Géométrie dans l’espace

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Deux droites de l'espace non coplanaires :
a) n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles   b) sont toujours parallèles   c) sont toujours sécantes   d) sont confondues

2) Pour montrer qu'une droite $d$ est parallèle à un plan $\mathcal P$, il suffit de montrer que :
a) $d$ est parallèle à une droite contenue dans $\mathcal P$   b) $d$ est perpendiculaire à $\mathcal P$   c) $d$ ne rencontre aucun point de l'espace   d) $d$ est contenue dans un autre plan

3) Le plan médiateur d'un segment $[AB]$ est l'ensemble des points :
a) équidistants de $A$ et de $B$   b) alignés avec $A$ et $B$   c) situés sur la droite $(AB)$   d) situés au milieu de $[AB]$ uniquement

4) Dans la perspective cavalière, les arêtes cachées sont tracées :
a) en pointillés   b) en trait plein plus épais   c) en couleur   d) elles ne sont pas représentées

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une ONG construit un réservoir d'eau en forme de parallélépipède rectangle pour un village. Dimensions intérieures : $4$ m de longueur, $3$ m de largeur, $2{,}5$ m de hauteur.

Consigne : 1) Calculer le volume du réservoir en m³ puis en litres ($1$ m³ $=1000$ L). 2) Une pompe solaire remplit le réservoir à $250$ L/h. Combien de temps (en heures, puis en jours à raison de $10$ h de pompage utile par jour) faut-il pour le remplir ? 3) Un plan horizontal coupe le réservoir parallèlement à la base, à mi-hauteur ($1{,}25$ m). Quelle est la nature de la section, et quelle fraction du volume total se trouve en dessous ?

Exercice supplémentaire. Un ingénieur d'un chantier de forage représente un réservoir cubique $ABCDEFGH$ ($ABCD$ face du dessous, $EFGH$ face du dessus juste au-dessus, avec $E$ au-dessus de $A$, $F$ au-dessus de $B$, $G$ au-dessus de $C$, $H$ au-dessus de $D$).

1) Les droites $(AB)$ et $(EF)$ sont-elles parallèles, sécantes, ou non coplanaires ?
2) Les droites $(AB)$ et $(CG)$ le sont-elles ?
3) Quelle est la position relative du plan $(ABC)$ et de la droite $(EH)$ ?

Problème.

Partie A. Une pyramide de base carrée $ABCD$ a un côté de base $8$ m et une hauteur de $12$ m, sommet $S$.
1) Calculer le volume de la pyramide (rappel : $V=\dfrac13\times\text{aire base}\times\text{hauteur}$).

Partie B. On coupe la pyramide par un plan parallèle à la base, à une distance de $9$ m du sommet $S$.
2) La section est un carré, homothétique de la base par une homothétie de centre $S$. Quel est le rapport $k$ de cette homothétie (distance au sommet de la section / hauteur totale) ?
3) En déduire le côté du carré-section, puis son aire.
4) En déduire le volume de la petite pyramide comprise entre $S$ et le plan de section (rappel : le volume est multiplié par $k^3$).