Seconde L · Leçon 4
Droites du plan
Exercices corrigés
QCM — Droites, cercle, barycentre
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Une équation cartésienne de la droite passant par $A(1;2)$ de vecteur directeur $\vec u(3;-1)$ est :
a) $x+3y-7=0$ b) $x+3y=0$ c) $3x+y-5=0$ d) $x-3y+5=0$
2) Deux droites de vecteurs directeurs $\vec u(2;5)$ et $\vec v(4;10)$ sont :
a) parallèles b) orthogonales c) sécantes non perpendiculaires d) nécessairement confondues
3) Le cercle d'équation $(x+2)^2+(y-3)^2=16$ a pour centre et rayon :
a) $\Omega(-2;3)$, $r=4$ b) $\Omega(2;-3)$, $r=4$ c) $\Omega(-2;3)$, $r=16$ d) $\Omega(2;3)$, $r=4$
4) $G$ est le barycentre de $(A,2)$ et $(B,3)$. On a alors :
a) $2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=\vec0$ b) $2\overrightarrow{GA}=3\overrightarrow{GB}$ c) $\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{GB}$ d) $3\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}=\vec0$
Voir le corrigé
- Réponse : a. Vecteur directeur $(3;-1)$ donne une équation de la forme $x+3y+\gamma=0$ ; en $A(1;2)$ : $1+6+\gamma=0 \Rightarrow \gamma=-7$.
- Réponse : a. $\det(\vec u,\vec v)=2\times10-4\times5=0$ : parallèles (éventuellement confondues, mais pas certain sans un point commun).
- Réponse : a. Forme $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ avec $a=-2$, $b=3$, $r^2=16 \Rightarrow r=4$.
- Réponse : a. Définition vectorielle du barycentre.
Équations de droites et intersection
Dans un repère orthonormal, on donne \(A(2\,;1)\) et \(B(4\,;5)\).
1) Calcule le coefficient directeur de \((AB)\) et une équation de \((AB)\).
2) Soit \(d\) la droite d'équation \(y=-\dfrac12x+2\). Montre que \(d\) est perpendiculaire à \((AB)\).
3) Calcule les coordonnées du point d'intersection de \(d\) et \((AB)\), et la distance \(AB\).
Voir le corrigé
1) \(m=\dfrac{5-1}{4-2}=2\). Avec \(A\) : \(1=2\times2+p\), d'où \(p=-3\) ; \((AB) : y=2x-3\). Contrôle avec \(B\) : \(2\times4-3=5\).
2) Le produit des coefficients directeurs vaut \(2\times\left(-\dfrac12\right)=-1\), dans un repère orthonormal : les droites sont perpendiculaires.
3) \(2x-3=-\dfrac12x+2\) donne \(\dfrac52x=5\), soit \(x=2\), puis \(y=1\) : c'est le point \(A(2\,;1)\). Enfin \(AB=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5\).
Réponse : \((AB) : y=2x-3\) ; \(d\perp(AB)\) ; intersection \(A(2\,;1)\) ; \(AB=2\sqrt5\).
Un triangle rectangle
On donne \(A(-1\,;2)\), \(B(3\,;4)\) et \(C(1\,;-2)\).
1) Calcule les coefficients directeurs des droites \((AB)\), \((AC)\) et \((BC)\).
2) Déduis-en la nature du triangle \(ABC\).
3) Vérifie le résultat avec le théorème de Pythagore.