Seconde S · Leçon 10
Équations et inéquations
Exercices corrigés
Entraînement illimité — Systèmes 2×2
Un nouveau problème est généré à chaque clic sur "Nouveau problème" — aucune limite de tentatives.
Entraînement illimité — Second degré
Un nouveau problème est généré à chaque clic sur "Nouveau problème" — aucune limite de tentatives.
QCM — Résolution de systèmes
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Le système $\begin{cases}y=3x-2\\2x+y=8\end{cases}$ a pour solution :
a) $(2;4)$ b) $(4;2)$ c) $(2;-4)$ d) $(-2;4)$
2) Le système $\begin{cases}x+y=10\\x-y=2\end{cases}$ a pour solution :
a) $(6;4)$ b) $(4;6)$ c) $(8;2)$ d) $(5;5)$
3) Le système $\begin{cases}2x+4y=8\\x+2y=4\end{cases}$ admet :
a) une infinité de solutions b) aucune solution c) l'unique solution $(0;2)$ d) l'unique solution $(4;0)$
4) Le système $\begin{cases}x-y=3\\x-y=5\end{cases}$ admet :
a) aucune solution b) une infinité de solutions c) une solution unique d) la solution $(4;1)$
QCM — Discriminant, racines, signe
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Le discriminant de $3x^2-5x+2$ vaut :
a) $1$ b) $49$ c) $-1$ d) $25$
2) Les racines de $x^2-3x+2=0$ sont :
a) $1$ et $2$ b) $-1$ et $-2$ c) $2$ et $-1$ d) $3$ et $-1$
3) La forme canonique de $x^2-4x+1$ est :
a) $(x-2)^2-3$ b) $(x-2)^2+3$ c) $(x+2)^2-3$ d) $(x-4)^2+1$
4) Le signe de $-x^2+x+2$ pour $x\in\,]-1;2[$ est :
a) positif b) négatif c) nul d) indéterminé
Voir le corrigé
- Réponse : a. $\Delta=(-5)^2-4\times3\times2=25-24=1$.
- Réponse : a. Somme $=3$, produit $=2$ → racines $1$ et $2$.
- Réponse : a. $\alpha=-\dfrac{-4}{2}=2$, $\beta=P(2)=4-8+1=-3$, soit $(x-2)^2-3$.
- Réponse : a. Racines $-1$ et $2$, $a=-1<0$ : signe opposé à $a$ entre les racines, donc positif (on vérifie avec $x=0$ : $-0+0+2=2>0$).
QCM — Déterminant, résolution, inéquations
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Le déterminant du système $\begin{cases}2x+3y=7\\4x+6y=9\end{cases}$ vaut :
a) $0$ b) $12$ c) $-12$ d) $24$
2) Pour ce même système, sachant que $2\times(2x+3y)=4x+6y=14\ne9$, le système admet :
a) aucune solution b) une infinité de solutions c) une solution unique d) exactement deux solutions
3) Le système $\begin{cases}x+3y=11\\2x-y=1\end{cases}$ a pour solution :
a) $(2;3)$ b) $(3;2)$ c) $(2;-3)$ d) $(-2;3)$
4) L'inéquation $2x+y\le6$ partage le plan en :
a) deux demi-plans séparés par la droite $2x+y=6$ b) un cercle c) deux droites parallèles d) une parabole
Situation d'intégration — Tableau en bois d'une menuisière
Exercice 2 — Situation d'intégration
Une menuisière découpe, dans une planche, un tableau rectangulaire de largeur $x$ cm et de longueur $(2x-4)$ cm, avec $x>2$ pour que la longueur reste positive. Elle souhaite que l'aire du tableau soit d'au moins $96$ cm².
Consigne : Exprimer l'aire du tableau en fonction de $x$, écrire l'inéquation traduisant la contrainte, la résoudre, et donner l'ensemble des valeurs de $x$ compatibles avec la contrainte $x>2$.
Exercice supplémentaire — Étude de $R(x)=x^2-2x+5$
Exercice supplémentaire. On considère $R(x)=x^2-2x+5$.
1) Calculer le discriminant de $R$.
2) Que peut-on en conclure sur les racines réelles de $R$ ?
3) Étudier le signe de $R(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ (indication : forme canonique).
Situation d'intégration — Coopérative d'engrais
Exercice 2 — Situation d'intégration
Une coopérative agricole achète de l'engrais NPK et de l'urée. Un premier lot de $5$ sacs de NPK et $3$ sacs d'urée coûte $116\,000$ F. Un second lot de $3$ sacs de NPK et $6$ sacs d'urée coûte $120\,000$ F.
Consigne : En notant $x$ le prix d'un sac de NPK et $y$ le prix d'un sac d'urée, écrire le système traduisant la situation, puis le résoudre par combinaison linéaire pour déterminer le prix de chaque type de sac.
Voir le corrigé
- Système. $\begin{cases}5x+3y=116\,000\\3x+6y=120\,000\end{cases}$
- Combinaison. On multiplie la première équation par $2$ : $10x+6y=232\,000$. En soustrayant la seconde équation : $10x+6y-(3x+6y)=232\,000-120\,000$, soit $7x=112\,000$, donc $x=16\,000$.
- Report. $3(16\,000)+6y=120\,000 \iff 48\,000+6y=120\,000 \iff y=12\,000$.
- Conclusion. Le sac de NPK coûte $16\,000$ F, le sac d'urée coûte $12\,000$ F.
Exercice supplémentaire — Kits scolaires à Diapaga
Exercice supplémentaire. Une coopérative de Diapaga achète des kits scolaires : $\begin{cases}4x+3y=1\,900\\2x+y=800\end{cases}$ modélise le prix $x$ d'un cahier et $y$ d'un stylo (en FCFA).
1) Calculer le déterminant de ce système.
2) Résoudre le système.
3) Le système $\begin{cases}2x+3y=100\\4x+6y=250\end{cases}$ a-t-il une solution unique ? Justifier par son déterminant.
Problème — Transport pour une cérémonie
Problème. Une association organise le transport pour une cérémonie, avec des motos-taxis ($3$ places, $4\,000$ F chacune) et des taxis ($4$ places, $7\,000$ F chacun). Elle dispose d'au plus $6$ motos-taxis et $4$ taxis, doit transporter au moins $30$ personnes, avec un budget maximal de $50\,000$ F. On note $x$ le nombre de motos-taxis et $y$ le nombre de taxis utilisés.
Partie A. 1) Écrire le système de contraintes traduisant la situation.
Partie B. 2) Le couple $(x,y)=(2,4)$ convient-il ? Justifier précisément.
Partie C. 3) Le couple $(x,y)=(6,3)$ convient-il ? Justifier, et calculer le coût total dans ce cas.
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.