Seconde L · Leçon 5
Lectures graphiques
Ce que dit le programme officiel (3 points)
- Représentation graphique d’une situation décrite par un tableau de données (températures, précipitations, prix, consommation, déplacements)
- Interpréter une représentation graphique ; retrouver des données ; émettre des conjectures
- Exemples d’interpolation linéaire à l’aide d’un graphique ou d’un tableau de proportionnalité
Source : Programme de mathématiques, séries L (Sénégal), octobre 2006
Lecture graphique et représentations d'une fonction
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Voir les offresTracé graphique, tableau de données numériques, formule explicite, ou simples touches d'une calculatrice : ce sont quatre façons différentes de décrire la même fonction. Savoir passer de l'une à l'autre est la compétence centrale de ce chapitre.
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Voir les offresUne fonction est croissante sur un intervalle si, quand \(x\) augmente, \(f(x)\) augmente aussi (l'ordre est conservé) ; décroissante si \(f(x)\) diminue quand \(x\) augmente (l'ordre est inversé) ; constante si \(f(x)\) ne change pas. L'étude du sens de variation se fait toujours de façon directe, en comparant deux images — jamais via une notion de limite, hors programme à ce niveau.
Une fonction est paire si sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (\(f(-x)=f(x)\)), impaire si elle est symétrique par rapport à l'origine (\(f(-x)=-f(x)\)).
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
Représentations graphiques (bâtons, circulaire, histogramme)
Diagramme en bâtons : une barre par valeur, hauteur = effectif. Diagramme circulaire : secteurs proportionnels aux effectifs. Histogramme : pour des données en classes, l'aire de chaque rectangle (pas seulement sa hauteur) doit être proportionnelle à l'effectif de la classe — attention si les classes n'ont pas toutes la même largeur.
Figure — Diagramme en bâtons (nombre de frères et sœurs)
La barre la plus haute (valeur 1, effectif 7) donne le mode directement.
Lectures graphiques : tableau de données, conjectures, interpolation linéaire
Un relevé de températures, l'évolution d'un prix ou d'une population se présentent souvent sous forme de tableau. Un graphique rend la situation visible d'un coup d'œil : on y lit des valeurs, on y repère des tendances. Pour estimer une valeur entre deux mesures, on utilise l'interpolation linéaire, qui revient à joindre deux points par un segment.
À partir d'un tableau de valeurs \((x_i\,;y_i)\), on place les points dans un repère en choisissant des unités adaptées sur chaque axe (pas forcément les mêmes). Pour une grandeur mesurée à intervalles réguliers (heures, années), on joint souvent les points par des segments : on obtient une courbe polygonale.
Lire une valeur, c'est partir de l'abscisse, monter jusqu'à la courbe, puis lire l'ordonnée ; ou inversement. Une lecture graphique est approchée : on donne la précision permise par les graduations.
Interpréter, c'est décrire en mots : « la température augmente de 6 h à 15 h, atteint un maximum de 35 °C, puis diminue ». Une conjecture sur l'évolution future reste une supposition.
Si l'on connaît les valeurs \(y_0\) et \(y_1\) d'une grandeur en \(x_0\) et \(x_1\), on estime sa valeur en un \(x\) compris entre \(x_0\) et \(x_1\) en supposant qu'elle varie de façon affine sur cet intervalle :
\[y\approx y_0+\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\,(y_1-y_0).\]Graphiquement, on lit l'ordonnée du point d'abscisse \(x\) sur le segment qui joint \((x_0\,;y_0)\) et \((x_1\,;y_1)\). C'est un calcul de proportionnalité : l'accroissement de \(y\) est proportionnel à l'accroissement de \(x\). Hors de l'intervalle, on parle d'extrapolation, beaucoup moins sûre.
1) Repérer les deux mesures qui encadrent la valeur cherchée.
2) Calculer la fraction de l'intervalle parcourue : \(\dfrac{x-x_0}{x_1-x_0}\).
3) Ajouter à \(y_0\) la même fraction de l'écart \(y_1-y_0\). Contrôler que le résultat est bien entre \(y_0\) et \(y_1\).
Énoncé. Relevé d'une journée : 6 h : 22 °C ; 9 h : 27 °C ; 12 h : 33 °C ; 15 h : 35 °C ; 18 h : 29 °C. Décrire l'évolution, estimer la température à 10 h 30 et à 16 h, puis l'heure à laquelle il fait 30 °C l'après-midi.
Solution : La température monte de 6 h à 15 h (13 °C de hausse), atteint son maximum relevé de 35 °C à 15 h, puis baisse. À 10 h 30, à mi-chemin entre 9 h et 12 h : \(27+\dfrac{1{,}5}{3}\times(33-27)=30\) °C. À 16 h : \(35+\dfrac13\times(29-35)=33\) °C.
Entre 15 h et 18 h, la température passe de 35 à 29 °C ; elle vaut 30 °C quand elle a baissé de 5 °C sur 6, soit après \(\dfrac56\times3=2{,}5\) h : vers 17 h 30.
Figure — Courbe des températures et interpolation
Les relevés de l'exemple 1 placés dans un repère (heures en abscisse, degrés en ordonnée) et joints par des segments, en bleu. Le point en or, d'abscisse 10,5, est lu sur le segment qui joint (9 ; 27) et (12 ; 33) : il donne l'estimation de 30 °C à 10 h 30.
Énoncé. Une région comptait 12,5 millions d'habitants en 2010 et 16 millions en 2020. Estimer la population en 2016 par interpolation linéaire. Que donnerait la même méthode pour 2025 ?
Solution : En 10 ans, la population augmente de 3,5 millions, soit 0,35 million par an si l'évolution est affine. En 2016 : \(12{,}5+6\times0{,}35=14{,}6\) millions.
Pour 2025 : \(12{,}5+15\times0{,}35=17{,}75\) millions. C'est une extrapolation (2025 est hors de l'intervalle 2010–2020) : elle suppose que la tendance continue, ce que rien ne garantit.
Lire une valeur au hasard des graduations. On précise toujours les unités et la précision de la lecture ; une lecture n'est pas une valeur exacte.
Confondre interpolation et extrapolation. Entre deux mesures, l'estimation est raisonnable ; au-delà, la tendance peut changer (saison des pluies, crise économique), et l'estimation peut être très fausse.
Résumé
De l'abscisse à la courbe, puis à l'ordonnée ; donner la précision.
\(y\approx y_0+\dfrac{x-x_0}{x_1-x_0}(y_1-y_0)\) pour \(x\) entre \(x_0\) et \(x_1\).
Hors de l'intervalle des mesures : simple supposition sur la tendance.