Équations et inéquations

Énoncé. Résoudre : a) \(3x^2-10x+7=0\) ; b) \(x^2+6x-7=0\).

Solution : a) \(b=-10=2\times(-5)\), donc \(b'=-5\). \(\Delta'=(-5)^2-3\times 7=25-21=4\), strictement positif, et \(\sqrt{\Delta'}=2\). Les solutions sont \(x_1=\dfrac{5-2}{3}=1\) et \(x_2=\dfrac{5+2}{3}=\dfrac73\). Avec la formule habituelle, on aurait manipulé \(\Delta=100-84=16\) : le résultat est le même.

b) \(b'=3\) et \(\Delta'=9-1\times(-7)=16\), donc \(\sqrt{\Delta'}=4\). Les solutions sont \(x_1=-3-4=-7\) et \(x_2=-3+4=1\). Contrôle : la somme vaut \(-6=-\dfrac ba\) et le produit \(-7=\dfrac ca\).

Énoncé. Résoudre : a) \(x^4-5x^2+4=0\) ; b) \(x^4-x^2-12=0\).

Solution : a) On pose \(X=x^2\) : \(X^2-5X+4=0\). \(\Delta=25-16=9\), d'où \(X=\dfrac{5-3}{2}=1\) ou \(X=\dfrac{5+3}{2}=4\). Les deux valeurs sont positives : \(x^2=1\) donne \(x=1\) ou \(x=-1\) ; \(x^2=4\) donne \(x=2\) ou \(x=-2\). L'équation a quatre solutions : \(-2\), \(-1\), \(1\), \(2\).

b) Avec \(X=x^2\) : \(X^2-X-12=0\). \(\Delta=1+48=49\), d'où \(X=\dfrac{1+7}{2}=4\) ou \(X=\dfrac{1-7}{2}=-3\). L'égalité \(x^2=-3\) est impossible ; \(x^2=4\) donne \(x=2\) ou \(x=-2\). L'équation n'a que deux solutions : \(-2\) et \(2\).

Énoncé. Résoudre l'équation \(\dfrac1x+\dfrac1{x+3}=\dfrac12\).

Solution : Valeurs interdites : \(x=0\) et \(x=-3\). Pour \(x\) différent de ces deux valeurs, on multiplie les deux membres par \(2x(x+3)\), qui n'est pas nul : \(2(x+3)+2x=x(x+3)\), soit \(4x+6=x^2+3x\), c'est-à-dire

\(\Delta=1+24=25\) ; les solutions sont \(\dfrac{1-5}{2}=-2\) et \(\dfrac{1+5}{2}=3\). Aucune n'est une valeur interdite.

Vérification : pour \(x=3\), \(\dfrac13+\dfrac16=\dfrac12\) ; pour \(x=-2\), \(-\dfrac12+1=\dfrac12\). L'ensemble des solutions est \(\{-2\,;3\}\).

Énoncé. Résoudre l'équation \(2x^2-3x-5=0\) sans calculer le discriminant.

Solution : On teste \(x=-1\) : \(2\times 1-3\times(-1)-5=2+3-5=0\). Donc \(x_1=-1\) est une racine. Le produit des racines vaut \(\dfrac ca=-\dfrac52\), d'où \(x_2=\dfrac{-5/2}{-1}=\dfrac52\).

Contrôle par la somme : \(-1+\dfrac52=\dfrac32\), et \(-\dfrac ba=\dfrac32\). L'ensemble des solutions est \(\left\{-1\,;\dfrac52\right\}\).

Remarque : \(-1\) est racine de \(ax^2+bx+c\) exactement quand \(a-b+c=0\), et \(1\) est racine exactement quand \(a+b+c=0\). Ces deux tests se font de tête.

Énoncé. a) Trouver deux nombres dont la somme est 7 et le produit 10. b) Un terrain rectangulaire a pour périmètre 34 m et pour aire 60 m². Quelles sont ses dimensions ? c) Existe-t-il deux nombres réels de somme 4 et de produit 5 ?

Solution : a) Les deux nombres sont les solutions de \(x^2-7x+10=0\). Le discriminant vaut \(49-40=9\) ; les solutions sont \(\dfrac{7-3}{2}=2\) et \(\dfrac{7+3}{2}=5\). Les nombres cherchés sont 2 et 5.

b) Soit \(L\) et \(\ell\) la longueur et la largeur, en mètres. Le demi-périmètre donne \(L+\ell=17\) et l'aire \(L\times\ell=60\). Ce sont les solutions de \(x^2-17x+60=0\) : discriminant \(289-240=49\), solutions \(\dfrac{17-7}{2}=5\) et \(\dfrac{17+7}{2}=12\). Le terrain mesure 12 m sur 5 m ; on vérifie \(2(12+5)=34\) et \(12\times 5=60\).

c) Il faudrait résoudre \(x^2-4x+5=0\), dont le discriminant \(16-20=-4\) est négatif : il n'existe pas de tels nombres réels.

Énoncé. Sans résoudre, donner le nombre et le signe des solutions de chacune des équations : a) \(x^2-6x+4=0\) ; b) \(3x^2+5x-1=0\).

Solution : a) Le discriminant vaut \(36-16=20\), strictement positif : il y a deux solutions distinctes. Leur produit \(P=4\) est positif : elles ont le même signe. Leur somme \(S=6\) est positive : les deux solutions sont strictement positives.

b) Le produit des racines serait \(P=-\dfrac13\), négatif. Lorsque \(a\) et \(c\) sont de signes contraires, le discriminant \(b^2-4ac\) est strictement positif (ici \(25+12=37\)) : l'équation a deux solutions, et elles sont de signes contraires.

Énoncé. Un atelier fabrique des tables et des bancs. Une table demande 1 heure de menuiserie et 2 heures de finition ; un banc demande 1 heure de menuiserie et 1 heure de finition. Chaque jour, l'atelier dispose de 8 heures de menuiserie et de 14 heures de finition. Le bénéfice est de 3 000 F par table et de 2 000 F par banc. Combien de tables et de bancs faut-il fabriquer par jour pour que le bénéfice soit maximal ?

Solution : Soit \(x\) le nombre de tables et \(y\) le nombre de bancs fabriqués par jour. Les contraintes sont \(x\geq 0\), \(y\geq 0\), \(x+y\leq 8\) (menuiserie) et \(2x+y\leq 14\) (finition). Le bénéfice, en milliers de francs, est \(z=3x+2y\).

Le domaine est le quadrilatère de sommets \(O(0\,;0)\), \(A(7\,;0)\), \(B(6\,;2)\) et \(C(0\,;8)\). Le sommet \(B\) est l'intersection des droites \(x+y=8\) et \(2x+y=14\) : par soustraction \(x=6\), puis \(y=2\). Le point \(A\) vérifie \(2x+y=14\) avec \(y=0\), et \(7+0\leq 8\).

Valeurs de \(z\) : en \(O\), 0 ; en \(A\), \(3\times 7=21\) ; en \(B\), \(18+4=22\) ; en \(C\), \(2\times 8=16\). Le maximum est 22, atteint en \(B\) : l'atelier doit fabriquer 6 tables et 2 bancs par jour, pour un bénéfice de 22 000 F. Toutes les heures disponibles sont alors utilisées.

Énoncé. Un éleveur compose chaque jour une ration avec deux aliments. Un kilogramme de l'aliment P apporte 2 unités de protéines et 1 unité de vitamines ; un kilogramme de l'aliment Q apporte 1 unité de protéines et 2 unités de vitamines. La ration doit apporter au moins 8 unités de protéines et au moins 10 unités de vitamines. L'aliment P coûte 400 F le kilogramme, l'aliment Q 300 F. Quelle ration coûte le moins cher ?

Solution : Soit \(x\) et \(y\) les masses, en kilogrammes, des aliments P et Q. Les contraintes sont \(x\geq 0\), \(y\geq 0\), \(2x+y\geq 8\) (protéines) et \(x+2y\geq 10\) (vitamines). Le coût, en centaines de francs, est \(z=4x+3y\).

L'origine ne vérifie aucune des deux dernières inéquations : le domaine est la région située au-dessus des deux droites, dans le quart de plan des coordonnées positives. Il n'est pas borné, mais il a trois sommets : \(D(0\,;8)\), \(E(2\,;4)\) et \(F(10\,;0)\). Le point \(E\) est l'intersection des deux droites : de \(y=8-2x\), on tire \(x+16-4x=10\), d'où \(x=2\) et \(y=4\).

Valeurs de \(z\) : en \(D\), 24 ; en \(E\), \(8+12=20\) ; en \(F\), 40. Comme le coût augmente lorsqu'on s'éloigne de l'origine, il n'y a pas de maximum, mais le minimum est 20, atteint en \(E\) : la ration la moins chère comporte 2 kg de l'aliment P et 4 kg de l'aliment Q, et coûte 2 000 F.