Première C · Leçon 2
Généralités sur les fonctions numériques d’une variable réelle
Ce que dit le programme officiel (9 points)
- Comparaison de deux fonctions (f ≤ g)
- Opérations sur les fonctions : somme, différence, produit, quotient, composée de deux fonctions
- Fonctions associées à une fonction f : x ↦ |f(x)| ; x ↦ f(|x|) ; x ↦ f(x + a) ; x ↦ f(x) + a ; x ↦ – f(x) ; x ↦ f(– x)
- Image directe, image réciproque
- Notion d’application ; notion d’application injective, surjective, bijective
- Comparer deux fonctions (algébriquement et graphiquement)
- Décomposer une fonction numérique donnée en une somme, un produit, un quotient, une composée de deux fonctions
- Utiliser les transformations pour tracer les courbes des fonctions associées
- Utiliser les notions d’image directe et d’image réciproque pour donner la nature d’une application
Source : Programme de mathématiques, classe de Première C, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Opérations sur les fonctions, composée de fonctions monotones
Pour \(f\), \(g\) définies sur un même ensemble et \(\lambda\) réel : \(\lambda f\), \(f+g\), \(fg\), \(\dfrac1f\), \(\dfrac fg\), et la composée \(g\circ f\) (\((g\circ f)(x)=g(f(x))\)). On compare \(f\leqslant g\) numériquement ou graphiquement.
Si \(u\) est monotone sur \(I\) et \(v\) monotone sur un intervalle contenant \(u(I)\), \(v\circ u\) est monotone sur \(I\) — croissante si \(u,v\) ont même sens de variation, décroissante sinon.
- Une asymptote verticale en \(x=a\) demande d'étudier séparément la limite à gauche (\(x\to a^-\)) et à droite (\(x\to a^+\)) : la fonction peut tendre vers \(+\infty\) d'un côté et \(-\infty\) de l'autre, comme dans l'exemple ci-dessus.
- Une limite finie en \(+\infty\) ne dit rien du comportement en \(-\infty\) : il faut étudier les deux séparément avant de conclure à une asymptote horizontale commune.
Fonctions associées : changement d'origine, d'échelle, |f|
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Voir les offresFigure — Courbes de \(q(x)=x^2-6x+5\) et de \(|q(x)|\)
La portion dorée entre \(x=1\) et \(x=5\) est le repli vers le haut de la portion négative de \(q\) (pointillés navy).
Fonction : image, antécédent, ensemble de définition, courbe
Rappel de SecondeUne fonction peut être définie de plusieurs façons : tracé graphique, tableau de données numériques, formule explicite, ou même touches d'une calculatrice. Savoir passer d'une représentation à l'autre est l'objectif central de ce chapitre.
Une fonction \(f\) associe à chaque réel \(x\) d'un ensemble \(D_f\) (l'ensemble de définition) au plus un réel noté \(f(x)\), l'image de \(x\) par \(f\). Un réel \(x\) tel que \(f(x)=y\) est un antécédent de \(y\).
La courbe représentative de \(f\), notée \(\mathcal{C}_f\), est l'ensemble des points \(M(x\,;\,f(x))\) pour \(x \in D_f\).
Pour lire l'image de \(a\) : tracer la verticale \(x=a\), lire l'ordonnée du point d'intersection avec \(\mathcal{C}_f\). Pour lire les antécédents de \(b\) : tracer l'horizontale \(y=b\), lire les abscisses des points d'intersection — il peut y en avoir zéro, un, ou plusieurs.
L'image d'un intervalle \(I \subset D_f\) est l'ensemble \(f(I) = \{f(x)\ /\ x \in I\}\) : l'ensemble des ordonnées atteintes quand \(x\) parcourt \(I\). L'image réciproque d'un intervalle \(J\) est l'ensemble des \(x\) tels que \(f(x) \in J\) : l'ensemble des abscisses dont l'image tombe dans \(J\).
Facile. Pour \(f(x)=x^2\), l'image de \(3\) est \(f(3)=9\). Les antécédents de \(9\) sont \(3\) et \(-3\) (deux antécédents).
Intermédiaire. Pour \(f(x)=x^2\) sur \(D_f=\mathbb{R}\), l'image de l'intervalle \(I=[-2;3]\) est \(f(I)=[0;9]\) (le minimum \(0\) est atteint en \(0 \in I\), le maximum \(9\) en \(x=3\), car \(3^2=9 > (-2)^2=4\)).
Image réciproque. Toujours pour \(f(x)=x^2\), l'image réciproque de \(J=[4;9]\) est l'ensemble des \(x\) tels que \(4 \le x^2 \le 9\), soit \(x \in [-3;-2]\cup[2;3]\).
Applications : injection, surjection, bijection
Soit \(f:E\to F\) une application. \(f\) est injective si deux éléments distincts de \(E\) ont toujours des images distinctes. \(f\) est surjective si tout élément de \(F\) admet au moins un antécédent dans \(E\). \(f\) est bijective si elle est à la fois injective et surjective : tout élément de \(F\) admet alors exactement un antécédent, ce qui définit l'application réciproque \(f^{-1}:F\to E\).
Le nombre de solutions de l'équation \(f(x)=\lambda\) est directement lié à la nature de \(f\) : au plus une solution si \(f\) est injective, au moins une si \(f\) est surjective, exactement une si \(f\) est bijective — ce qui se lit aussi bien par le calcul que sur le graphique (nombre de points d'intersection avec la droite horizontale \(y=\lambda\)).
\(f(x)=x^2\) définie sur \(\mathbb R\) n'est ni injective (\(f(-1)=f(1)=1\)) ni surjective sur \(\mathbb R\) (aucun antécédent pour les valeurs négatives). En revanche, restreinte à \([0;+\infty[\) au départ et à l'arrivée, \(f\) devient bijective : sa réciproque est \(f^{-1}(x)=\sqrt x\).
Figure — \(f(x)=x^2\) et sa réciproque \(f^{-1}(x)=\sqrt x\) sur \([0;+\infty[\)
Les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite \(y=x\) (pointillée) : c'est toujours le cas pour une bijection et sa réciproque.
- Pour conclure que \(f\) est bijective, il faut vérifier à la fois l'injectivité et la surjectivité — démontrer l'une sans l'autre ne suffit pas.
- Le nombre de solutions de \(f(x)=\lambda\) se lit graphiquement par le nombre de points d'intersection avec la droite horizontale \(y=\lambda\), pas verticale.
Résumé
Éléments distincts ⟹ images distinctes.
Tout élément de l'arrivée a au moins un antécédent.
Injective et surjective ⟹ réciproque \(f^{-1}\) définie.
\((g\circ f)(x)=g(f(x))\), en général \(\neq f\circ g\).
Sujet type devoir
Question 1. Soit \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x)=x^2-4\). \(f\) est-elle injective ? surjective ? Justifier.
Non injective : \(f(-1)=f(1)=-3\). Non surjective sur \(\mathbb R\) : \(f\) admet un minimum \(-4\), donc aucune valeur inférieure à \(-4\) n'a d'antécédent.
Question 2. Soit \(f(x)=2x-3\) sur \(\mathbb R\). Montrer que \(f\) est bijective et déterminer sa réciproque.
\(f\) est affine de coefficient directeur non nul : elle est bijective de \(\mathbb R\) sur \(\mathbb R\). En posant \(y=2x-3\), on obtient \(x=\dfrac{y+3}2\), donc \(f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}2\).
Question 3. Soit \(f(x)=x+1\) et \(g(x)=2x^2\). Calculer \((g\circ f)(x)\) et \((f\circ g)(x)\).
\((g\circ f)(x)=2(x+1)^2=2x^2+4x+2\). \((f\circ g)(x)=2x^2+1\).