Seconde L · Leçon 1
Calcul dans ℝ
Ce que dit le programme officiel (5 points)
- Calculs élémentaires sur les fractions et sur les radicaux ; simplifier une expression contenant des radicaux
- Écritures littérales : égalités remarquables (a + b)(a − b), (a ± b)², (a + b)³, a³ − b³, a³ + b³ ; développer, réduire, factoriser
- Valeur absolue : résoudre |ax + b| = |cx + d|, |x| ≤ a, |x| ≥ a
- Intervalles de ℝ
- Équations et inéquations du premier degré ; systèmes d’inéquations à une inconnue ; traduire des problèmes de la vie courante
Source : Programme de mathématiques, séries L (Sénégal), octobre 2006
Calcul littéral : développement, factorisation, identités remarquables
Les identités du troisième degré ne sont pas au programme.
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
Soit \(P(x)\) un polynôme et \(a\) un réel. On admet :
\[ P(a)=0 \iff \text{il existe un polynôme } Q(x) \text{ tel que } P(x)=(x-a)Q(x). \]Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresCalcul avec les radicaux
La diagonale d'un carré de côté 1 mesure \(\sqrt2\), nombre qui ne s'écrit ni comme un décimal ni comme une fraction. Pour calculer avec de tels nombres sans les remplacer par des valeurs approchées, on garde le symbole \(\sqrt{\phantom{x}}\) et l'on applique quelques règles précises. Bien utilisées, elles permettent de simplifier une écriture, de comparer deux nombres et de remplacer une lettre par une valeur exacte.
Soit \(a\) un réel positif ou nul. La racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt a\), est l'unique réel positif ou nul dont le carré est \(a\) :
\[\sqrt a\geq 0\qquad\text{et}\qquad(\sqrt a)^2=a.\]Le symbole \(\sqrt{\phantom{x}}\) s'appelle le radical et le nombre placé dessous le radicande. Un nombre strictement négatif n'a pas de racine carrée.
Racine d'un carré. Pour tout réel \(a\), positif ou négatif,
\[\sqrt{a^2}=|a|.\]En effet \(|a|\) est positif et son carré est \(a^2\). Ainsi \(\sqrt{(-3)^2}=\sqrt9=3\), et non \(-3\).
Pour tous réels \(a\) et \(b\) positifs ou nuls :
- produit : \(\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b\) ;
- quotient : si \(b\neq 0\), \(\sqrt{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\).
Relation à connaître. Pour tout réel \(a\) et tout réel \(b\geq 0\),
\[\sqrt{a^2\,b}=|a|\,\sqrt b.\]Elle sert à « sortir » un carré du radical : \(\sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=6\sqrt2\).
Aucune règle pour la somme. En général \(\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b\) : par exemple \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\), alors que \(\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7\).
Comparaison. Deux réels positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés : si \(0\leq x\) et \(0\leq y\), alors \(x\lt y\) équivaut à \(x^2\lt y^2\).
Figure — Construire deux racines carrées sur une droite graduée
La diagonale du carré de côté 1, en or, mesure √2 : reportée au compas sur la droite graduée, elle donne le point d'abscisse √2, voisin de 1,41. La diagonale du rectangle de côtés 2 et 1, en bleu, mesure √5 : elle donne le point d'abscisse √5, voisin de 2,24. Ces longueurs viennent du théorème de Pythagore.
Simplifier un radical. On cherche le plus grand carré (4, 9, 16, 25, 36…) qui divise le radicande, puis on applique \(\sqrt{a^2\,b}=|a|\sqrt b\).
Réduire une somme. On simplifie d'abord chaque radical ; on regroupe ensuite les termes qui ont le même radicande, comme on regroupe des termes en \(x\) : \(5\sqrt2-6\sqrt2=-\sqrt2\).
Rendre rationnel un dénominateur. Si le dénominateur est \(\sqrt b\), on multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt b\). S'il est de la forme \(\sqrt a-\sqrt b\) ou \(\sqrt a-c\), on multiplie par la quantité conjuguée (\(\sqrt a+\sqrt b\) ou \(\sqrt a+c\)) : l'identité \((u-v)(u+v)=u^2-v^2\) fait disparaître les radicaux.
Comparer deux nombres. On vérifie qu'ils sont positifs, puis on compare leurs carrés. Si l'un est positif et l'autre négatif, la comparaison est immédiate.
Énoncé. a) Écrire \(\sqrt{72}\) sous la forme \(a\sqrt b\), où \(b\) est le plus petit entier possible. b) Réduire \(A=\sqrt{50}-3\sqrt8+\sqrt{18}\). c) Simplifier \(\sqrt{(-3)^2\times 5}\).
Solution : a) \(72=36\times 2\) et \(36=6^2\), donc \(\sqrt{72}=6\sqrt2\).
b) \(\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt2\) ; \(\sqrt8=\sqrt{4\times 2}=2\sqrt2\) ; \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times 2}=3\sqrt2\). Donc \(A=5\sqrt2-3\times 2\sqrt2+3\sqrt2=(5-6+3)\sqrt2=2\sqrt2\).
c) \(\sqrt{(-3)^2\times 5}=|-3|\sqrt5=3\sqrt5\). On vérifie : \((-3)^2\times 5=45\) et \(\sqrt{45}=\sqrt{9\times 5}=3\sqrt5\). Le résultat est positif, comme toute racine carrée.
Énoncé. Écrire sans radical au dénominateur : a) \(\dfrac{3}{\sqrt5}\) ; b) \(\dfrac{2}{\sqrt3-1}\) ; c) \(\dfrac{1}{\sqrt7+\sqrt5}\).
Solution : a) \(\dfrac{3}{\sqrt5}=\dfrac{3\times\sqrt5}{\sqrt5\times\sqrt5}=\dfrac{3\sqrt5}{5}\).
b) La quantité conjuguée de \(\sqrt3-1\) est \(\sqrt3+1\), et \((\sqrt3-1)(\sqrt3+1)=3-1=2\). Donc \(\dfrac{2}{\sqrt3-1}=\dfrac{2(\sqrt3+1)}{2}=\sqrt3+1\).
c) \((\sqrt7+\sqrt5)(\sqrt7-\sqrt5)=7-5=2\), donc \(\dfrac{1}{\sqrt7+\sqrt5}=\dfrac{\sqrt7-\sqrt5}{2}\).
Énoncé. a) Comparer \(3\sqrt2\) et \(2\sqrt5\). b) Calculer la valeur de l'expression \(x^2-2x-1\) pour \(x=1+\sqrt2\).
Solution : a) Les deux nombres sont positifs : on compare leurs carrés. \((3\sqrt2)^2=9\times 2=18\) et \((2\sqrt5)^2=4\times 5=20\). Comme \(18\lt 20\), on a \(3\sqrt2\lt 2\sqrt5\).
b) \(x^2=(1+\sqrt2)^2=1+2\sqrt2+2=3+2\sqrt2\) et \(2x=2+2\sqrt2\). Donc \(x^2-2x-1=3+2\sqrt2-2-2\sqrt2-1=0\). Le nombre \(1+\sqrt2\) est une solution de l'équation \(x^2-2x-1=0\) ; le calcul exact le prouve, alors qu'une valeur approchée ne donnerait qu'un résultat voisin de 0.
Séparer une somme. \(\sqrt{9+16}\) vaut 5, et non \(3+4\). Les règles ne portent que sur les produits et les quotients.
Oublier la valeur absolue. \(\sqrt{a^2}=|a|\). Pour \(a=\sqrt2-3\), qui est négatif, \(\sqrt{(\sqrt2-3)^2}=3-\sqrt2\), et non \(\sqrt2-3\).
Additionner des radicandes différents. \(\sqrt2+\sqrt3\) ne se réduit pas : ce n'est pas \(\sqrt5\). On ne regroupe que des termes de même radicande.
Oublier le double produit. \((2+\sqrt3)^2=4+4\sqrt3+3=7+4\sqrt3\), et non \(4+3=7\).
Intervalles, valeur absolue et distance
Pour \(x \in \mathbb{R}\), la valeur absolue \(|x|\) vaut \(x\) si \(x \ge 0\) et \(-x\) si \(x < 0\). Sur la droite numérique, \(|x|\) est la distance entre le point d'abscisse \(x\) et l'origine ; plus généralement, \(|b-a|\) est la distance entre les points d'abscisses \(a\) et \(b\).
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Voir les offresFigure interactive — |x - a| ≤ r
Le point est vert si |x-3| ≤ 5, rouge sinon.
Équations et inéquations du premier degré
L'ordre est conservé par addition d'un même réel, et par multiplication par un réel strictement positif. Il est inversé par multiplication par un réel strictement négatif. Toute virtuosité technique au-delà de ces règles élémentaires est exclue du programme.
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
Résoudre \(-2x+5 \le 11\).
\(-2x \le 6\), puis on divise par \(-2\) (négatif : l'inégalité s'inverse) : \(x \ge -3\). Solution : \(x \in [-3\,;+\infty[\).
Facile. \(3x-1 > 8 \iff 3x > 9 \iff x > 3\), soit \(x \in\ ]3\,;+\infty[\).
Intervalle. \(x \in [-2\,;5[\) signifie \(-2 \le x < 5\) : borne de gauche incluse, borne de droite exclue.
Figure interactive — Fonction de proportionnalité
La droite \(y=ax\) passe toujours par l'origine, quel que soit \(a\).
Résumé
\(\sqrt a\) est le réel positif de carré \(a\) ; il n'existe que si \(a\geq 0\).
\(\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\) et \(\sqrt{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\) pour des réels positifs.
\(\sqrt{a^2\,b}=|a|\sqrt b\) ; en particulier \(\sqrt{a^2}=|a|\).
\(\sqrt{a+b}\) n'est pas \(\sqrt a+\sqrt b\) en général.
Deux réels positifs sont rangés comme leurs carrés.
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