est affirmer que \(a-h\leq x\leq a+h\), c'est-à-dire \(|x-a|\leq h\). Le nombre \(h\) est l'incertitude absolue ; le quotient \(\dfrac{h}{|a|}\), souvent donné en pourcentage, est l'incertitude relative : il permet de comparer la qualité de deux mesures de tailles différentes.
Trouver une partie entière. On encadre \(x\) par deux entiers consécutifs, \(n\leq x\lt n+1\) : la partie entière est \(n\), l'entier de gauche. Pour un nombre négatif non entier, on « descend » : la partie entière de \(-2{,}3\) est \(-3\).
Résoudre \(E(x)=n\). D'après la définition, les solutions sont tous les réels de l'intervalle \([n\,;n+1[\).
Encadrer un résultat à partir de mesures. On traduit chaque mesure par un encadrement, puis on applique les règles sur les encadrements : on ajoute membre à membre pour une somme ; pour un produit de nombres positifs, on multiplie les bornes inférieures entre elles et les bornes supérieures entre elles.
Énoncé. a) Calculer \(E(7{,}2)\), \(E(-0{,}5)\), \(E(\sqrt{50})\) et \(E(-\pi)\). b) Résoudre dans \(\mathbb R\) l'équation \(E(x)=3\).
Solution : a) \(7\leq 7{,}2\lt 8\), donc \(E(7{,}2)=7\). \(-1\leq -0{,}5\lt 0\), donc \(E(-0{,}5)=-1\). Comme \(49\leq 50\lt 64\), on a \(7\leq\sqrt{50}\lt 8\), donc \(E(\sqrt{50})=7\). Enfin \(\pi\) est voisin de 3,14, donc \(-4\leq -\pi\lt -3\) et \(E(-\pi)=-4\).
b) \(E(x)=3\) signifie \(3\leq x\lt 4\). L'ensemble des solutions est l'intervalle \([3\,;4[\) : une infinité de réels ont la même partie entière.
Énoncé. Un opérateur facture un appel 50 F par minute entière écoulée. On note \(t\) la durée de l'appel en minutes (\(t\geq 0\)) et \(p(t)\) son prix. a) Exprimer \(p(t)\). b) Calculer le prix d'un appel de 2 min 45 s, puis de 3 min exactement. c) Quelles durées coûtent 200 F ?
Solution : a) Le nombre de minutes entières écoulées est la partie entière de \(t\) : \(p(t)=50\,E(t)\).
b) 2 min 45 s font \(2{,}75\) min : \(p(2{,}75)=50\times 2=100\) F. Pour 3 min exactement, \(p(3)=50\times 3=150\) F : le prix saute de 50 F à l'instant où la troisième minute est complète.
c) \(50\,E(t)=200\) équivaut à \(E(t)=4\), c'est-à-dire \(4\leq t\lt 5\) : tous les appels de 4 minutes à moins de 5 minutes coûtent 200 F. La fonction \(p\) est constante sur chaque intervalle \([n\,;n+1[\) : c'est une fonction en escalier.
Énoncé. a) Donner un ordre de grandeur de \(\dfrac{4\,987\times 0{,}0203}{9{,}8}\). b) Les côtés d'une plaque rectangulaire mesurent \(L=12{,}4\pm 0{,}1\) cm et \(\ell=7{,}6\pm 0{,}1\) cm. Encadrer son périmètre et son aire.
Solution : a) On remplace \(4\,987\) par \(5\,000\), \(0{,}0203\) par \(0{,}02\) et \(9{,}8\) par 10 : \(\dfrac{5\,000\times 0{,}02}{10}=\dfrac{100}{10}=10\). Le résultat est de l'ordre de 10 (la calculatrice donne environ 10,33). Un affichage de 103 ou de 1,03 signalerait une erreur de saisie.
b) \(12{,}3\leq L\leq 12{,}5\) et \(7{,}5\leq\ell\leq 7{,}7\). En ajoutant : \(19{,}8\leq L+\ell\leq 20{,}2\), donc \(39{,}6\leq 2(L+\ell)\leq 40{,}4\) : le périmètre vaut \(40\pm 0{,}4\) cm.
Tous les nombres sont positifs : \(12{,}3\times 7{,}5\leq L\times\ell\leq 12{,}5\times 7{,}7\), soit \(92{,}25\leq L\ell\leq 96{,}25\). L'aire est comprise entre 92,25 cm² et 96,25 cm² : la valeur \(12{,}4\times 7{,}6=94{,}24\) n'est donc connue qu'à 2 cm² près environ. Une incertitude de 1 mm sur chaque côté suffit à rendre incertains tous les chiffres après l'unité.
Supprimer les décimales d'un nombre négatif. \(E(-2{,}3)\) n'est pas \(-2\) mais \(-3\) : la partie entière est toujours inférieure ou égale au nombre.
Confondre partie entière et arrondi. \(E(3{,}9)=3\), alors que l'arrondi de \(3{,}9\) à l'unité est 4.
Croire que la partie entière d'une somme est la somme des parties entières. \(E(0{,}5+0{,}5)=E(1)=1\), alors que \(E(0{,}5)+E(0{,}5)=0\).
Donner un résultat plus précis que les mesures. Annoncer « l'aire vaut 94,24 cm² » pour la plaque de l'exemple 3 n'a pas de sens : seul l'encadrement est justifié.
Résumé
\(E(x)\) est l'entier \(n\) tel que \(n\leq x\lt n+1\).
Constante sur chaque \([n\,;n+1[\) : courbe en escalier, croissante au sens large.
\(E(x)=n\) a pour solutions tous les réels de \([n\,;n+1[\).
On remplace chaque nombre par un nombre simple voisin pour contrôler un calcul.
\(x=a\pm h\) signifie \(a-h\leq x\leq a+h\), soit \(|x-a|\leq h\).
L'ordre se conserve par addition et par multiplication par un positif ; il s'inverse par multiplication par un négatif, par passage à l'inverse (positifs). Ne jamais multiplier une inégalité par un signe inconnu.
\(|b-a|\) = distance entre \(a\) et \(b\). \(|x-a|<r \iff x\in\,]a-r;a+r[\). Inégalité triangulaire : \(|x+y|\le|x|+|y|\).
On sait vérifier qu'un réel donné majore/minore un ensemble. Un majorant qui appartient à l'ensemble en est le maximum.
Somme : additionner les bornes de même sens. Différence : soustraire en croisant. Produit et quotient de réels strictement positifs uniquement.
Sujet type devoir
On donne les encadrements \(1{,}41 \le \sqrt{2} \le 1{,}43\) et \(2{,}23 \le \sqrt{5} \le 2{,}25\). Les questions suivantes sont progressives.
Question 1. Encadrer \(\sqrt{2}+\sqrt{5}\), puis \(\sqrt{5}-\sqrt{2}\).
Somme : on additionne les bornes de même sens : \(1{,}41+2{,}23 \le \sqrt{2}+\sqrt{5} \le 1{,}43+2{,}25\), soit \(3{,}64 \le \sqrt{2}+\sqrt{5} \le 3{,}68\).
Différence : on soustrait en croisant les bornes (minorant de \(\sqrt5\) moins majorant de \(\sqrt2\), puis majorant de \(\sqrt5\) moins minorant de \(\sqrt2\)) : \(2{,}23 - 1{,}43 \le \sqrt5-\sqrt2 \le 2{,}25-1{,}41\), soit \(0{,}80 \le \sqrt5-\sqrt2 \le 0{,}84\).
Question 2. En déduire un encadrement de \(\sqrt{2}\times\sqrt{5}\) à l'aide des mêmes données.
\(\sqrt2\) et \(\sqrt5\) sont strictement positifs, on peut donc encadrer leur produit en multipliant les bornes de même sens :
\[ 1{,}41 \times 2{,}23 \le \sqrt2\times\sqrt5 \le 1{,}43\times 2{,}25 \]soit \(3{,}1443 \le \sqrt{10} \le 3{,}2175\) (on a utilisé \(\sqrt2\times\sqrt5=\sqrt{10}\), résultat cohérent puisque \(\sqrt{10}\approx 3{,}162\)).
Question 3. Soit \(E = \left\{\dfrac{1}{n}\ /\ n \in \mathbb{N}^*\right\}\). Le réel \(1\) est-il un majorant de \(E\) ? Le réel \(0\) est-il un minorant de \(E\) ? \(E\) admet-il un maximum ?
Pour tout \(n \ge 1\), \(\dfrac1n \le 1\) (avec égalité pour \(n=1\)) : \(1\) est un majorant de \(E\), et comme \(1 \in E\) (pour \(n=1\)), c'est le maximum : \(\max E = 1\).
Pour tout \(n \ge 1\), \(\dfrac1n > 0\) : \(0\) est bien un minorant de \(E\). Mais \(0\) n'appartient jamais à \(E\) (aucun \(n\) ne donne \(\frac1n=0\)), donc \(E\) n'a pas de minimum.
Question 4. Sachant \(|x-3| \le 0{,}2\), majorer \(|x^2-9|\).
On factorise : \(x^2-9=(x-3)(x+3)\), donc \(|x^2-9|=|x-3|\times|x+3|\).
De \(|x-3|\le 0{,}2\), on tire \(2{,}8 \le x \le 3{,}2\), donc \(5{,}8 \le x+3 \le 6{,}2\), soit \(|x+3|\le 6{,}2\).
Donc \(|x^2-9| = |x-3|\times|x+3| \le 0{,}2\times 6{,}2 = \mathbf{1{,}24}\).