Seconde L · Leçon 8
Équations et inéquations du second degré
Ce que dit le programme officiel (5 points)
- Vocabulaire ; forme canonique du trinôme ; discriminant
- Résolution par le discriminant ; somme et produit des racines ; trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit
- Factorisation d’un trinôme ; égalités remarquables pour résoudre sans discriminant
- Signe d’un trinôme ; inéquations du second degré ; traduire des situations de la vie courante
- Limite : équations et inéquations à paramètre exclues
Source : Programme de mathématiques, séries L (Sénégal), octobre 2006
Trinôme du second degré : forme canonique
Pour \(P(x)=ax^2+bx+c\) (\(a\ne0\)) :
\[ P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta, \qquad \alpha=-\dfrac{b}{2a},\quad \beta=P(\alpha). \]Pour résoudre \(ax^2+bx+c=0\), on pose \(\Delta=b^2-4ac\).
\(\Delta>0\) : deux solutions \(x_{1,2}=\dfrac{-b\mp\sqrt\Delta}{2a}\). \(\Delta=0\) : une solution double \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\). \(\Delta<0\) : aucune solution réelle.
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Les deux racines d'un trinôme ne sont pas indépendantes des coefficients : leur somme et leur produit se lisent directement sur l'équation, sans rien résoudre. Ce lien sert dans les deux sens. Il permet de contrôler des racines, de trouver la seconde quand on connaît la première, et de retrouver deux nombres dont on connaît seulement la somme et le produit.
Propriété. Soit \(ax^2+bx+c\) un trinôme (\(a\neq 0\)) dont le discriminant est positif ou nul, et \(x_1\), \(x_2\) ses racines (égales si le discriminant est nul). Alors
\[S=x_1+x_2=-\frac ba\qquad\text{et}\qquad P=x_1x_2=\frac ca.\]Démonstration. Le trinôme se factorise : \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). En développant le second membre, on obtient \(ax^2-a(x_1+x_2)x+a\,x_1x_2\). Deux polynômes égaux ont les mêmes coefficients : \(-a(x_1+x_2)=b\) et \(a\,x_1x_2=c\), d'où les deux formules.
Réciproque. Deux nombres dont la somme est \(S\) et le produit \(P\) sont les solutions de l'équation
\[x^2-Sx+P=0.\]En effet \((x-u)(x-v)=x^2-(u+v)x+uv\). De tels nombres existent si et seulement si le discriminant \(S^2-4P\) est positif ou nul.
Contrôler des racines. Après avoir résolu une équation du second degré, on vérifie que la somme des solutions vaut \(-\dfrac ba\) et leur produit \(\dfrac ca\).
Trouver la seconde racine. Si l'on voit une racine « évidente » \(x_1\) (souvent \(1\), \(-1\) ou \(2\)), l'autre est \(x_2=\dfrac{c}{a\,x_1}\), ou encore \(x_2=-\dfrac ba-x_1\).
Trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit. On écrit l'équation \(x^2-Sx+P=0\) et on la résout ; ses deux solutions sont les nombres cherchés. Si le discriminant est négatif, le problème n'a pas de solution.
Prévoir le signe des racines. On s'assure d'abord qu'elles existent (discriminant positif ou nul). Si \(P\lt 0\), elles sont de signes contraires. Si \(P\gt 0\), elles ont le même signe, qui est celui de \(S\).
Énoncé. Résoudre l'équation \(2x^2-3x-5=0\) sans calculer le discriminant.
Solution : On teste \(x=-1\) : \(2\times 1-3\times(-1)-5=2+3-5=0\). Donc \(x_1=-1\) est une racine. Le produit des racines vaut \(\dfrac ca=-\dfrac52\), d'où \(x_2=\dfrac{-5/2}{-1}=\dfrac52\).
Contrôle par la somme : \(-1+\dfrac52=\dfrac32\), et \(-\dfrac ba=\dfrac32\). L'ensemble des solutions est \(\left\{-1\,;\dfrac52\right\}\).
Remarque : \(-1\) est racine de \(ax^2+bx+c\) exactement quand \(a-b+c=0\), et \(1\) est racine exactement quand \(a+b+c=0\). Ces deux tests se font de tête.
Figure — Les racines de l'exemple 1 sur la parabole
La parabole d'équation y = 2x² − 3x − 5 coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses −1 et 5/2. Son axe de symétrie, en pointillés or, passe par le milieu des deux racines : son abscisse 3/4 est la moitié de leur somme 3/2. L'ordonnée à l'origine −5 est le produit des racines multiplié par le coefficient 2.
Énoncé. a) Trouver deux nombres dont la somme est 7 et le produit 10. b) Un terrain rectangulaire a pour périmètre 34 m et pour aire 60 m². Quelles sont ses dimensions ? c) Existe-t-il deux nombres réels de somme 4 et de produit 5 ?
Solution : a) Les deux nombres sont les solutions de \(x^2-7x+10=0\). Le discriminant vaut \(49-40=9\) ; les solutions sont \(\dfrac{7-3}{2}=2\) et \(\dfrac{7+3}{2}=5\). Les nombres cherchés sont 2 et 5.
b) Soit \(L\) et \(\ell\) la longueur et la largeur, en mètres. Le demi-périmètre donne \(L+\ell=17\) et l'aire \(L\times\ell=60\). Ce sont les solutions de \(x^2-17x+60=0\) : discriminant \(289-240=49\), solutions \(\dfrac{17-7}{2}=5\) et \(\dfrac{17+7}{2}=12\). Le terrain mesure 12 m sur 5 m ; on vérifie \(2(12+5)=34\) et \(12\times 5=60\).
c) Il faudrait résoudre \(x^2-4x+5=0\), dont le discriminant \(16-20=-4\) est négatif : il n'existe pas de tels nombres réels.
Énoncé. Sans résoudre, donner le nombre et le signe des solutions de chacune des équations : a) \(x^2-6x+4=0\) ; b) \(3x^2+5x-1=0\).
Solution : a) Le discriminant vaut \(36-16=20\), strictement positif : il y a deux solutions distinctes. Leur produit \(P=4\) est positif : elles ont le même signe. Leur somme \(S=6\) est positive : les deux solutions sont strictement positives.
b) Le produit des racines serait \(P=-\dfrac13\), négatif. Lorsque \(a\) et \(c\) sont de signes contraires, le discriminant \(b^2-4ac\) est strictement positif (ici \(25+12=37\)) : l'équation a deux solutions, et elles sont de signes contraires.
Oublier le signe ou le coefficient \(a\). La somme est \(-\dfrac ba\), et non \(\dfrac ba\) ni \(-b\). Pour \(2x^2-3x-5\), la somme vaut \(\dfrac32\) et le produit \(-\dfrac52\), et non \(3\) et \(-5\).
Utiliser les formules alors qu'il n'y a pas de racine. Pour \(x^2-4x+5\), écrire « la somme des racines vaut 4 » n'a pas de sens : le discriminant est négatif et le trinôme n'a aucune racine réelle. On vérifie toujours l'existence des racines avant de parler de leur signe.
Confondre l'équation de départ et l'équation \(x^2-Sx+P=0\). Le terme en \(x\) porte le signe « moins » devant la somme : deux nombres de somme 7 et de produit 10 sont solutions de \(x^2-7x+10=0\), et non de \(x^2+7x+10=0\) (dont les solutions sont \(-2\) et \(-5\)).
Signe du trinôme et inéquations du second degré
Si \(\Delta>0\) (racines \(x_1<x_2\)) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) à l'extérieur de \([x_1;x_2]\), du signe opposé entre les racines. Règle mnémotechnique : « signe de \(a\), sauf entre les racines ».
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Voir les offresFigure interactive — Parabole \(y=ax^2+bx+c\)
Résumé
Si le trinôme \(ax^2+bx+c\) a deux racines : \(S=-\dfrac ba\) et \(P=\dfrac ca\).
Deux nombres de somme \(S\) et de produit \(P\) sont les solutions de \(x^2-Sx+P=0\).
Connaissant \(x_1\), on obtient \(x_2=\dfrac{c}{a\,x_1}\).
\(P\lt 0\) : signes contraires. \(P\gt 0\) : même signe, celui de \(S\).
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