Seconde L · Leçon 2
Situations de proportionnalité
Ce que dit le programme officiel (4 points)
- Pourcentages : augmentation et diminution de t %, taux d’intérêt, réduction, taxe
- Échelles : distance sur le plan = échelle × distance réelle
- Mouvement uniforme : distance = vitesse × durée
- Proportionnalité et fonction linéaire ; quatrième proportionnelle ; représenter et interpréter graphiquement une situation de proportionnalité
Source : Programme de mathématiques, séries L (Sénégal), octobre 2006
Proportionnalité et pourcentages
Deux grandeurs sont proportionnelles s'il existe un réel \(a\) (le coefficient de proportionnalité) tel que la seconde s'obtienne toujours en multipliant la première par \(a\) : c'est la fonction \(x \mapsto ax\), dont la représentation graphique est une droite passant par l'origine.
Un pourcentage \(t\,\%\) correspond au coefficient de proportionnalité \(\dfrac{t}{100}\). Augmenter une quantité de \(t\,\%\) revient à la multiplier par \(1+\dfrac{t}{100}\) ; la diminuer de \(t\,\%\) revient à la multiplier par \(1-\dfrac{t}{100}\).
Exemple. Un article à \(8\,000\) F subit une remise de \(15\,\%\). Nouveau prix : \(8\,000\times(1-0{,}15) = 8\,000\times0{,}85 = 6\,800\) F.
Proportionnalité : quatrième proportionnelle, échelles, mouvement uniforme, fonction linéaire
Le prix payé au marché, une remise en pourcentage, la distance lue sur une carte, le temps d'un trajet en car : toutes ces situations reposent sur la proportionnalité. Reconnaître deux grandeurs proportionnelles et savoir calculer avec leur coefficient permet de résoudre rapidement beaucoup de problèmes de la vie courante.
Deux grandeurs \(x\) et \(y\) sont proportionnelles s'il existe un nombre \(k\), le coefficient de proportionnalité, tel que \(y=kx\) pour tous les couples de valeurs. La fonction \(x\mapsto kx\) est une fonction linéaire ; sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine.
Quatrième proportionnelle. Si \(\dfrac{y_1}{x_1}=\dfrac{y_2}{x_2}\), on connaît trois nombres et l'on cherche le quatrième : \(y_2=\dfrac{y_1\times x_2}{x_1}\) (« produit en croix »).
Pourcentages. Augmenter une quantité de \(t\,\%\), c'est la multiplier par \(1+\dfrac{t}{100}\) ; la diminuer de \(t\,\%\), c'est la multiplier par \(1-\dfrac{t}{100}\).
Échelle. distance sur le plan \(=\) échelle \(\times\) distance réelle (dans la même unité). Mouvement uniforme. distance \(=\) vitesse \(\times\) durée.
1) Dans un tableau, calculer les quotients \(\dfrac yx\) : s'ils sont tous égaux, il y a proportionnalité, et ce quotient est le coefficient. Sur un graphique, les points doivent être alignés avec l'origine.
2) Pour une quatrième proportionnelle, écrire l'égalité des quotients et faire le produit en croix.
3) Pour un pourcentage, utiliser le coefficient multiplicateur ; pour deux évolutions successives, multiplier les coefficients (on n'additionne pas les pourcentages).
4) Pour une échelle ou une vitesse, convertir d'abord dans la même unité (centimètres, mètres, kilomètres ; heures, minutes).
Énoncé. a) 5 kg de riz coûtent 3 750 F. Combien coûtent 8 kg ? b) Un article à 12 000 F augmente de 15 %, puis baisse de 15 %. Quel est son prix final ? c) Une somme de 25 000 F est placée à 8 % par an : combien vaut-elle après un an, après deux ans (intérêts ajoutés au capital) ?
Solution : a) Le prix est proportionnel à la masse : \(\dfrac{3750\times8}{5}=6000\) F.
b) Après la hausse : \(12\,000\times1{,}15=13\,800\) F ; après la baisse : \(13\,800\times0{,}85=11\,730\) F. Le prix final est inférieur au prix de départ : le coefficient global vaut \(1{,}15\times0{,}85=0{,}9775\), soit une baisse de 2,25 %.
c) Après un an : \(25\,000\times1{,}08=27\,000\) F ; après deux ans : \(27\,000\times1{,}08=29\,160\) F.
Énoncé. a) Sur une carte à l'échelle \(\dfrac{1}{50\,000}\), deux villages sont à 3 cm l'un de l'autre. Quelle est la distance réelle ? Quelle longueur représente sur la carte une route de 4,2 km ? b) Un car parcourt 45 km en 36 minutes à vitesse constante. Calculer sa vitesse en km/h, puis la durée d'un trajet de 120 km.
Solution : a) Distance réelle : \(3\times50\,000=150\,000\) cm, soit 1,5 km. Pour la route : \(4{,}2\) km \(=420\,000\) cm, et \(\dfrac{420\,000}{50\,000}=8{,}4\) cm.
b) 36 min \(=0{,}6\) h, donc \(v=\dfrac{45}{0{,}6}=75\) km/h. Pour 120 km : durée \(\dfrac{120}{75}=1{,}6\) h, soit 1 h 36 min (car \(0{,}6\times60=36\)).
Figure — La distance parcourue est proportionnelle à la durée
La distance d parcourue par le car de l'exemple 2 en fonction de la durée t (en heures) : d = 75t. Les points (0,6 ; 45), (1,6 ; 120) et (2,5 ; 187,5) sont alignés avec l'origine, sur la droite en bleu : c'est la représentation d'une fonction linéaire.
Additionner des pourcentages successifs. Une hausse de 15 % suivie d'une baisse de 15 % ne ramène pas au prix de départ : on multiplie les coefficients \(1{,}15\) et \(0{,}85\).
Mélanger les unités. Avec une échelle \(\frac1{50\,000}\), 3 cm sur la carte font \(150\,000\) cm, et non 150 000 km. De même, 36 minutes ne font pas 0,36 heure mais 0,6 heure.
Voir de la proportionnalité partout. Le prix d'une course de taxi avec une prise en charge fixe n'est pas proportionnel à la distance : sa droite ne passe pas par l'origine (c'est une fonction affine).
Résumé
\(y=kx\) ; graphique : droite passant par l'origine ; quatrième proportionnelle par produit en croix.
Hausse de \(t\,\%\) : \(\times\left(1+\frac t{100}\right)\) ; baisse : \(\times\left(1-\frac t{100}\right)\).
distance sur le plan \(=\) échelle \(\times\) distance réelle ; distance \(=\) vitesse \(\times\) durée.