Seconde L · Leçon 8
Équations et inéquations du second degré
Exercices corrigés
QCM — Discriminant, racines, forme canonique
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Le discriminant de $2x^2+3x-5$ vaut :
a) $49$ b) $9$ c) $29$ d) $1$
2) Les racines de $x^2-7x+10=0$ sont :
a) $2$ et $5$ b) $-2$ et $-5$ c) $1$ et $10$ d) $2$ et $-5$
3) La forme canonique de $x^2-6x+5$ est :
a) $(x-3)^2-4$ b) $(x-3)^2+4$ c) $(x+3)^2-4$ d) $(x-6)^2+5$
4) Le signe de $(x-2)(x+4)$ pour $x\in\,]-4;2[$ est :
a) négatif b) positif c) nul d) indéterminé
Voir le corrigé
- Réponse : a. $\Delta=3^2-4\times2\times(-5)=9+40=49$.
- Réponse : a. Somme $=7$, produit $=10$ → racines $2$ et $5$.
- Réponse : a. $\alpha=-\dfrac{-6}{2}=3$, $\beta=P(3)=9-18+5=-4$, soit $(x-3)^2-4$.
- Réponse : a. Racines $-4$ et $2$, $a=1>0$ : signe opposé à $a$ entre les racines, donc négatif.
Exercice supplémentaire — Étude de $P(x)=2x^2-5x-3$
Exercice supplémentaire. On considère le polynôme $P(x)=2x^2-5x-3$.
1) Calculer le discriminant de $P$.
2) Résoudre l'équation $P(x)=0$.
3) En déduire la factorisation de $P(x)$ puis résoudre l'inéquation $P(x)\le0$.
Situation d'intégration — Tableau en bois d'une menuisière
Exercice 2 — Situation d'intégration
Une menuisière découpe, dans une planche, un tableau rectangulaire de largeur $x$ cm et de longueur $(2x-4)$ cm, avec $x>2$ pour que la longueur reste positive. Elle souhaite que l'aire du tableau soit d'au moins $96$ cm².
Consigne : Exprimer l'aire du tableau en fonction de $x$, écrire l'inéquation traduisant la contrainte, la résoudre, et donner l'ensemble des valeurs de $x$ compatibles avec la contrainte $x>2$.
Problème — Étude complète d'un trinôme
Problème. On considère $P(x)=x^2+x-12$.
Partie A. 1) Vérifier que $3$ est racine de $P$, puis factoriser $P(x)$.
Partie B. 2) Résoudre l'inéquation $P(x)<0$.
Partie C. 3) Donner la forme canonique de $P$ et en déduire son minimum, ainsi que la valeur de $x$ pour laquelle il est atteint.
Voir le corrigé
- $P(3)=9+3-12=0$ : $3$ est bien racine. Produit des racines $=-12$, donc l'autre racine est $-12/3=-4$. Ainsi $P(x)=(x-3)(x+4)$.
- $a=1>0$ : négatif entre les racines $-4$ et $3$. Solution : $x\in\,]-4;3[$.
- $\alpha=-\dfrac{1}{2}$, $\beta=P\!\left(-\dfrac12\right)=\dfrac14-\dfrac12-12=-\dfrac{49}{4}=-12{,}25$. Forme canonique : $P(x)=\left(x+\dfrac12\right)^2-12{,}25$. Comme le carré est toujours $\ge0$, le minimum de $P$ est $-12{,}25$, atteint en $x=-\dfrac12$.
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.