Seconde S · Leçon 4
Produit scalaire
Ce que dit le programme officiel (19 points)
- Définition : pour trois points A, B, C, le produit scalaire des vecteurs AB et AC est nul si A = B et vaut, si A ≠ B, le produit des mesures algébriques de AB et AH, où H est le projeté orthogonal de C sur (AB)
- Carré scalaire
- Autre expression : AB · AC = AB × AC × cos(AB, AC)
- Règles de calcul : symétrie, distributivité sur l’addition, u · (λv) = λ(u · v), u · 0 = 0
- Identités remarquables concernant (u + v)², (u − v)² et (u + v) · (u − v)
- Norme : définition ; propriétés ||u|| = 0 ⇔ u = 0, ||λu|| = |λ| ||u||, ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||
- Inégalité de Schwarz |u · v| ≤ ||u|| · ||v|| (en exercice) et inégalité triangulaire
- Orthogonalité : vecteurs orthogonaux, vecteur normal à une droite
- Théorème de Pythagore et sa réciproque : ||u + v||² = ||u||² + ||v||² ⇔ u ⊥ v
- Expressions analytiques : produit scalaire, norme, distance de deux points
- Équation cartésienne d’une droite définie par un vecteur normal à cette droite et un point de cette droite ; cas particulier de la médiatrice
- Équation cartésienne du cercle, établie à partir de MA · MB = 0 ou de OM² = R²
- Distance d’un point à une droite : d(A, (D)) = |aα + bβ + c| / √(a² + b²) pour A(α ; β) et (D) : ax + by + c = 0
- Relations métriques dans un triangle ABC rectangle en A, H pied de la hauteur issue de A : AB² + AC² = BC² ; AB² = BC · BH ; AC² = CB · CH ; AH² = − HB · HC (mesures algébriques) ; AB × AC = BC × AH
- Connaître les définitions du produit scalaire, de la norme et de l’orthogonalité de vecteurs
- Utiliser le produit scalaire pour calculer des distances et des normes, développer des expressions vectorielles, déterminer des mesures d’angle géométrique, établir des relations métriques dans un triangle rectangle, démontrer des propriétés géométriques (alignement, parallélisme, orthogonalité)
- Déterminer une équation de droite connaissant un point de cette droite et un vecteur normal à cette droite
- Déterminer une équation de cercle
- Limite : le produit scalaire est introduit sans allusion aux propriétés des formes bilinéaires
Source : Programme de mathématiques, Seconde S (Sénégal), octobre 2006
Produit scalaire dans le plan : définitions et propriétés
Soit \(\vec u=\overrightarrow{OA}\) et \(\vec v=\overrightarrow{OB}\), et \(H\) le projeté orthogonal de \(B\) sur la droite \((OA)\). Le produit scalaire de \(\vec u\) et \(\vec v\) est le réel :
\[ \vec u \cdot \vec v = \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OH}. \](produit des mesures algébriques si \(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OH}\) sont colinéaires — positif si de même sens, négatif sinon).
En particulier, \(\vec u \cdot \vec v = 0 \iff \vec u \perp \vec v\) (ou l'un des deux vecteurs est nul) : c'est la caractérisation de l'orthogonalité la plus utilisée en pratique.
\(\vec u\cdot\vec v = \vec v\cdot\vec u\) (symétrie). Pour tous réels \(a,b\) : \((a\vec u)\cdot\vec v = a(\vec u\cdot\vec v)\) et \(\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w\) (linéarité). Enfin \(\vec u\cdot\vec u = \|\vec u\|^2\) (noté aussi \(\vec u^{\,2}\)).
Produit scalaire en repère orthonormé
Dans un repère orthonormé, si \(\vec u(x;y)\) et \(\vec v(x';y')\) :
\[ \vec u \cdot \vec v = xx' + yy', \qquad \|\vec u\| = \sqrt{x^2+y^2}. \]Pour deux points \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\), la distance \(AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).
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Le produit scalaire sait dire si deux vecteurs sont orthogonaux. Cette seule propriété suffit pour décrire une droite autrement que par sa direction : par un vecteur qui lui est perpendiculaire. On obtient alors, presque sans calcul, l'équation d'une médiatrice ou d'une hauteur, et une formule qui donne directement la distance d'un point à une droite. Dans tout ce cours, le plan est muni d'un repère orthonormé.
La norme du vecteur \(\vec u\), notée \(\|\vec u\|\), est la longueur de ce vecteur : si \(\vec u=\overrightarrow{AB}\), alors \(\|\vec u\|=AB\). Elle est liée au produit scalaire par \(\|\vec u\|^2=\vec u\cdot\vec u\), et, si \(\vec u\) a pour coordonnées \((x\,;y)\), \(\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}\).
Propriétés. Pour tous vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\) et tout réel \(\lambda\) :
- \(\|\vec u\|=0\) si et seulement si \(\vec u=\vec 0\) ;
- \(\|\lambda\vec u\|=|\lambda|\,\|\vec u\|\) ;
- inégalité de Schwarz : \(|\vec u\cdot\vec v|\leq\|\vec u\|\,\|\vec v\|\) ;
- inégalité triangulaire : \(\|\vec u+\vec v\|\leq\|\vec u\|+\|\vec v\|\).
Démonstrations. Si les deux vecteurs sont non nuls, \(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\vec u,\vec v)\) et un cosinus est compris entre \(-1\) et \(1\) : c'est l'inégalité de Schwarz. Ensuite \(\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2\leq\|\vec u\|^2+2\,\|\vec u\|\,\|\vec v\|+\|\vec v\|^2=\big(\|\vec u\|+\|\vec v\|\big)^2\) ; deux nombres positifs étant rangés comme leurs carrés, on obtient l'inégalité triangulaire.
Un vecteur normal à une droite \((D)\) est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de \((D)\).
Propriété 1. La droite passant par le point \(A(x_A\,;y_A)\) et de vecteur normal \(\vec n(a\,;b)\) est l'ensemble des points \(M(x\,;y)\) tels que \(\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0\). Elle a pour équation
\[a(x-x_A)+b(y-y_A)=0.\]Propriété 2. Réciproquement, toute droite d'équation \(ax+by+c=0\) (avec \(a\) et \(b\) non tous deux nuls) admet \(\vec n(a\,;b)\) pour vecteur normal. Le vecteur \(\vec u(-b\,;a)\) en est un vecteur directeur, et l'on a bien \(\vec n\cdot\vec u=-ab+ba=0\).
Cas de la médiatrice. La médiatrice d'un segment \([AB]\) est la droite qui passe par le milieu \(I\) de \([AB]\) et qui admet \(\overrightarrow{AB}\) pour vecteur normal : c'est l'ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow{AB}=0\).
La distance d'un point \(A\) à une droite \((D)\) est la longueur \(AH\), où \(H\) est le projeté orthogonal de \(A\) sur \((D)\) ; c'est la plus courte distance de \(A\) à un point de \((D)\).
Théorème. Si \((D)\) a pour équation \(ax+by+c=0\) et si \(A\) a pour coordonnées \((\alpha\,;\beta)\), alors
\[d\big(A,(D)\big)=\frac{|a\alpha+b\beta+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]Démonstration. Le vecteur \(\overrightarrow{AH}\) est colinéaire à \(\vec n(a\,;b)\) : il existe un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{AH}=k\,\vec n\), donc \(H(\alpha+ka\,;\beta+kb)\). Comme \(H\) est sur \((D)\) : \(a(\alpha+ka)+b(\beta+kb)+c=0\), d'où \(k=-\dfrac{a\alpha+b\beta+c}{a^2+b^2}\). Enfin \(AH=|k|\,\|\vec n\|=|k|\sqrt{a^2+b^2}\), ce qui donne la formule.
La démonstration fournit aussi les coordonnées du projeté \(H\), grâce à la valeur de \(k\).
Écrire l'équation d'une droite connaissant un point \(A\) et un vecteur normal \(\vec n(a\,;b)\). On écrit \(a(x-x_A)+b(y-y_A)=0\) et l'on développe. Ou bien on écrit \(ax+by+c=0\) et l'on trouve \(c\) en remplaçant \(x\) et \(y\) par les coordonnées de \(A\).
Trouver une médiatrice, une hauteur, une perpendiculaire. On cherche un point (le milieu, un sommet) et un vecteur normal : c'est un vecteur directeur de la droite à laquelle on doit être perpendiculaire.
Calculer une distance. On met d'abord l'équation sous la forme \(ax+by+c=0\) (tout dans le même membre), puis on applique la formule sans oublier la valeur absolue.
Trouver le projeté orthogonal. On calcule \(k=-\dfrac{a\alpha+b\beta+c}{a^2+b^2}\), puis \(H(\alpha+ka\,;\beta+kb)\), et l'on vérifie que \(H\) est sur la droite.
Énoncé. a) Donner une équation de la droite \((D)\) passant par \(A(2\,;-1)\) et de vecteur normal \(\vec n(3\,;4)\). b) Calculer la distance du point \(B(7\,;4)\) à \((D)\). c) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal \(H\) de \(B\) sur \((D)\).
Solution : a) \(3(x-2)+4(y+1)=0\), soit \(3x+4y-2=0\).
b) \(d\big(B,(D)\big)=\dfrac{|3\times 7+4\times 4-2|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{|35|}{5}=7\).
c) \(k=-\dfrac{35}{25}=-\dfrac75\), donc \(H\left(7-\dfrac75\times 3\,;4-\dfrac75\times 4\right)\), soit \(H(2{,}8\,;-1{,}6)\). Vérifications : \(3\times 2{,}8+4\times(-1{,}6)-2=8{,}4-6{,}4-2=0\), et \(BH=\sqrt{4{,}2^2+5{,}6^2}=\sqrt{49}=7\).
Figure — La droite, son vecteur normal et la distance de l'exemple 1
La droite (D), en bleu marine, passe par A et admet pour vecteur normal le vecteur n, tracé en or à partir de A. Le segment [BH], en bleu, est perpendiculaire à (D) : sa longueur 7 est la distance du point B à la droite. Il est parallèle au vecteur n.
Énoncé. On donne \(A(1\,;4)\) et \(B(5\,;-2)\). Déterminer une équation de la médiatrice \((\Delta)\) du segment \([AB]\), puis vérifier que le point \(P(0\,;-1)\) est équidistant de \(A\) et de \(B\).
Solution : Le milieu de \([AB]\) est \(I(3\,;1)\) et \(\overrightarrow{AB}(4\,;-6)\) est un vecteur normal à \((\Delta)\) ; on peut le remplacer par \(\vec n(2\,;-3)\), qui lui est colinéaire. D'où \(2(x-3)-3(y-1)=0\), soit
\[2x-3y-3=0.\]Le point \(P\) vérifie cette équation : \(2\times 0-3\times(-1)-3=0\). Il est donc sur la médiatrice. On le contrôle par les distances : \(PA^2=(1-0)^2+(4+1)^2=26\) et \(PB^2=(5-0)^2+(-2+1)^2=26\), donc \(PA=PB\).
Énoncé. Soit \(A(1\,;1)\), \(B(7\,;3)\) et \(C(3\,;6)\). Calculer la longueur de la hauteur issue de \(C\) dans le triangle \(ABC\), puis l'aire de ce triangle.
Solution : \(\overrightarrow{AB}(6\,;2)\) dirige la droite \((AB)\) ; un vecteur normal est \(\vec n(1\,;-3)\), car \(6\times 1+2\times(-3)=0\). L'équation de \((AB)\) est \((x-1)-3(y-1)=0\), soit \(x-3y+2=0\).
La hauteur issue de \(C\) a pour longueur la distance de \(C\) à \((AB)\) : \(h=\dfrac{|3-3\times 6+2|}{\sqrt{1+9}}=\dfrac{13}{\sqrt{10}}=\dfrac{13\sqrt{10}}{10}\).
Comme \(AB=\sqrt{36+4}=2\sqrt{10}\), l'aire vaut \(\dfrac12\times AB\times h=\dfrac12\times 2\sqrt{10}\times\dfrac{13}{\sqrt{10}}=13\).
Confondre vecteur normal et vecteur directeur. Dans \(3x+4y-2=0\), le vecteur \((3\,;4)\) est normal à la droite ; un vecteur directeur est \((-4\,;3)\).
Oublier la valeur absolue ou la racine. Une distance est positive, et le dénominateur est \(\sqrt{a^2+b^2}\), non \(a^2+b^2\) ni \(a+b\).
Appliquer la formule à une équation mal rangée. Pour la droite \(3x=4y-6\), on écrit d'abord \(3x-4y+6=0\) : alors \(a=3\), \(b=-4\), \(c=6\). La distance du point \((1\,;1)\) à cette droite est \(\dfrac{|3-4+6|}{5}=1\).
Croire que l'inégalité triangulaire est une égalité. \(\|\vec u+\vec v\|\) n'est égal à \(\|\vec u\|+\|\vec v\|\) que si les deux vecteurs ont même direction et même sens. Pour \(\vec u(1\,;1)\) et \(\vec v(-3\,;-3)\), la somme a pour norme \(2\sqrt2\), alors que la somme des normes vaut \(4\sqrt2\).
Équation cartésienne d'un cercle
Le cercle de centre \(\Omega(a;b)\) et de rayon \(r\) a pour équation, en repère orthonormé :
\[ (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2. \]Pour trouver l'intersection d'une droite et d'un cercle, on substitue l'équation (ou la représentation paramétrique) de la droite dans celle du cercle : on obtient une équation du second degré en \(x\) (ou en \(t\)), dont le discriminant indique 0, 1 (tangente) ou 2 points d'intersection.
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Dans un triangle \(ABC\), en notant \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) :
\[ a^2 = b^2+c^2-2bc\cos\widehat A. \]Retrouvée en développant \(BC^2=\overrightarrow{BC}\,^2=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})^2\) via la linéarité du produit scalaire. Cas particulier : si \(\widehat A=90°\), on retrouve exactement le théorème de Pythagore.
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Déplacez M sur le cercle : l'angle en M reste toujours droit — vérification visuelle de \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\).
Relations métriques dans le triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, abaisser la hauteur issue de l'angle droit fait apparaître deux petits triangles rectangles qui « ressemblent » au grand. Il en résulte cinq égalités entre les longueurs de la figure. Avec elles, deux longueurs bien choisies suffisent pour calculer toutes les autres. Elles se démontrent en quelques lignes grâce au produit scalaire.
Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\), et \(H\) le pied de la hauteur issue de \(A\) : \(H\) est le projeté orthogonal de \(A\) sur la droite \((BC)\). Les mesures algébriques sont prises sur la droite \((BC)\).
- Théorème de Pythagore : \(AB^2+AC^2=BC^2\).
- Côtés de l'angle droit : \(AB^2=\overline{BC}\cdot\overline{BH}\) et \(AC^2=\overline{CB}\cdot\overline{CH}\).
- Hauteur : \(AH^2=-\,\overline{HB}\cdot\overline{HC}\).
- Aire : \(AB\times AC=BC\times AH\).
Le point \(H\) est entre \(B\) et \(C\). Les mesures algébriques \(\overline{BC}\) et \(\overline{BH}\) ont donc le même signe, tandis que \(\overline{HB}\) et \(\overline{HC}\) sont de signes contraires. Avec des longueurs, les relations s'écrivent simplement :
\[AB^2=BC\times BH,\qquad AC^2=CB\times CH,\qquad AH^2=HB\times HC.\]Côtés de l'angle droit. \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}\cdot(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})=BA^2+\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}=BA^2\), car \(\overrightarrow{BA}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont orthogonaux. D'autre part, \(H\) étant le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\), la définition du produit scalaire donne \(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}=\overline{BC}\cdot\overline{BH}\). Donc \(AB^2=\overline{BC}\cdot\overline{BH}\). On obtient la relation pour \(AC^2\) en échangeant les rôles de \(B\) et \(C\).
Pythagore. En ajoutant : \(AB^2+AC^2=BC\times BH+BC\times HC=BC\times(BH+HC)=BC^2\).
Hauteur. Dans le triangle \(ABH\), rectangle en \(H\) : \(AH^2=AB^2-BH^2=BC\times BH-BH^2=BH\times(BC-BH)=BH\times HC\).
Aire. L'aire du triangle se calcule de deux façons : \(\dfrac12\,AB\times AC\) (les côtés de l'angle droit) et \(\dfrac12\,BC\times AH\) (base \([BC]\), hauteur \([AH]\)). D'où \(AB\times AC=BC\times AH\).
Figure — Le triangle de l'exemple 1 et sa hauteur
Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 6 et AC = 8 ; son hypoténuse [BC] mesure 10. La hauteur [AH], en or, mesure 4,8 et partage l'hypoténuse en deux segments de longueurs BH = 3,6 et HC = 6,4. Les deux petits triangles ABH et ACH sont eux aussi rectangles, en H.
On fait un schéma, on y reporte les longueurs connues et l'on repère l'angle droit : la hauteur à considérer est celle qui part de son sommet.
- On connaît les deux côtés de l'angle droit : Pythagore donne l'hypoténuse, la relation de l'aire donne la hauteur, puis \(BH=\dfrac{AB^2}{BC}\) et \(CH=\dfrac{AC^2}{BC}\).
- On connaît les deux segments \(BH\) et \(HC\) : \(BC=BH+HC\), \(AH=\sqrt{BH\times HC}\), puis \(AB=\sqrt{BC\times BH}\) et \(AC=\sqrt{BC\times CH}\).
- On connaît l'hypoténuse et un côté : Pythagore donne l'autre côté, et l'on est ramené au premier cas.
Contrôle. On vérifie toujours une relation qui n'a pas servi : par exemple \(BH+HC=BC\), ou \(AH^2=BH\times HC\).
Énoncé. \(ABC\) est rectangle en \(A\) avec \(AB=6\) et \(AC=8\). Calculer \(BC\), \(AH\), \(BH\) et \(CH\).
Solution : \(BC^2=36+64=100\), donc \(BC=10\). La relation de l'aire donne \(AH=\dfrac{AB\times AC}{BC}=\dfrac{48}{10}=4{,}8\).
\(BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{36}{10}=3{,}6\) et \(CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{64}{10}=6{,}4\).
Contrôles : \(BH+CH=3{,}6+6{,}4=10=BC\) ; \(BH\times CH=3{,}6\times 6{,}4=23{,}04\) et \(AH^2=4{,}8^2=23{,}04\).
Énoncé. \(ABC\) est rectangle en \(A\) et \(H\) est le pied de la hauteur issue de \(A\). On sait que \(BH=4\) et \(HC=9\). Calculer \(AH\), \(AB\) et \(AC\).
Solution : \(BC=4+9=13\). \(AH^2=BH\times HC=36\), donc \(AH=6\).
\(AB^2=BC\times BH=13\times 4=52\), donc \(AB=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\). \(AC^2=BC\times CH=13\times 9=117\), donc \(AC=\sqrt{117}=3\sqrt{13}\).
Contrôles : \(AB^2+AC^2=52+117=169=13^2\) ; \(AB\times AC=6\times 13=78\) et \(BC\times AH=13\times 6=78\).
Énoncé. On veut construire à la règle et au compas un segment de longueur \(\sqrt{15}\) (l'unité étant donnée). On trace un segment \([BC]\) de longueur 8, on place \(H\) sur \([BC]\) tel que \(BH=3\), on trace le demi-cercle de diamètre \([BC]\) et la perpendiculaire à \((BC)\) en \(H\), qui coupe le demi-cercle en \(A\). Démontrer que \(AH=\sqrt{15}\).
Solution : Le point \(A\) est sur le cercle de diamètre \([BC]\) : le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\). La droite \((AH)\) est perpendiculaire à \((BC)\) : \(H\) est le pied de la hauteur issue de \(A\).
On peut donc appliquer la relation de la hauteur : \(AH^2=HB\times HC=3\times 5=15\), d'où \(AH=\sqrt{15}\).
De la même façon, on construit \(\sqrt{ab}\) pour deux longueurs \(a\) et \(b\) quelconques, en prenant \(BH=a\) et \(HC=b\). Ici, on obtient aussi \(AB=\sqrt{8\times 3}=2\sqrt6\) et \(AC=\sqrt{8\times 5}=2\sqrt{10}\).
Utiliser ces relations dans un triangle qui n'est pas rectangle. Elles supposent toutes que l'angle en \(A\) est droit ; il faut le savoir ou le démontrer avant de les écrire.
Prendre une autre hauteur. \(H\) est le pied de la hauteur issue du sommet de l'angle droit. Les deux autres hauteurs du triangle sont les côtés \([AB]\) et \([AC]\) eux-mêmes.
Oublier le carré. \(AH^2=HB\times HC\), et non \(AH=HB\times HC\). Avec \(HB=4\) et \(HC=9\), la hauteur vaut 6, non 36.
Se tromper de signe avec les mesures algébriques. \(H\) est entre \(B\) et \(C\) : le produit \(\overline{HB}\cdot\overline{HC}\) est négatif, et c'est son opposé qui est égal à \(AH^2\).
Résumé
\(\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}\) ; \(\|\vec u+\vec v\|\leq\|\vec u\|+\|\vec v\|\).
La droite \(ax+by+c=0\) admet \(\vec n(a\,;b)\) pour vecteur normal.
Par \(A\), de vecteur normal \(\vec n(a\,;b)\) : \(a(x-x_A)+b(y-y_A)=0\).
Elle passe par le milieu de \([AB]\) et admet \(\overrightarrow{AB}\) pour vecteur normal.
\(d=\dfrac{|a\alpha+b\beta+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) pour le point \((\alpha\,;\beta)\).
\(AB^2+AC^2=BC^2\).
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit.
\(AB^2=BC\times BH\) et \(AC^2=CB\times CH\) : chaque côté et son projeté sur l'hypoténuse.
\(AH^2=HB\times HC\) : la hauteur et les deux segments de l'hypoténuse.
\(AB\times AC=BC\times AH\) : deux façons de calculer la même aire.
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