Seconde S · Leçon 11
Polynômes et fractions rationnelles
Exercices corrigés
Problème — Étude complète de $Q(x)=2x^2-x-6$
Problème. On considère $Q(x)=2x^2-x-6$.
Partie A. 1) Vérifier que $2$ est racine de $Q$, puis factoriser $Q(x)$.
Partie B. 2) Résoudre l'inéquation $Q(x)\le0$.
Partie C. 3) Donner la forme canonique de $Q$ et en déduire son minimum, ainsi que la valeur de $x$ pour laquelle il est atteint.
Voir le corrigé
- $Q(2)=8-2-6=0$ : $2$ est bien racine. Coefficients indéterminés ou racine évidente : $Q(x)=(x-2)(2x+3)$ (on vérifie : $2x^2+3x-4x-6=2x^2-x-6$, correct).
- Racines $2$ et $-\dfrac32$, $a=2>0$ : négatif entre les racines. Solution : $x\in\left[-\dfrac32;2\right]$.
- $\alpha=\dfrac14$, $\beta=Q\!\left(\dfrac14\right)=2\times\dfrac1{16}-\dfrac14-6=\dfrac18-\dfrac14-6=-\dfrac{49}{8}=-6{,}125$. Forme canonique : $Q(x)=2\left(x-\dfrac14\right)^2-\dfrac{49}{8}$. Minimum $-\dfrac{49}{8}=-6{,}125$, atteint en $x=\dfrac14$.
Un zéro connu, puis tous les zéros
Soit \(P(x)=x^3-6x^2+11x-6\).
1) Vérifie que 1 est un zéro de \(P\).
2) Factorise \(P(x)\) par \(x-1\), par la méthode de Horner ou par une division euclidienne.
3) Résous l'équation \(P(x)=0\).
Voir le corrigé
1) On remplace \(x\) par 1 : \(P(1)=1-6+11-6=0\). Donc 1 est un zéro de \(P\), et \(P(x)\) est divisible par \(x-1\).
2) Avec la méthode de Horner, les coefficients sont \(1\), \(-6\), \(11\), \(-6\) et \(a=1\). On descend 1 ; puis \(1\times 1=1\) et \(-6+1=-5\) ; \(-5\times 1=-5\) et \(11-5=6\) ; \(6\times 1=6\) et \(-6+6=0\). La dernière ligne est \(1\), \(-5\), \(6\), \(0\) : le reste est nul et le quotient est \(x^2-5x+6\). Donc \(P(x)=(x-1)(x^2-5x+6)\).
3) Un produit est nul lorsque l'un de ses facteurs est nul : \(x=1\), ou \(x^2-5x+6=0\). Le discriminant de ce trinôme vaut \(25-24=1\) ; ses racines sont \(\dfrac{5-1}{2}=2\) et \(\dfrac{5+1}{2}=3\). L'équation a trois solutions : 1, 2 et 3. On peut écrire \(P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\).
Réponse : \(P(1)=0\) ; \(P(x)=(x-1)(x^2-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3)\) ; les solutions de \(P(x)=0\) sont 1, 2 et 3.
Division avec reste et fraction rationnelle
Soit \(A(x)=2x^3+x^2-7x+5\).
1) Calcule \(A(-3)\). Le polynôme \(A(x)\) est-il divisible par \(x+3\) ?
2) Détermine le quotient et le reste de la division euclidienne de \(A(x)\) par \(x+3\).
3) Pour \(x\neq -3\), on pose \(F(x)=\dfrac{A(x)}{x+3}\). Écris \(F(x)\) comme la somme d'un polynôme et d'une fraction dont le numérateur est une constante.
Un coefficient à trouver, puis le signe du polynôme
Soit \(m\) un réel et \(P(x)=x^3+mx^2-4x+4\).
1) Détermine \(m\) pour que 2 soit un zéro de \(P\).
2) Avec cette valeur de \(m\), écris \(P(x)\) comme un produit de trois facteurs du premier degré.
3) Résous l'inéquation \(P(x)\geq 0\).