Seconde S · Leçon 7
Calcul dans ℝ
Ce que dit le programme officiel (8 points)
- Puissance d’un réel
- Calcul avec les radicaux : comparaison de réels, réduction d’expressions, substitution d’une valeur numérique dans une expression
- Connaître et utiliser la relation √(a²b) = |a|√b avec b ≥ 0
- Valeur absolue : définition
- Distance sur une droite
- Utiliser la valeur absolue pour calculer la distance sur une droite
- Résoudre |ax + b| = cx + d ; |x − a| ≤ b et |x − a| < b ; interpréter les solutions
- Limite : le calcul numérique ne doit pas constituer un objectif en soi ; la valeur absolue est étudiée comme un outil de résolution de problèmes
Source : Programme de mathématiques, Seconde S (Sénégal), octobre 2006
Ensembles de nombres et règles de calcul
Ce chapitre consolide les acquis du post-primaire. L'objectif n'est pas la virtuosité technique, mais la maîtrise sûre des mécanismes élémentaires, toujours reliée à la résolution de problèmes concrets — on évitera les exemples artificiels ou trop techniques.
\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\) : entiers naturels, entiers relatifs, décimaux (écriture décimale finie), rationnels (quotients d'entiers), réels. Chaque ensemble est inclus dans le suivant.
Priorité des opérations : parenthèses d'abord, puis multiplication/division, puis addition/soustraction. Associativité de l'addition et de la multiplication : l'ordre de regroupement ne change pas le résultat. Distributivité : \(a(b+c) = ab+ac\).
Puissances entières : \(a^n = a\times a\times\cdots\times a\) (\(n\) facteurs), \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) pour \(a\ne0\). Racine carrée d'un réel positif \(x\) : l'unique réel positif \(\sqrt x\) tel que \((\sqrt x)^2=x\).
Facile. \(3+4\times2 = 3+8=11\) (pas \(14\) : la multiplication est prioritaire).
Fractions. \(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}\) (mise au même dénominateur).
Équation du premier degré. Résoudre \(3x-7=2x+5\) : on regroupe les termes en \(x\) d'un côté, \(3x-2x=5+7\), donc \(x=12\).
Calcul avec les radicaux
La diagonale d'un carré de côté 1 mesure \(\sqrt2\), nombre qui ne s'écrit ni comme un décimal ni comme une fraction. Pour calculer avec de tels nombres sans les remplacer par des valeurs approchées, on garde le symbole \(\sqrt{\phantom{x}}\) et l'on applique quelques règles précises. Bien utilisées, elles permettent de simplifier une écriture, de comparer deux nombres et de remplacer une lettre par une valeur exacte.
Soit \(a\) un réel positif ou nul. La racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt a\), est l'unique réel positif ou nul dont le carré est \(a\) :
\[\sqrt a\geq 0\qquad\text{et}\qquad(\sqrt a)^2=a.\]Le symbole \(\sqrt{\phantom{x}}\) s'appelle le radical et le nombre placé dessous le radicande. Un nombre strictement négatif n'a pas de racine carrée.
Racine d'un carré. Pour tout réel \(a\), positif ou négatif,
\[\sqrt{a^2}=|a|.\]En effet \(|a|\) est positif et son carré est \(a^2\). Ainsi \(\sqrt{(-3)^2}=\sqrt9=3\), et non \(-3\).
Pour tous réels \(a\) et \(b\) positifs ou nuls :
- produit : \(\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b\) ;
- quotient : si \(b\neq 0\), \(\sqrt{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\).
Relation à connaître. Pour tout réel \(a\) et tout réel \(b\geq 0\),
\[\sqrt{a^2\,b}=|a|\,\sqrt b.\]Elle sert à « sortir » un carré du radical : \(\sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=6\sqrt2\).
Aucune règle pour la somme. En général \(\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b\) : par exemple \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\), alors que \(\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7\).
Comparaison. Deux réels positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés : si \(0\leq x\) et \(0\leq y\), alors \(x\lt y\) équivaut à \(x^2\lt y^2\).
Figure — Construire deux racines carrées sur une droite graduée
La diagonale du carré de côté 1, en or, mesure √2 : reportée au compas sur la droite graduée, elle donne le point d'abscisse √2, voisin de 1,41. La diagonale du rectangle de côtés 2 et 1, en bleu, mesure √5 : elle donne le point d'abscisse √5, voisin de 2,24. Ces longueurs viennent du théorème de Pythagore.
Simplifier un radical. On cherche le plus grand carré (4, 9, 16, 25, 36…) qui divise le radicande, puis on applique \(\sqrt{a^2\,b}=|a|\sqrt b\).
Réduire une somme. On simplifie d'abord chaque radical ; on regroupe ensuite les termes qui ont le même radicande, comme on regroupe des termes en \(x\) : \(5\sqrt2-6\sqrt2=-\sqrt2\).
Rendre rationnel un dénominateur. Si le dénominateur est \(\sqrt b\), on multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt b\). S'il est de la forme \(\sqrt a-\sqrt b\) ou \(\sqrt a-c\), on multiplie par la quantité conjuguée (\(\sqrt a+\sqrt b\) ou \(\sqrt a+c\)) : l'identité \((u-v)(u+v)=u^2-v^2\) fait disparaître les radicaux.
Comparer deux nombres. On vérifie qu'ils sont positifs, puis on compare leurs carrés. Si l'un est positif et l'autre négatif, la comparaison est immédiate.
Énoncé. a) Écrire \(\sqrt{72}\) sous la forme \(a\sqrt b\), où \(b\) est le plus petit entier possible. b) Réduire \(A=\sqrt{50}-3\sqrt8+\sqrt{18}\). c) Simplifier \(\sqrt{(-3)^2\times 5}\).
Solution : a) \(72=36\times 2\) et \(36=6^2\), donc \(\sqrt{72}=6\sqrt2\).
b) \(\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt2\) ; \(\sqrt8=\sqrt{4\times 2}=2\sqrt2\) ; \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times 2}=3\sqrt2\). Donc \(A=5\sqrt2-3\times 2\sqrt2+3\sqrt2=(5-6+3)\sqrt2=2\sqrt2\).
c) \(\sqrt{(-3)^2\times 5}=|-3|\sqrt5=3\sqrt5\). On vérifie : \((-3)^2\times 5=45\) et \(\sqrt{45}=\sqrt{9\times 5}=3\sqrt5\). Le résultat est positif, comme toute racine carrée.
Énoncé. Écrire sans radical au dénominateur : a) \(\dfrac{3}{\sqrt5}\) ; b) \(\dfrac{2}{\sqrt3-1}\) ; c) \(\dfrac{1}{\sqrt7+\sqrt5}\).
Solution : a) \(\dfrac{3}{\sqrt5}=\dfrac{3\times\sqrt5}{\sqrt5\times\sqrt5}=\dfrac{3\sqrt5}{5}\).
b) La quantité conjuguée de \(\sqrt3-1\) est \(\sqrt3+1\), et \((\sqrt3-1)(\sqrt3+1)=3-1=2\). Donc \(\dfrac{2}{\sqrt3-1}=\dfrac{2(\sqrt3+1)}{2}=\sqrt3+1\).
c) \((\sqrt7+\sqrt5)(\sqrt7-\sqrt5)=7-5=2\), donc \(\dfrac{1}{\sqrt7+\sqrt5}=\dfrac{\sqrt7-\sqrt5}{2}\).
Énoncé. a) Comparer \(3\sqrt2\) et \(2\sqrt5\). b) Calculer la valeur de l'expression \(x^2-2x-1\) pour \(x=1+\sqrt2\).
Solution : a) Les deux nombres sont positifs : on compare leurs carrés. \((3\sqrt2)^2=9\times 2=18\) et \((2\sqrt5)^2=4\times 5=20\). Comme \(18\lt 20\), on a \(3\sqrt2\lt 2\sqrt5\).
b) \(x^2=(1+\sqrt2)^2=1+2\sqrt2+2=3+2\sqrt2\) et \(2x=2+2\sqrt2\). Donc \(x^2-2x-1=3+2\sqrt2-2-2\sqrt2-1=0\). Le nombre \(1+\sqrt2\) est une solution de l'équation \(x^2-2x-1=0\) ; le calcul exact le prouve, alors qu'une valeur approchée ne donnerait qu'un résultat voisin de 0.
Séparer une somme. \(\sqrt{9+16}\) vaut 5, et non \(3+4\). Les règles ne portent que sur les produits et les quotients.
Oublier la valeur absolue. \(\sqrt{a^2}=|a|\). Pour \(a=\sqrt2-3\), qui est négatif, \(\sqrt{(\sqrt2-3)^2}=3-\sqrt2\), et non \(\sqrt2-3\).
Additionner des radicandes différents. \(\sqrt2+\sqrt3\) ne se réduit pas : ce n'est pas \(\sqrt5\). On ne regroupe que des termes de même radicande.
Oublier le double produit. \((2+\sqrt3)^2=4+4\sqrt3+3=7+4\sqrt3\), et non \(4+3=7\).
Intervalles, valeur absolue et distance
La valeur absolue permet de mesurer un écart entre deux nombres sans se soucier de l'ordre dans lequel ils sont pris : c'est l'outil naturel pour parler de distance sur la droite numérique.
Pour \(x \in \mathbb{R}\), la valeur absolue de \(x\), notée \(|x|\), vaut \(x\) si \(x \ge 0\) et \(-x\) si \(x < 0\). Pour deux réels \(a\) et \(b\), la distance entre \(a\) et \(b\) sur la droite numérique est \(|b - a|\).
Pour \(a \in \mathbb{R}\) et \(r > 0\), l'inégalité \(|x - a| < r\) est équivalente à \(a - r < x < a + r\), c'est-à-dire \(x \in\ ]a-r\,;\,a+r[\) : l'ensemble des réels situés à une distance de \(a\) strictement inférieure à \(r\) est exactement l'intervalle centré en \(a\) de rayon \(r\).
Valeur absolue d'un produit et d'un quotient : \(|xy| = |x|\cdot|y|\) et, pour \(y \ne 0\), \(\left|\dfrac{x}{y}\right| = \dfrac{|x|}{|y|}\).
Inégalité triangulaire : pour tous réels \(x\) et \(y\),
\[ |x + y| \le |x| + |y|. \]Facile. La distance entre \(-3\) et \(5\) est \(|5-(-3)| = |8| = 8\).
Intermédiaire. Traduire par un intervalle l'ensemble des solutions de \(|x - 2| < 3\). D'après la propriété, cela équivaut à \(2 - 3 < x < 2+3\), soit \(x \in\ ]-1\,;\,5[\).
Majoration simple. Sachant \(|x| \le 2\) et \(|y| \le 5\), majorer \(|3x - y|\). Par l'inégalité triangulaire (avec le facteur \(3\) devant \(x\)) : \(|3x - y| \le |3x| + |{-y}| = 3|x| + |y| \le 3\times 2 + 5 = 11\).
Figure interactive — Intervalle centré \(]a-r\,;\,a+r[\)
Déplacez \(x\) : le point devient vert si \(|x-a|<r\) (donc \(x\) dans l'intervalle), rouge sinon.
Résumé
\(\sqrt a\) est le réel positif de carré \(a\) ; il n'existe que si \(a\geq 0\).
\(\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\) et \(\sqrt{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\) pour des réels positifs.
\(\sqrt{a^2\,b}=|a|\sqrt b\) ; en particulier \(\sqrt{a^2}=|a|\).
\(\sqrt{a+b}\) n'est pas \(\sqrt a+\sqrt b\) en général.
Deux réels positifs sont rangés comme leurs carrés.