Vecteurs de l’espace

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $A(1;2;-1)$ et $B(3;-1;2)$. Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont :
a) $(2;-3;3)$   b) $(2;3;3)$   c) $(4;1;1)$   d) $(-2;3;-3)$

2) Une droite $D$ dirigée par $\vec u(2;-1;3)$ et passant par $A(0;1;-2)$ admet pour représentation paramétrique :
a) $\begin{cases}x=2t\\y=1-t\\z=-2+3t\end{cases}$   b) $\begin{cases}x=2t\\y=1+t\\z=-2-3t\end{cases}$   c) $\begin{cases}x=t\\y=1-2t\\z=-2+3t\end{cases}$   d) $\begin{cases}x=2t\\y=-1+t\\z=3-2t\end{cases}$

3) Les vecteurs $\vec u(1;2;0)$, $\vec v(0;1;1)$, $\vec w(1;5;3)$ sont :
a) coplanaires, avec $\vec w=\vec u+3\vec v$   b) coplanaires, avec $\vec w=2\vec u+\vec v$   c) non coplanaires   d) colinéaires deux à deux

4) Le plan $P$ a pour équation $3x-2y+z-5=0$. Le point $M(1;2;4)$ appartient-il à $P$ ?
a) Non, car $3(1)-2(2)+4-5=-2\neq0$   b) Oui   c) Non, car $M$ n'a pas 3 coordonnées   d) Impossible à déterminer

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $\vec u(1;2;-2)$ et $\vec v(2;-1;0)$. Ces deux vecteurs sont :
a) orthogonaux, car $\vec u\cdot\vec v=0$   b) colinéaires   c) égaux   d) coplanaires seulement

2) Soit $A(1;0;0)$ et $B(4;4;3)$. La distance $AB$ vaut :
a) $\sqrt{34}$   b) $34$   c) $10$   d) $\sqrt{10}$

3) Le plan $P:\ 3x-y+2z-4=0$ a pour vecteur normal :
a) $(3;-1;2)$   b) $(3;1;2)$   c) $(-3;-1;2)$   d) $(3;-1;-2)$

4) Deux plans ont pour vecteurs normaux $\vec n_1(1;2;-1)$ et $\vec n_2(3;-1;1)$. Ces deux plans sont :
a) perpendiculaires, car $\vec n_1\cdot\vec n_2=0$   b) parallèles   c) confondus   d) ni perpendiculaires ni parallèles

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un ingénieur installe un pylône de télécommunication, modélisé par une droite $D$ de l'espace. Le pied du pylône est au point $A(0;0;0)$ (au sol) et le pylône est dirigé par le vecteur $\vec u(1;2;12)$ (la troisième coordonnée représente l'altitude en mètres).

Consigne :

1) Donner une représentation paramétrique de $D$.

2) Un technicien doit fixer un hauban au point du pylône situé à $24$ m d'altitude ($z=24$). Déterminer les coordonnées $x$ et $y$ de ce point.

3) Un second pylône identique est installé au point $B(10;0;0)$, dirigé par le même vecteur $\vec u$. Les droites représentant les deux pylônes sont-elles parallèles ? Sécantes ? Justifier.

Partie A. Soit $A(2;-1;3)$, $B(0;1;1)$, $C(3;1;4)$.

1) Calculer la distance $AB$.

2) Calculer $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}$. Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ?

Partie B. Soit $P:\ x-2y+2z-3=0$ et $Q:\ 2x+y-z+1=0$.

3) Déterminer les vecteurs normaux de $P$ et de $Q$.

4) Les plans $P$ et $Q$ sont-ils perpendiculaires ?