Seconde L · Leçon 9
Tracé de courbes
Exercices corrigés
QCM — Les cinq fonctions de référence
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) La fonction $x\mapsto\dfrac1x$ est :
a) paire b) impaire c) ni paire ni impaire d) périodique
2) Le domaine de définition de $x\mapsto\sqrt x$ est :
a) $\mathbb{R}$ b) $[0;+\infty[$ c) $\mathbb{R}^*$ d) $]-\infty;0]$
3) La fonction $x\mapsto x^3$ est :
a) décroissante sur $\mathbb{R}$ b) croissante sur $\mathbb{R}$ c) décroissante sur $\mathbb{R}^+$ seulement d) ni croissante ni décroissante
4) Soit $f(x)=\sqrt{x-5}$. $f$ se ramène à la fonction racine carrée par :
a) une translation de $5$ vers la droite b) une translation de $5$ vers la gauche c) une dilatation de rapport $5$ d) une symétrie
Voir le corrigé
- Réponse : b. $\dfrac{1}{-x}=-\dfrac1x$ : fonction impaire.
- Réponse : b. La racine carrée n'est définie que pour un nombre positif ou nul.
- Réponse : b. La fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier.
- Réponse : a. $\sqrt{x-5}$ : translation horizontale de $5$ vers la droite (définie pour $x\ge5$).
Situation d'intégration — Achat de tissu en gros
Exercice 2 — Situation d'intégration
Un commerçant de tissus achète du tissu en gros. Le prix unitaire $p(x)$ (en FCFA par mètre), en fonction de la quantité $x$ (en dizaines de mètres) achetée, est modélisé par $p(x)=\dfrac{4500}{x}$ pour $x\in[1;15]$ : plus la quantité achetée est grande, plus le prix au mètre est faible.
Consigne : 1) Calculer $p(3)$ et $p(9)$, et interpréter chaque résultat. 2) À quelle fonction de référence $p$ se ramène-t-elle ? En déduire son sens de variation, et vérifier la cohérence avec les deux valeurs de la question 1. 3) Le commerçant veut un prix unitaire de $300$ FCFA/m. Quelle quantité (en mètres) doit-il acheter ?
Voir le corrigé
- $p(3)=4500/3=1500$ FCFA/m pour $30$ m achetés. $p(9)=4500/9=500$ FCFA/m pour $90$ m achetés.
- $p(x)=4500\times\dfrac1x$ se ramène à la fonction inverse par changement d'échelle : décroissante sur $]0;+\infty[$, donc sur $[1;15]$. Cohérence : $3<9$ et $p(3)=1500>p(9)=500$ (ordre inversé), conforme à une fonction décroissante.
- $p(x)=300 \iff 4500/x=300 \iff x=15$, soit $150$ m (borne du domaine).
Exercice supplémentaire — Arrosage
Exercice supplémentaire. Un maraîcher compare deux formules d'arrosage. Le volume d'eau (en m³) déversé après $x$ heures ($x\ge0$) suit soit $V_1(x)=x$ (débit constant), soit $V_2(x)=\sqrt{x}$ (débit dégressif).
1) Étudier le signe de $V_1(x)-V_2(x)=\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)$ pour $x\in]0;1[$ puis pour $x>1$.
2) En déduire quelle formule utilise le moins d'eau sur la première heure, puis au-delà.
3) Calculer $V_1(4)$ et $V_2(4)$.
Problème — Trois fonctions déplacéesExercice supplémentaire — Arrosage
Problème.
Partie A. Soit $f(x)=\sqrt{x+4}-1$, définie pour $x\ge-4$.
1) Calculer $f(0)$, $f(5)$ et $f(12)$.
2) Montrer que $f$ se ramène à la fonction racine carrée, et donner son sens de variation.
Partie B. Soit $g(x)=\dfrac{1}{x-2}$, définie pour $x\ne2$.
3) Calculer $g(3)$ et $g(-3)$.
4) $g$ est-elle décroissante sur $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ tout entier ? Justifier à l'aide des deux valeurs précédentes.
Partie C. Soit $h(x)=(x-1)^3+2$.
5) Calculer $h(0)$ et $h(2)$.
6) Quel est le sens de variation de $h$ sur $\mathbb{R}$ ? Justifier en la reliant à une fonction de référence.