Seconde L · Leçon 9
Tracé de courbes
Ce que dit le programme officiel (2 points)
- Tracer point par point les courbes de x ↦ x², x³, 1/x, √x, ax², ax³ (a réel non nul), avec la calculatrice
- Comparer dans un même repère x ↦ x² et x ↦ √x, puis x ↦ ax² et x ↦ ax³
Source : Programme de mathématiques, séries L (Sénégal), octobre 2006
Fonctions de référence : carré, cube, racine carrée, inverse
Sa courbe est une droite de coefficient directeur \(a\) et d'ordonnée à l'origine \(b\). Si \(a>0\) : croissante sur \(\mathbb R\). Si \(a<0\) : décroissante. Si \(a=0\) : constante.
Pour tracer la droite connaissant un point \(A(x_0;y_0)\) et le coefficient directeur \(a\) : partir de \(A\), avancer de \(1\) en abscisse et de \(a\) en ordonnée pour obtenir un second point.
Courbe en forme de parabole, minimum \(0\) atteint en \(x=0\). Décroissante sur \(]-\infty;0]\), croissante sur \([0;+\infty[\). Fonction paire.
Tracé point par point des courbes de x², x³, 1/x, √x, ax² et ax³
Pour tracer la courbe d'une fonction, la méthode la plus sûre consiste à calculer un tableau de valeurs, à placer les points puis à les relier par une courbe régulière. On l'applique ici aux fonctions de référence, avec la calculatrice, et l'on compare leurs courbes pour en retenir l'allure.
1) Chercher l'ensemble de définition : \(x\mapsto\dfrac1x\) n'est pas définie en 0, \(x\mapsto\sqrt x\) seulement pour \(x\ge0\).
2) Choisir des valeurs de \(x\) régulièrement espacées, et quelques valeurs proches des points délicats (près de 0 pour \(\frac1x\)).
3) Calculer les images à la calculatrice, arrondies au dixième, et les ranger dans un tableau.
4) Choisir les unités pour que tous les points tiennent sur la feuille, placer les points et les relier à main levée par une courbe régulière (pas par des segments). Utiliser les symétries : \(x^2\) donne la même valeur en \(x\) et \(-x\) ; \(x^3\) et \(\frac1x\) des valeurs opposées.
- \(x\mapsto x^2\) : parabole de sommet \(O\), symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; \(x\mapsto ax^2\) a la même forme, tournée vers le haut si \(a\gt0\), vers le bas si \(a\lt0\), d'autant plus resserrée que \(|a|\) est grand.
- \(x\mapsto x^3\) : courbe symétrique par rapport à l'origine, croissante ; \(x\mapsto ax^3\) est croissante si \(a\gt0\), décroissante si \(a\lt0\).
- \(x\mapsto\dfrac1x\) : hyperbole formée de deux branches, symétrique par rapport à l'origine ; les axes sont asymptotes.
- \(x\mapsto\sqrt x\) : demi-parabole couchée, partant de l'origine, croissante sur \([0\,;+\infty[\).
Sur \([0\,;1]\), on a \(x^2\le\sqrt x\) ; pour \(x\ge1\), \(x^2\ge\sqrt x\). Les deux courbes se coupent en \((0\,;0)\) et \((1\,;1)\) et sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite \(y=x\) (pour \(x\ge0\)).
Énoncé. Dresser le tableau de valeurs de \(x\mapsto x^3\) pour \(x\) allant de \(-2\) à 2 avec un pas de 0,5, puis tracer la courbe.
Solution : valeurs arrondies au dixième.
| \(x\) | \(x^3\) | \(x\) | \(x^3\) |
|---|---|---|---|
| \(-2\) | \(-8\) | 0,5 | 0,1 |
| \(-1{,}5\) | \(-3{,}4\) | 1 | 1 |
| \(-1\) | \(-1\) | 1,5 | 3,4 |
| \(-0{,}5\) | \(-0{,}1\) | 2 | 8 |
| 0 | 0 |
Les images de deux nombres opposés sont opposées : la courbe est symétrique par rapport à l'origine. On choisit par exemple 2 cm pour une unité en abscisse et 0,5 cm par unité en ordonnée, puis on relie les points par une courbe régulière, très plate près de 0.
Énoncé. a) Calculer \(x^2\) et \(\sqrt x\) pour \(x\) égal à 0 ; 0,25 ; 1 ; 2 ; 4, et comparer. b) Comparer les courbes de \(x\mapsto\frac12x^2\), \(x\mapsto 2x^2\) et \(x\mapsto -2x^2\).
Solution : a) Pour 0,25 : \(x^2=0{,}0625\) et \(\sqrt x=0{,}5\) ; pour 2 : \(4\) et \(1{,}41\) ; pour 4 : 16 et 2. Les valeurs sont égales en 0 et en 1. Entre 0 et 1, la racine carrée est au-dessus ; au-delà de 1, c'est le carré.
b) En \(x=2\) : \(\frac12x^2=2\), \(2x^2=8\), \(-2x^2=-8\). Les trois courbes sont des paraboles de sommet \(O\) ; celle de \(2x^2\) est plus resserrée que celle de \(\frac12x^2\) ; celle de \(-2x^2\) est la symétrique de celle de \(2x^2\) par rapport à l'axe des abscisses.
Figure — Les courbes de x² et de √x
Dans un même repère orthonormal, la parabole de x², en bleu, et la courbe de √x, en or. Elles se coupent en (0 ; 0) et (1 ; 1) ; entre 0 et 1, la courbe de √x est au-dessus. Elles sont symétriques par rapport à la droite y = x, en pointillés.
Relier les points par des segments ou relier les deux branches de \(\frac1x\). La courbe est régulière ; et pour \(\frac1x\), il n'y a aucun point d'abscisse 0 : les deux branches restent séparées.
Prendre des valeurs interdites. \(\sqrt{-1}\) n'existe pas dans \(\mathbb R\) : la courbe de la racine carrée commence en 0. La calculatrice affiche alors une erreur, ce qui est normal.
Résumé
Ensemble de définition, tableau de valeurs, points, courbe régulière ; utiliser les symétries.
\(a\gt0\) ou \(a\lt0\) fixe le sens ; \(|a|\) grand resserre la courbe.
Se coupent en \((0\,;0)\) et \((1\,;1)\) ; symétriques par rapport à \(y=x\).