Fonctions numériques d’une variable réelle

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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) On considère $f(x)=x^2-4x+1$ définie sur $\mathbb{R}$. $f(3)$ vaut :
a) $-2$   b) $2$   c) $-8$   d) $10$

2) L'image de l'intervalle $[0;4]$ par $f$ est :
a) $[-3;1]$   b) $[-4;1]$   c) $[-3;4]$   d) $[1;4]$

3) $f(-1)$ et $f(1)$ valent respectivement :
a) $6$ et $-2$   b) $-2$ et $6$   c) $6$ et $6$   d) $-2$ et $-2$

4) $f$ est décroissante sur :
a) $]-\infty;2]$   b) $[2;+\infty[$   c) $[0;4]$   d) $\mathbb{R}$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) La fonction $x\mapsto\dfrac1x$ est :
a) paire   b) impaire   c) ni paire ni impaire   d) périodique

2) Le domaine de définition de $x\mapsto\sqrt x$ est :
a) $\mathbb{R}$   b) $[0;+\infty[$   c) $\mathbb{R}^*$   d) $]-\infty;0]$

3) La fonction $x\mapsto x^3$ est :
a) décroissante sur $\mathbb{R}$   b) croissante sur $\mathbb{R}$   c) décroissante sur $\mathbb{R}^+$ seulement   d) ni croissante ni décroissante

4) Soit $f(x)=\sqrt{x-5}$. $f$ se ramène à la fonction racine carrée par :
a) une translation de $5$ vers la droite   b) une translation de $5$ vers la gauche   c) une dilatation de rapport $5$   d) une symétrie

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative de transformation de karité produit des barres de savon. Le coût de production quotidien $C(x)$ (en milliers de francs CFA), pour $x$ centaines de barres produites ($x\in[0;10]$), est modélisé par $C(x)=x^2-6x+50$.

Consigne : 1) Montrer, en comparant directement $C(a)$ et $C(b)$, que $C$ est décroissante sur $[0;3]$. 2) Calculer le coût minimal, atteint en $x=3$. 3) Déterminer l'image de l'intervalle $[0;6]$ par $C$, et interpréter en termes de coût minimal et maximal sur cette plage de production.

Exercice supplémentaire. Une unité de transformation de riz a un coût de production quotidien (en milliers de FCFA) modélisé par $C(x)=x^2-8x+20$ pour $x\in[0;8]$ ($x$ en tonnes traitées).

1) Montrer, en comparant directement $C(a)$ et $C(b)$, que $C$ est décroissante sur $[0;4]$ puis croissante sur $[4;8]$.
2) Calculer le coût minimal.
3) Déterminer l'image de $[0;8]$ par $C$ et interpréter.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un commerçant de tissus achète du tissu en gros. Le prix unitaire $p(x)$ (en FCFA par mètre), en fonction de la quantité $x$ (en dizaines de mètres) achetée, est modélisé par $p(x)=\dfrac{4500}{x}$ pour $x\in[1;15]$ : plus la quantité achetée est grande, plus le prix au mètre est faible.

Consigne : 1) Calculer $p(3)$ et $p(9)$, et interpréter chaque résultat. 2) À quelle fonction de référence $p$ se ramène-t-elle ? En déduire son sens de variation, et vérifier la cohérence avec les deux valeurs de la question 1. 3) Le commerçant veut un prix unitaire de $300$ FCFA/m. Quelle quantité (en mètres) doit-il acheter ?

Exercice supplémentaire. Un maraîcher compare deux formules d'arrosage. Le volume d'eau (en m³) déversé après $x$ heures ($x\ge0$) suit soit $V_1(x)=x$ (débit constant), soit $V_2(x)=\sqrt{x}$ (débit dégressif).

1) Étudier le signe de $V_1(x)-V_2(x)=\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)$ pour $x\in]0;1[$ puis pour $x>1$.
2) En déduire quelle formule utilise le moins d'eau sur la première heure, puis au-delà.
3) Calculer $V_1(4)$ et $V_2(4)$.

Problème. Lors d'une démonstration scientifique dans un lycée, un professeur modélise la trajectoire d'un jet d'eau lancé par une pompe manuelle par la fonction $h(x)=-x^2+6x-5$, où $x$ est la distance horizontale (en mètres) et $h(x)$ la hauteur du jet (en mètres), pour $x\in[1;5]$.

1) Calculer $h(1)$, $h(3)$ et $h(5)$.
2) Montrer, en comparant directement $h(a)$ et $h(b)$, que $h$ est croissante sur $[1;3]$ puis décroissante sur $[3;5]$.
3) En déduire l'image de l'intervalle $[1;5]$ par $h$, et interpréter en termes de hauteur du jet.
4) Le domaine de définition $[1;5]$ est-il symétrique par rapport à $0$ ? $h$ peut-elle être qualifiée de paire ou impaire sur ce domaine ? Justifier.

Problème.

Partie A. Soit $f(x)=\sqrt{x+4}-1$, définie pour $x\ge-4$.
1) Calculer $f(0)$, $f(5)$ et $f(12)$.
2) Montrer que $f$ se ramène à la fonction racine carrée, et donner son sens de variation.

Partie B. Soit $g(x)=\dfrac{1}{x-2}$, définie pour $x\ne2$.
3) Calculer $g(3)$ et $g(-3)$.
4) $g$ est-elle décroissante sur $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ tout entier ? Justifier à l'aide des deux valeurs précédentes.

Partie C. Soit $h(x)=(x-1)^3+2$.
5) Calculer $h(0)$ et $h(2)$.
6) Quel est le sens de variation de $h$ sur $\mathbb{R}$ ? Justifier en la reliant à une fonction de référence.