Vecteurs de l’espace

Extension du calcul vectoriel

Les vecteurs de l'espace se manipulent exactement comme dans le plan : addition (règle du parallélogramme), multiplication par un réel, relation de Chasles \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\). Rien de nouveau dans les propriétés — seule la troisième dimension s'ajoute.

Vecteurs colinéaires, coplanaires

Deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec v=k\vec u\) (ou l'un des deux est nul). Un vecteur \(\vec u\) est vecteur directeur d'une droite \(D\) si \(D\) est dirigée par \(\vec u\) : deux points \(A,B\) de \(D\) vérifient \(\overrightarrow{AB}\) colinéaire à \(\vec u\).

Trois vecteurs \(\vec u,\vec v,\vec w\) sont coplanaires s'il existe trois réels \(a,b,c\) non tous nuls tels que \(a\vec u+b\vec v+c\vec w=\vec 0\) (résultat admis). Concrètement : l'un des trois s'exprime comme combinaison des deux autres. Un plan \(P\) admet deux vecteurs directeurs \(\vec u,\vec v\) non colinéaires : tout vecteur de \(P\) est alors coplanaire avec \(\vec u,\vec v\).

Base et repère de l'espace

Une base de l'espace est un triplet \((\vec i,\vec j,\vec k)\) de vecteurs non coplanaires. Dans une telle base, tout vecteur \(\vec u\) se décompose de façon unique : \(\vec u=x\vec i+y\vec j+z\vec k\), et l'on note \(\vec u(x;y;z)\). Un repère de l'espace est la donnée d'un point \(O\) (l'origine) et d'une base \((\vec i,\vec j,\vec k)\) ; un point \(M\) a pour coordonnées \((x;y;z)\) celles du vecteur \(\overrightarrow{OM}\).

Extension du produit scalaire

Le produit scalaire de l'espace prolonge celui du plan, avec les mêmes propriétés (bilinéarité, symétrie). Dans un repère orthonormé \((O;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)\), pour \(\vec u(x;y;z)\) et \(\vec v(x';y';z')\) :

\[ \vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz', \qquad \|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. \]

La distance entre \(A(x_A;y_A;z_A)\) et \(B(x_B;y_B;z_B)\) vaut \(AB=\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\).

Vecteur normal, plans perpendiculaires

Un vecteur \(\vec n\) est normal au plan \(P\) s'il est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de \(P\) (donc à toute droite de \(P\)). Le plan \(\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0\) admet \(\vec n(\alpha;\beta;\gamma)\) pour vecteur normal — lecture directe sur l'équation. Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.