Seconde S · Leçon 2
Repérage cartésien
Ce que dit le programme officiel (16 points)
- Repérage sur une droite : abscisse d’un point, mesure algébrique (la mesure algébrique d’un bipoint (A, B) est aussi appelée mesure algébrique du vecteur AB)
- Version algébrique du théorème de Thalès
- Repérage cartésien : repère quelconque du plan
- Coordonnées du barycentre
- Changement de repère par translation
- Connaître la définition de repère cartésien et de mesure algébrique
- Retrouver et utiliser les formules de changement d’origine
- Colinéarité de deux vecteurs : condition de colinéarité (démontrée), déterminant de deux vecteurs
- Utiliser le déterminant pour étudier la colinéarité
- Limite : le déterminant est utilisé comme un outil de calcul
- Équations de droites : vecteur directeur ; équation générale, équation réduite ; équations paramétriques
- Construire une droite connaissant un point et un vecteur directeur, un point et un coefficient directeur
- Déterminer l’équation cartésienne d’une droite connaissant un vecteur directeur et un point de cette droite
- Donner le système d’équations paramétriques d’une droite
- Reconnaître qu’un système d’équations paramétriques est celui d’une droite
- Déterminer une équation cartésienne d’une droite à partir d’un système d’équations paramétriques et inversement
Source : Programme de mathématiques, Seconde S (Sénégal), octobre 2006
Mesure algébrique, théorème de Thalès et changement de repère par translation
Une distance est toujours positive : elle dit de combien deux points sont écartés, mais pas dans quel sens on va de l'un à l'autre. Sur une droite graduée, on peut garder cette information en comptant positivement dans un sens et négativement dans l'autre. Cette idée simple, la mesure algébrique, permet d'écrire le théorème de Thalès en une seule égalité, valable pour toutes les figures. On verra aussi comment les coordonnées d'un point changent lorsqu'on déplace l'origine du repère.
Soit \((D)\) une droite munie d'un repère \((O\,;\vec i)\) : \(O\) est l'origine et \(\vec i\) un vecteur directeur de \((D)\), qui fixe à la fois l'unité et le sens positif.
Abscisse. Pour tout point \(M\) de \((D)\), il existe un unique réel \(x_M\) tel que \(\overrightarrow{OM}=x_M\,\vec i\). Ce réel est l'abscisse de \(M\).
Mesure algébrique. Pour deux points \(A\) et \(B\) de \((D)\), la mesure algébrique du bipoint \((A,B)\), appelée aussi mesure algébrique du vecteur \(\overrightarrow{AB}\), est le réel noté \(\overline{AB}\) tel que
\[\overrightarrow{AB}=\overline{AB}\;\vec i,\qquad\text{c'est-à-dire}\qquad \overline{AB}=x_B-x_A.\]Le nombre \(\overline{AB}\) est positif quand on va de \(A\) vers \(B\) dans le sens de \(\vec i\), négatif dans le sens contraire. Sa valeur absolue est la distance : \(|\overline{AB}|=AB\) (l'unité étant la longueur de \(\vec i\)).
Pour tous points \(A\), \(B\), \(C\) d'une même droite graduée :
- \(\overline{BA}=-\overline{AB}\) et \(\overline{AA}=0\) ;
- relation de Chasles : \(\overline{AB}+\overline{BC}=\overline{AC}\), quelle que soit la position des trois points ;
- \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si \(\overline{IA}=-\overline{IB}\).
La relation de Chasles se démontre en une ligne : \((x_B-x_A)+(x_C-x_B)=x_C-x_A\). Avec des distances, l'égalité \(AB+BC=AC\) n'est vraie que si \(B\) est entre \(A\) et \(C\) : c'est tout l'avantage des mesures algébriques.
Rapport de deux mesures algébriques. Si l'on remplace \(\vec i\) par un autre vecteur directeur de la droite, toutes les mesures algébriques sont multipliées par un même nombre. Le quotient \(\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AB}}\) ne dépend donc pas du repère choisi sur la droite : c'est le réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{AM}=k\,\overrightarrow{AB}\).
Soit \((d)\) et \((d')\) deux droites sécantes en \(A\). Soit \(B\) et \(M\) deux points de \((d)\), \(C\) et \(N\) deux points de \((d')\), avec \(B\) et \(C\) distincts de \(A\).
Théorème. Si les droites \((BC)\) et \((MN)\) sont parallèles, alors
\[\frac{\overline{AM}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AN}}{\overline{AC}}.\]Réciproque. Si \(\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{AN}}{\overline{AC}}\), alors les droites \((BC)\) et \((MN)\) sont parallèles.
Si \(k\) désigne la valeur commune des deux rapports, on a \(\overrightarrow{AM}=k\,\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AN}=k\,\overrightarrow{AC}\), donc \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=k\,\overrightarrow{BC}\). On en tire la troisième égalité utile : \(MN=|k|\times BC\).
Le signe de \(k\) décrit la figure : si \(k\gt 0\), \(M\) et \(B\) sont du même côté de \(A\) (configuration « triangle ») ; si \(k\lt 0\), ils sont de part et d'autre de \(A\) (configuration « papillon »). Une seule égalité couvre les deux cas, et la réciproque ne demande plus de vérifier à part l'ordre des points.
Figure — La configuration « papillon » de l'exemple 2
Les droites (d) et (d') se coupent en A. Les points B et C sont d'un côté de A, les points M et N de l'autre : les deux rapports de mesures algébriques valent −2/3. Les segments [BC] et [MN], tracés en or, sont parallèles, et MN vaut les deux tiers de BC.
Dans le plan muni d'un repère \((O\,;\vec i,\vec j)\), soit \(\Omega\) le point de coordonnées \((a\,;b)\). On garde les mêmes vecteurs \(\vec i\) et \(\vec j\), mais on prend \(\Omega\) comme nouvelle origine.
Si un point \(M\) a pour coordonnées \((x\,;y)\) dans le repère \((O\,;\vec i,\vec j)\) et \((X\,;Y)\) dans le repère \((\Omega\,;\vec i,\vec j)\), alors
\[x=X+a\qquad\text{et}\qquad y=Y+b.\]Démonstration. \(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{O\Omega}+\overrightarrow{\Omega M}=(a\,\vec i+b\,\vec j)+(X\,\vec i+Y\,\vec j)=(X+a)\,\vec i+(Y+b)\,\vec j\). Les coordonnées d'un vecteur dans une base étant uniques, \(x=X+a\) et \(y=Y+b\).
Dans l'autre sens : \(X=x-a\) et \(Y=y-b\). Les coordonnées d'un vecteur, elles, ne changent pas, puisque la base \((\vec i,\vec j)\) est la même.
Effet sur une courbe. Si une courbe a pour équation \(y=f(x)\) dans l'ancien repère, son équation dans le nouveau s'obtient en remplaçant \(x\) par \(X+a\) et \(y\) par \(Y+b\) : \(Y=f(X+a)-b\). Un bon choix de \(\Omega\) donne souvent une équation beaucoup plus simple.
Calculer avec des mesures algébriques. On choisit un repère sur la droite, on traduit chaque mesure algébrique par une différence d'abscisses (extrémité moins origine) et l'on résout l'équation obtenue. Pour décomposer, on utilise la relation de Chasles sans se soucier de l'ordre des points.
Appliquer le théorème de Thalès. On repère le point d'intersection \(A\) des deux droites, on écrit les deux rapports en partant chaque fois de \(A\), avec les points d'une même droite dans un même rapport. Pour prouver un parallélisme, on calcule séparément les deux rapports, signes compris, et l'on constate qu'ils sont égaux.
Changer d'origine. On écrit \(x=X+a\) et \(y=Y+b\), où \((a\,;b)\) sont les coordonnées de la nouvelle origine dans l'ancien repère, on remplace dans l'équation, puis on isole \(Y\). Pour revenir à l'ancien repère, on ajoute \(a\) aux abscisses et \(b\) aux ordonnées.
Énoncé. Sur une droite munie d'un repère \((O\,;\vec i)\), on donne les points \(A\), \(B\), \(C\) d'abscisses \(-3\), \(5\) et \(1\). a) Calculer \(\overline{AB}\), \(\overline{BC}\), \(\overline{AC}\). b) Déterminer l'abscisse du point \(M\) tel que \(\overline{MA}=-3\,\overline{MB}\).
Solution : a) \(\overline{AB}=5-(-3)=8\) ; \(\overline{BC}=1-5=-4\) ; \(\overline{AC}=1-(-3)=4\). On vérifie la relation de Chasles : \(8+(-4)=4\). Le point \(C\) est le milieu de \([AB]\), car \(\overline{CA}=-4\) et \(\overline{CB}=4\).
b) Soit \(x\) l'abscisse de \(M\). L'égalité s'écrit \(-3-x=-3(5-x)\), soit \(-3-x=-15+3x\), d'où \(4x=12\) et \(x=3\). Vérification : \(\overline{MA}=-3-3=-6\) et \(\overline{MB}=5-3=2\) ; on a bien \(-6=-3\times 2\). Les deux mesures sont de signes contraires : \(M\) est entre \(A\) et \(B\), trois fois plus loin de \(A\) que de \(B\).
Énoncé. Deux droites \((d)\) et \((d')\) se coupent en \(A\). Sur \((d)\), munie d'un repère d'origine \(A\), les points \(B\) et \(M\) ont pour abscisses \(6\) et \(-4\). Sur \((d')\), munie d'un repère d'origine \(A\), les points \(C\) et \(N\) ont pour abscisses \(9\) et \(-6\). On sait que \(BC=7{,}5\). Les droites \((BC)\) et \((MN)\) sont-elles parallèles ? Calculer \(MN\).
Solution : On calcule les deux rapports, en gardant les signes : \(\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AB}}=\dfrac{-4}{6}=-\dfrac23\) et \(\dfrac{\overline{AN}}{\overline{AC}}=\dfrac{-6}{9}=-\dfrac23\). Les rapports sont égaux : d'après la réciproque du théorème de Thalès, \((MN)\) est parallèle à \((BC)\).
De plus \(\overrightarrow{MN}=-\dfrac23\,\overrightarrow{BC}\), donc \(MN=\dfrac23\times 7{,}5=5\). Le rapport est négatif : \(M\) et \(N\) sont de l'autre côté de \(A\) par rapport à \(B\) et \(C\), comme le montre la figure.
Énoncé. Dans un repère \((O\,;\vec i,\vec j)\), la courbe \((\mathcal C)\) a pour équation \(y=x^2-4x+1\). On pose \(\Omega(2\,;-3)\). a) Écrire les formules de changement de repère et trouver l'équation de \((\mathcal C)\) dans le repère \((\Omega\,;\vec i,\vec j)\). b) Qu'en déduit-on pour \((\mathcal C)\) ?
Solution : a) Les formules sont \(x=X+2\) et \(y=Y-3\). On remplace : \(Y-3=(X+2)^2-4(X+2)+1=X^2+4X+4-4X-8+1=X^2-3\), donc \(Y=X^2\).
b) Dans le nouveau repère, \((\mathcal C)\) est la parabole d'équation \(Y=X^2\) : son sommet est la nouvelle origine \(\Omega(2\,;-3)\), et elle est symétrique par rapport au nouvel axe des ordonnées, c'est-à-dire à la droite d'équation \(x=2\) dans l'ancien repère. Vérification sur un point : pour \(x=5\), \(y=25-20+1=6\) ; dans le nouveau repère \(X=3\) et \(Y=9\), et l'on a bien \(9=3^2\).
Figure — La parabole de l'exemple 3 et ses deux repères
En bleu marine, la courbe d'équation y = x² − 4x + 1 dans le repère d'origine O. Les axes du nouveau repère, d'origine Ω(2 ; −3), sont tracés en or : par rapport à eux, la courbe est la parabole Y = X², de sommet Ω. Le point A a pour coordonnées (5 ; 6) dans l'ancien repère et (3 ; 9) dans le nouveau.
Confondre \(\overline{AB}\) et \(AB\). La distance \(AB\) est positive ; la mesure algébrique \(\overline{AB}\) a un signe. Pour \(A(5)\) et \(B(1)\), \(\overline{AB}=-4\) alors que \(AB=4\).
Écrire la réciproque de Thalès avec des distances sans regarder la figure. Si \(M\) est du côté opposé à \(B\) alors que \(N\) est du même côté que \(C\), on peut avoir \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\) sans que les droites soient parallèles. Avec les mesures algébriques, les deux rapports sont alors de signes contraires : l'égalité est fausse, et l'erreur est évitée.
Comparer des mesures algébriques prises sur deux droites différentes. Une mesure algébrique dépend du repère choisi sur sa droite. Seuls les rapports de deux mesures prises sur une même droite ont un sens indépendant de ce choix.
Se tromper de signe en changeant d'origine. Avec \(\Omega(2\,;-3)\), on a \(x=X+2\) et \(y=Y-3\), et non \(x=X-2\). Pour s'en assurer, on teste le point \(\Omega\) lui-même : ses nouvelles coordonnées sont \((0\,;0)\), ses anciennes \((2\,;-3)\).
Déterminant de deux vecteurs, colinéarité, alignement, milieu
L'étude des vecteurs du plan ne se limite pas à des manipulations algébriques : elle fournit les outils qui serviront toute l'année pour la géométrie (parallélisme, alignement, milieu, barycentre). On évoquera au passage la notion d'espace vectoriel sur \(\mathbb{R}\), mais aucun développement abstrait n'est exigible à ce niveau.
Un vecteur \(\vec{u}\) est caractérisé par une direction, un sens et une norme (longueur), notée \(\|\vec{u}\|\). Deux vecteurs sont égaux si le quadrilatère qu'ils déterminent (avec leurs origines et extrémités) est un parallélogramme — ce qui correspond à la translation qui envoie l'un sur l'autre. L'opposé de \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\) est \(-\vec{u}=\overrightarrow{BA}\) ; il correspond à la symétrie centrale.
Une combinaison linéaire de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est un vecteur de la forme \(a\vec{u}+b\vec{v}\), avec \(a,b\in\mathbb{R}\). Une base du plan est un couple de vecteurs \((\vec{i},\vec{j})\) non colinéaires. Dans une base, tout vecteur \(\vec{w}\) se décompose de façon unique : \(\vec{w} = x\vec{i}+y\vec{j}\) ; \((x,y)\) sont les coordonnées de \(\vec{w}\) dans cette base.
Dans une base, si \(\vec{u}(x;y)\) et \(\vec{v}(x';y')\), le déterminant de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est
\[ \det(\vec u,\vec v) = xy' - x'y. \]\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si et seulement si \(\det(\vec u,\vec v)=0\).
Facile. \(\vec u(3;2)\) et \(\vec v(6;4)\) : \(\det(\vec u,\vec v)=3\times4-6\times2=12-12=0\) : colinéaires (en effet \(\vec v=2\vec u\)).
Décomposition. Dans la base \((\vec i,\vec j)\), décomposer \(\vec w = 2\vec i - \vec j\) sur \(\vec u=\vec i+\vec j\) et \(\vec v=\vec i-\vec j\) (non colinéaires). On cherche \(a,b\) tels que \(\vec w=a\vec u+b\vec v\) : \(2\vec i-\vec j=(a+b)\vec i+(a-b)\vec j\). Par identification : \(a+b=2\) et \(a-b=-1\), soit \(a=\tfrac12\), \(b=\tfrac32\).
Droites parallèles : \((AB)\parallel(CD)\) si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
Points alignés : \(A,B,C\) sont alignés si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
Milieu : \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\), ou encore \(\overrightarrow{OI}=\tfrac12\big(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\big)\) pour toute origine \(O\).
Thalès et homothétie : la multiplication d'un vecteur par un scalaire \(k\) correspond à une homothétie de rapport \(k\) ; le théorème de Thalès en géométrie plane traduit exactement cette proportionnalité vectorielle.
Pour montrer que \(A,B,C\) sont alignés : calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), puis leur déterminant. S'il est nul, les points sont alignés.
Exemple. \(A(1;2)\), \(B(3;5)\), \(C(-1;-4)\). \(\overrightarrow{AB}(2;3)\), \(\overrightarrow{AC}(-2;-6)\). \(\det=2\times(-6)-(-2)\times3=-12+6=-6\ne0\) : \(A,B,C\) ne sont pas alignés.
Figure interactive — Alignement de trois points
Déplacez le point C : la couleur du triangle change selon que A, B, C sont alignés (déterminant nul) ou non.
Droites : représentation paramétrique, équation cartésienne, parallélisme, orthogonalité
Un vecteur directeur d'une droite \(d\) est un vecteur non nul colinéaire à \(d\). Si \(A(x_A;y_A)\in d\) et \(\vec u(a;b)\) est un vecteur directeur, un point \(M(x;y)\) appartient à \(d\) si et seulement s'il existe \(t\in\mathbb{R}\) tel que :
\[ \begin{cases} x = x_A + ta \\ y = y_A + tb \end{cases} \]C'est une représentation paramétrique de \(d\).
En éliminant \(t\), on obtient une équation cartésienne de la forme \(\alpha x+\beta y+\gamma=0\), avec \(\vec u(-\beta;\alpha)\) vecteur directeur. Si \(\beta\ne0\), on peut écrire \(y=mx+p\) avec \(m=-\alpha/\beta\) le coefficient directeur : \(\vec u(1;m)\) est alors un vecteur directeur.
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\(\overline{AB}=x_B-x_A\) ; elle a un signe et \(|\overline{AB}|=AB\).
\(\overline{AB}+\overline{BC}=\overline{AC}\) pour trois points alignés quelconques.
\((BC)\parallel(MN)\) équivaut à \(\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{AN}}{\overline{AC}}\).
Si ce rapport vaut \(k\), alors \(MN=|k|\times BC\).
Avec \(\Omega(a\,;b)\) : \(x=X+a\) et \(y=Y+b\).
Base = 2 vecteurs non colinéaires. Décomposition unique de tout vecteur dans une base donnée.
\(\det(\vec u,\vec v)=xy'-x'y\). Nul \(\iff\) vecteurs colinéaires.
Points alignés / droites parallèles : déterminant nul des vecteurs associés.
\(I\) milieu de \([AB]\) \(\iff\) \(\overrightarrow{OI}=\tfrac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\) pour toute origine \(O\).
Sujet type devoir
Dans un repère, on donne \(A(-2;1)\), \(B(4;3)\), \(C(1;2)\).
Question 1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
\(\overrightarrow{AB}(4-(-2)\,;\,3-1)=(6;2)\). \(\overrightarrow{AC}(1-(-2)\,;\,2-1)=(3;1)\).
Question 2. \(A, B, C\) sont-ils alignés ?
\(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=6\times1-3\times2=6-6=0\) : les points sont alignés (\(C\) est d'ailleurs le milieu de \([AB]\), à vérifier : \(\tfrac{-2+4}{2}=1\), \(\tfrac{1+3}{2}=2\) — coordonnées de \(C\). Confirmé.)
Question 3. Soit \(D\) tel que \(\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB}\). Calculer les coordonnées de \(D\).
\(\overrightarrow{AD}=3(6;2)=(18;6)\). Donc \(D = A+\overrightarrow{AD} = (-2+18\,;\,1+6)=(16;7)\).