Seconde S · Leçon 7
Calcul dans ℝ
Exercices corrigés
QCM — Valeur absolue et encadrement
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Les solutions de $|x-4|=6$ sont :
a) $10$ et $-2$ b) $10$ et $2$ c) $-10$ et $2$ d) $6$ et $-6$
2) L'ensemble des solutions de $|2x+1|\le9$ est :
a) $[-5;4]$ b) $[-4;5]$ c) $[-9;9]$ d) $[-10;8]$
3) Sachant $3{,}1\le\sqrt{10}\le3{,}2$ et $1{,}4\le\sqrt2\le1{,}5$, un encadrement de $\sqrt{20}$ est :
a) $[4{,}34;4{,}8]$ b) $[4{,}3;4{,}7]$ c) $[3{,}1;3{,}2]$ d) $[1{,}4;1{,}5]$
4) L'ensemble des solutions de $|x-3|>5$ est :
a) $\,]-\infty;-2[\,\cup\,]8;+\infty[$ b) $[-2;8]$ c) $\,]8;+\infty[$ d) $\,]-\infty;-2[$
Voir le corrigé
- Réponse : a. $x-4=6$ ou $x-4=-6$, soit $x=10$ ou $x=-2$.
- Réponse : a. $-9\le2x+1\le9 \iff -10\le2x\le8 \iff -5\le x\le4$.
- Réponse : a. Réels positifs : $3{,}1\times1{,}4\le\sqrt{10}\times\sqrt2\le3{,}2\times1{,}5$, soit $4{,}34\le\sqrt{20}\le4{,}8$.
- Réponse : a. $x-3>5$ ou $x-3<-5$, soit $x>8$ ou $x<-2$.
Situation d'intégration — Menuisier
Exercice 2 — Situation d'intégration
Un menuisier fabrique des portes de largeur nominale $90$ cm, avec une tolérance de fabrication de $\pm1{,}5$ cm : une porte de largeur $x$ (en cm) est acceptée si et seulement si $|x-90|\le1{,}5$. Il mesure deux portes en fin de journée : la première a une largeur de $91{,}2$ cm, la seconde de $88{,}3$ cm.
Consigne : Écrire l'inéquation traduisant la tolérance de fabrication. Vérifier, en calculant $|x-90|$ pour chaque porte, laquelle des deux portes est acceptée et laquelle doit être refusée. Conclure.
Voir le corrigé
- Inéquation de tolérance. $|x-90|\le1{,}5$.
- Première porte. $|91{,}2-90|=1{,}2\le1{,}5$ : la porte est acceptée.
- Seconde porte. $|88{,}3-90|=1{,}7>1{,}5$ : la porte est refusée.
- Conclusion. Sur les deux portes contrôlées, une seule respecte la tolérance de fabrication ; la seconde doit être reprise avant livraison.
Exercice supplémentaire — Bassin piscicole
Exercice supplémentaire. Un pisciculteur doit maintenir la température de son bassin à $26°C$ à $\pm1{,}5°C$ près.
1) Écrire cette contrainte avec une valeur absolue, $x$ désignant la température.
2) Résoudre cette inéquation et donner l'intervalle des températures acceptables.
3) Si de plus le taux d'oxygène $y$ vérifie $5\le y\le8$ (mg/L), encadrer $x+y$.