Seconde L · Leçon 3
Fonction affine
Ce que dit le programme officiel (4 points)
- Fonction linéaire et fonction affine ; représentation graphique ; image et antécédent
- Taux d’accroissement d’une fonction affine ; proportionnalité des accroissements
- Déterminer une fonction affine par deux nombres et leurs images, ou par le taux d’accroissement, un nombre et son image
- Fonction affine par morceaux : la reconnaître et la représenter
Source : Programme de mathématiques, séries L (Sénégal), octobre 2006
Fonction affine et fonctions affines par intervalle
Sa courbe est une droite de coefficient directeur \(a\) et d'ordonnée à l'origine \(b\). Si \(a>0\) : croissante sur \(\mathbb R\). Si \(a<0\) : décroissante. Si \(a=0\) : constante.
Pour tracer la droite connaissant un point \(A(x_0;y_0)\) et le coefficient directeur \(a\) : partir de \(A\), avancer de \(1\) en abscisse et de \(a\) en ordonnée pour obtenir un second point.
Courbe en forme de parabole, minimum \(0\) atteint en \(x=0\). Décroissante sur \(]-\infty;0]\), croissante sur \([0;+\infty[\). Fonction paire.
Une fonction est affine par intervalle si son ensemble de définition se découpe en plusieurs intervalles sur chacun desquels elle est affine (mais pas nécessairement avec les mêmes coefficients \(a\) et \(b\) d'un intervalle à l'autre). Sa courbe est une ligne brisée.
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Voir les offresFigure — Facture d'eau selon la consommation
La pente change à x = 10 : c'est le point de cassure de la fonction affine par intervalle.
Taux d’accroissement d’une fonction affine ; fonctions affines par morceaux et valeur absolue
Une fonction affine augmente toujours « au même rythme » : c'est ce que mesure son taux d'accroissement. Beaucoup de tarifs (eau, électricité, taxis) changent de rythme à partir d'un seuil : on les décrit par des fonctions affines par morceaux. Les fonctions avec des valeurs absolues en sont un cas particulier très fréquent.
Une fonction affine s'écrit \(f(x)=ax+b\). Pour deux réels distincts \(u\) et \(v\), son taux d'accroissement entre \(u\) et \(v\) est
\[\frac{f(v)-f(u)}{v-u}=\frac{(av+b)-(au+b)}{v-u}=a.\]Il est le même pour tous \(u\) et \(v\) : les accroissements de \(f(x)\) sont proportionnels aux accroissements de \(x\), de coefficient \(a\) (le coefficient directeur de la droite représentative). Réciproquement, une fonction dont le taux d'accroissement est constant est affine.
Déterminer \(f\). Avec deux nombres et leurs images, on calcule \(a\) comme taux, puis \(b\) avec l'une des images. Avec le taux \(a\), un nombre \(x_0\) et son image \(y_0\) : \(f(x)=a(x-x_0)+y_0\).
Une fonction est affine par morceaux si l'on peut découper son ensemble de définition en intervalles sur chacun desquels elle est affine. Sa courbe est formée de segments ou de demi-droites, raccordés ou non.
Valeur absolue. \(|X|=X\) si \(X\ge0\) et \(|X|=-X\) si \(X\lt0\). Pour écrire \(|ax+b|\) sans valeur absolue, on cherche le signe de \(ax+b\) de part et d'autre de \(-\dfrac ba\). Par exemple \(|2x-4|=-2x+4\) si \(x\lt2\) et \(|2x-4|=2x-4\) si \(x\ge2\).
La courbe de \(x\mapsto|f(x)|\) s'obtient à partir de celle de \(f\) en remplaçant les parties situées sous l'axe des abscisses par leurs symétriques par rapport à cet axe.
1) Chercher les valeurs qui annulent chaque expression entre barres ; elles découpent \(\mathbb R\) en intervalles.
2) Faire un tableau de signes de chaque expression ; sur chaque intervalle, remplacer \(|X|\) par \(X\) ou \(-X\) et simplifier.
3) Tracer chaque morceau sur son intervalle ; vérifier que les valeurs coïncident aux points de raccordement (la fonction est alors continue).
Énoncé. a) Déterminer la fonction affine \(f\) telle que \(f(2)=7\) et \(f(5)=16\). b) Un taxi demande 500 F de prise en charge puis 150 F par kilomètre. Exprimer le prix \(P(d)\) d'une course de \(d\) km ; quel est le prix pour 8 km ? Quelle distance pour 2 600 F ?
Solution : a) \(a=\dfrac{16-7}{5-2}=3\), puis \(7=3\times2+b\) donne \(b=1\) : \(f(x)=3x+1\). Contrôle : \(f(5)=16\).
b) \(P(d)=150d+500\), fonction affine de taux 150 (le prix augmente de 150 F par kilomètre). \(P(8)=1\,700\) F. Si \(P(d)=2\,600\), alors \(150d=2\,100\) et \(d=14\) km.
Énoncé. Écrire \(g(x)=|x+1|-|x-2|\) sans valeur absolue, puis tracer sa courbe. Résoudre \(g(x)=0\).
Solution : Les valeurs \(-1\) et 2 découpent \(\mathbb R\). Pour \(x\lt-1\) : \(g(x)=-(x+1)+(x-2)=-3\). Pour \(-1\le x\lt2\) : \(g(x)=(x+1)+(x-2)=2x-1\). Pour \(x\ge2\) : \(g(x)=(x+1)-(x-2)=3\).
La courbe est formée d'une demi-droite horizontale \(y=-3\), d'un segment de \((-1\,;-3)\) à \((2\,;3)\), puis d'une demi-droite \(y=3\). L'équation \(g(x)=0\) n'a de solution que sur le morceau du milieu : \(2x-1=0\), soit \(x=\dfrac12\).
Figure — Une fonction affine par morceaux
La courbe de g(x) = |x + 1| − |x − 2|, en bleu : constante égale à −3 avant −1, affine de coefficient 2 entre −1 et 2, constante égale à 3 après 2. Les morceaux se raccordent aux points (−1 ; −3) et (2 ; 3) ; la courbe coupe l'axe des abscisses en x = 1/2.
Énoncé. Une facture d'eau compte 200 F le mètre cube jusqu'à 20 m³, puis 350 F le mètre cube au-delà. Exprimer le montant \(M(q)\) pour \(q\) mètres cubes ; calculer \(M(15)\) et \(M(26)\).
Solution : Pour \(0\le q\le20\) : \(M(q)=200q\). Pour \(q\gt20\) : les 20 premiers mètres cubes coûtent \(4\,000\) F, d'où \(M(q)=4\,000+350(q-20)\). La fonction est affine par morceaux ; les deux expressions donnent \(4\,000\) en \(q=20\) : la courbe ne fait pas de saut.
\(M(15)=3\,000\) F et \(M(26)=4\,000+350\times6=6\,100\) F.
Enlever les barres sans regarder le signe. \(|x-2|\) ne vaut pas \(x-2\) pour tout \(x\) : pour \(x=0\), \(|0-2|=2\), alors que \(0-2=-2\).
Appliquer le mauvais tarif à tout le volume. Dans l'exemple 3, seuls les mètres cubes au-delà de 20 sont facturés 350 F ; \(26\times350=9\,100\) F serait faux.
Résumé
Pour \(f(x)=ax+b\), le taux d'accroissement vaut toujours \(a\).
\(a=\dfrac{f(v)-f(u)}{v-u}\), puis \(b\) avec une image ; ou \(f(x)=a(x-x_0)+y_0\).
Tableau de signes, puis une expression affine sur chaque intervalle.