Seconde L · Leçon 4
Droites du plan
Ce que dit le programme officiel (4 points)
- Repères orthogonaux (repère orthonormal) ; placer un point, lire ses coordonnées
- Coefficient directeur d’une droite ; équations cartésiennes de droites (deux points ; un point et le coefficient directeur)
- Droites parallèles, droites perpendiculaires à partir des coefficients directeurs
- Distance de deux points ; application du théorème de Pythagore
Source : Programme de mathématiques, séries L (Sénégal), octobre 2006
Droites : représentation paramétrique, équation cartésienne, parallélisme, orthogonalité
Un vecteur directeur d'une droite \(d\) est un vecteur non nul colinéaire à \(d\). Si \(A(x_A;y_A)\in d\) et \(\vec u(a;b)\) est un vecteur directeur, un point \(M(x;y)\) appartient à \(d\) si et seulement s'il existe \(t\in\mathbb{R}\) tel que :
\[ \begin{cases} x = x_A + ta \\ y = y_A + tb \end{cases} \]C'est une représentation paramétrique de \(d\).
En éliminant \(t\), on obtient une équation cartésienne de la forme \(\alpha x+\beta y+\gamma=0\), avec \(\vec u(-\beta;\alpha)\) vecteur directeur. Si \(\beta\ne0\), on peut écrire \(y=mx+p\) avec \(m=-\alpha/\beta\) le coefficient directeur : \(\vec u(1;m)\) est alors un vecteur directeur.
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Voir les offresDroites dans un repère : coefficient directeur, droites parallèles et perpendiculaires, distance de deux points
Dans un repère, une droite non verticale se décrit par un seul nombre, son coefficient directeur, et un point. Ce nombre suffit pour savoir si deux droites sont parallèles ou perpendiculaires. Avec les coordonnées, on calcule aussi des distances, et le théorème de Pythagore permet de reconnaître un triangle rectangle.
On se place dans un repère orthonormal. Soient \(A(x_A\,;y_A)\) et \(B(x_B\,;y_B)\) avec \(x_A\neq x_B\). Le coefficient directeur de la droite \((AB)\) est
\[m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.\]La droite \((AB)\) a une équation de la forme \(y=mx+p\) ; \(p\) est l'ordonnée à l'origine (ordonnée du point d'abscisse 0). La droite passant par \(A\) de coefficient directeur \(m\) a pour équation \(y=m(x-x_A)+y_A\). Si \(x_A=x_B\), la droite est verticale, d'équation \(x=x_A\).
Quand \(x\) augmente de 1, \(y\) augmente de \(m\) : si \(m\gt0\) la droite « monte », si \(m\lt0\) elle « descend », si \(m=0\) elle est horizontale.
- Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
- Dans un repère orthonormal, deux droites de coefficients directeurs \(m\) et \(m'\) sont perpendiculaires si et seulement si \(m\times m'=-1\).
- Distance de deux points : \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\) ; cette formule vient du théorème de Pythagore.
Théorème de Pythagore et réciproque. Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\) si et seulement si \(BC^2=AB^2+AC^2\).
1) Pour une équation de \((AB)\) : calculer \(m\), puis \(p\) en remplaçant \(x\) et \(y\) par les coordonnées de \(A\) dans \(y=mx+p\). Vérifier avec \(B\).
2) Parallèle à une droite de coefficient \(m\) passant par \(C\) : même \(m\). Perpendiculaire : coefficient \(-\dfrac1m\).
3) Point d'intersection de deux droites \(y=mx+p\) et \(y=m'x+p'\) (avec \(m\neq m'\)) : résoudre \(mx+p=m'x+p'\).
Énoncé. On donne \(A(1\,;3)\), \(B(3\,;7)\) et \(C(0\,;-2)\). Déterminer une équation de \((AB)\), de la parallèle \(d\) à \((AB)\) passant par \(C\), et de la perpendiculaire \(d'\) à \((AB)\) passant par \(C\). Calculer \(AB\).
Solution : \(m=\dfrac{7-3}{3-1}=2\). Avec \(A\) : \(3=2\times1+p\), d'où \(p=1\) : \((AB) : y=2x+1\) (contrôle : \(2\times3+1=7\)). La droite \(d\) a le même coefficient et passe par \(C\), d'ordonnée à l'origine \(-2\) : \(d : y=2x-2\).
Pour \(d'\) : coefficient \(-\dfrac12\), car \(2\times\left(-\dfrac12\right)=-1\), d'où \(d' : y=-\dfrac12x-2\). Enfin \(AB=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5\).
Énoncé. Montrer de deux façons que le triangle de sommets \(A(0\,;0)\), \(B(4\,;2)\), \(C(1\,;-2)\) est rectangle en \(A\).
Solution : Coefficients directeurs : \((AB)\) a pour coefficient \(\dfrac24=\dfrac12\) et \((AC)\) a pour coefficient \(\dfrac{-2}{1}=-2\). Leur produit vaut \(-1\) : les droites sont perpendiculaires.
Avec les distances : \(AB^2=16+4=20\), \(AC^2=1+4=5\), \(BC^2=3^2+4^2=25\). Comme \(20+5=25\), la réciproque du théorème de Pythagore montre que le triangle est rectangle en \(A\).
Figure — Une droite, sa parallèle et sa perpendiculaire
La droite (AB) d'équation y = 2x + 1, en bleu, passant par A(1 ; 3) et B(3 ; 7). La parallèle y = 2x − 2, en gris, et la perpendiculaire y = −x/2 − 2, en or, passent toutes deux par C(0 ; −2). Le repère est orthonormal : l'angle droit se voit sur la figure.
Inverser le quotient. Le coefficient directeur est « variation des \(y\) sur variation des \(x\) », pas l'inverse : \(\dfrac{3-1}{7-3}=\dfrac12\) serait faux pour \((AB)\).
Oublier le signe pour la perpendiculaire. Le coefficient d'une perpendiculaire à une droite de coefficient 2 est \(-\dfrac12\), et non \(\dfrac12\). La règle \(mm'=-1\) suppose un repère orthonormal.
Résumé
\(m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\) ; équation \(y=mx+p\).
Parallèles : même \(m\). Perpendiculaires (repère orthonormal) : \(mm'=-1\).
\(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\) ; Pythagore pour un angle droit.