Première C · Leçon 14
Positions de droites et plans de l’espace
Ce que dit le programme officiel (12 points)
- Orthogonalité dans l’espace : projections orthogonales
- Déterminer l’image d’un point par une projection orthogonale
- Droites et plans de l’espace : représentations paramétriques de droites et plans
- Déterminer les représentations paramétriques de droites et plans
- Équations cartésiennes d’un plan
- Systèmes d’équations cartésiennes d’une droite de l’espace
- Déterminer une équation cartésienne d’un plan
- Déterminer un système d’équations cartésiennes de droites
- Intersections de droites et plans
- Déterminer l’intersection de 2 droites, d’une droite et d’un plan, de 2 plans
- Distance d’un point à un plan
- Déterminer la distance d’un point à un plan
Source : Programme de mathématiques, classe de Première C, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Espace : incidence, parallélisme et orthogonalité (géométrie de position)
Une droite est parallèle à un plan si elle est parallèle à une droite de ce plan. Deux plans sont parallèles s'ils ne se coupent pas (ou sont confondus). Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan — elle est alors orthogonale à toute droite de ce plan.
Pour démontrer qu'une droite est orthogonale à un plan, il suffit de trouver deux droites sécantes de ce plan, chacune orthogonale à la droite étudiée — inutile de vérifier toutes les droites du plan une à une. Ces propriétés serviront directement pour la sphère (XXIV.2) et les sections de polyèdres (XXV).
Distance d'un point à un plan, projeté orthogonal
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Voir les offresUne surface de niveau est l'ensemble des points \(M\) vérifiant une condition donnée. Trois exemples classiques, pour \(\vec u\) vecteur non nul donné et \(a,b,c\) réels donnés :
• \(\overrightarrow{AM}\cdot\vec u=a\) : un plan orthogonal à
\(\vec u\) ;
• \(MA^2+MB^2=b\) : une sphère de centre le milieu de
\([AB]\) (à condition que \(b\) soit assez grand) ;
• \(MA^2-MB^2=c\) : un plan orthogonal à \((AB)\).
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Voir les offresDroites et plans de l'espace : représentations, positions relatives, intersections
La droite \(D\) passant par \(A(x_A;y_A;z_A)\) et dirigée par \(\vec u(a;b;c)\) admet pour représentation paramétrique, \(t\in\mathbb R\) :
\[ \begin{cases} x=x_A+ta \\ y=y_A+tb \\ z=z_A+tc \end{cases} \]Chaque valeur de \(t\) donne un point de \(D\) ; \(t=0\) redonne \(A\).
Droite \(D\) passant par \(A(1;-2;3)\), dirigée par \(\vec u(2;1;-1)\) : \(x=1+2t,\ y=-2+t,\ z=3-t\). Pour \(t=1\) : le point \((3;-1;2)\) appartient à \(D\).
Le plan \(P\) passant par \(A(x_A;y_A;z_A)\), de vecteurs directeurs \(\vec u(a_1;b_1;c_1)\) et \(\vec v(a_2;b_2;c_2)\) non colinéaires, admet pour représentation paramétrique, \((t,t')\in\mathbb R^2\) :
\[ \begin{cases} x=x_A+ta_1+t'a_2 \\ y=y_A+tb_1+t'b_2 \\ z=z_A+tc_1+t'c_2 \end{cases} \]\(P\) admet aussi une équation cartésienne de la forme \(\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0\), où \((\alpha;\beta;\gamma)\neq(0;0;0)\). Un point \(M(x;y;z)\) appartient à \(P\) si et seulement si ses coordonnées vérifient cette équation.
Plan \(P:\ 2x-y+3z-4=0\). Le point \(M(1;0;\tfrac23)\) : on remplace, \(2(1)-0+3(\tfrac23)-4=2+2-4=0\) ✓ : \(M\in P\). Le point \(N(1;1;1)\) : \(2-1+3-4=0\) ✓ : \(N\in P\) également.
Une droite et un plan sont soit sécants (un seul point commun), soit parallèles — la droite est alors incluse dans le plan ou strictement en dehors. Deux plans sont soit sécants (leur intersection est une droite), soit parallèles (confondus ou disjoints). Une projection sur un plan parallèlement à une droite (ou sur une droite parallèlement à un plan) conserve l'équipollence des bipoints, le parallélisme, l'alignement et les milieux.
- Deux droites de l'espace qui ne sont pas parallèles ne sont pas forcément sécantes : elles peuvent être non coplanaires (« gauches »), cas qui n'existe pas dans le plan.
- Pour qu'une droite soit incluse dans un plan, il ne suffit pas qu'elle lui soit parallèle : il faut en plus qu'un de ses points appartienne au plan.
Deux droites de vecteurs directeurs \(\vec u,\vec v\) sont orthogonales si \(\vec u\cdot\vec v=0\) (même si elles ne se coupent pas — cas des droites gauches orthogonales). Une droite de vecteur directeur \(\vec u\) est orthogonale à un plan \(P\) si \(\vec u\) est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de \(P\) — elle l'est alors à tout vecteur de \(P\).
Un vecteur \(\vec n\) est normal au plan \(P\) s'il est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de \(P\) (donc à toute droite de \(P\)). Le plan \(\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0\) admet \(\vec n(\alpha;\beta;\gamma)\) pour vecteur normal — lecture directe sur l'équation. Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
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Voir les offresFigure — Plan \(P\) et son vecteur normal \(\vec n\)
\(\vec n\) est orthogonal à toute droite tracée dans le plan \(P\), quelle que soit sa direction.
Résultat admis. Un angle droit se projette orthogonalement sur un plan suivant un angle droit si et seulement si l'un au moins de ses côtés est parallèle au plan de projection. Sans cette condition, l'angle projeté peut être quelconque — c'est un piège classique en représentation en perspective.
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Voir les offresDroites : représentation paramétrique, équation cartésienne, parallélisme, orthogonalité
Rappel de SecondeUn vecteur directeur d'une droite \(d\) est un vecteur non nul colinéaire à \(d\). Si \(A(x_A;y_A)\in d\) et \(\vec u(a;b)\) est un vecteur directeur, un point \(M(x;y)\) appartient à \(d\) si et seulement s'il existe \(t\in\mathbb{R}\) tel que :
\[ \begin{cases} x = x_A + ta \\ y = y_A + tb \end{cases} \]C'est une représentation paramétrique de \(d\).
En éliminant \(t\), on obtient une équation cartésienne de la forme \(\alpha x+\beta y+\gamma=0\), avec \(\vec u(-\beta;\alpha)\) vecteur directeur. Si \(\beta\ne0\), on peut écrire \(y=mx+p\) avec \(m=-\alpha/\beta\) le coefficient directeur : \(\vec u(1;m)\) est alors un vecteur directeur.
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Voir les offresRésumé
Orthogonale à deux droites sécantes du plan ⟹ orthogonale au plan entier.
\(d<R\) : cercle de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).
\(d=R\) : un seul point, plan orthogonal au rayon en ce point.
\(d>R\) : aucune intersection.
\(a\vec u+b\vec v+c\vec w=\vec 0\) avec \(a,b,c\) non tous nuls.
\((x_A+ta,\ y_A+tb,\ z_A+tc)\), point + vecteur directeur.
Paramétrique (point + 2 vecteurs) ou cartésienne \(\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0\).
Non parallèles et non sécantes — spécifique à l'espace.
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Voir les offresSujet type devoir
Question 1. Sphère de centre \(O\) et de rayon \(R=13\). Un plan \(P_1\) est à distance \(d_1=5\) de \(O\). Quelle est la nature de la section ? Donner son rayon.
\(d_1=5<13=R\) : plan sécant. Rayon \(r=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\).
Question 2. Un plan \(P_2\) est à distance \(d_2=13\) de \(O\). Quelle est la nature de la section ?
\(d_2=13=R\) : plan tangent à la sphère en un unique point.
Question 3. Un plan \(P_3\) est à distance \(d_3=15\) de \(O\). Quelle est la nature de la section ?
\(d_3=15>13=R\) : plan extérieur à la sphère, aucune intersection.
Question 1. Donner une représentation paramétrique de la droite \(D\) passant par \(A(0;1;2)\) et \(B(3;-1;1)\).
\(\overrightarrow{AB}(3;-2;-1)\) dirige \(D\) : \(x=3t,\ y=1-2t,\ z=2-t\), \(t\in\mathbb R\).
Question 2. Le point \(C(1;1;2)\) appartient-il au plan \(P:\ x+2y-z-1=0\) ?
\(1+2(1)-2-1=1+2-2-1=0\) ✓ : \(C\in P\).
Question 3. Les vecteurs \(\vec u(1;1;0)\), \(\vec v(0;1;1)\), \(\vec w(2;4;2)\) sont-ils coplanaires ?
Cherchons \(a,b\) : \(\vec w=a\vec u+b\vec v\) donne \(2=a\), \(4=a+b\Rightarrow b=2\), \(2=b=2\) ✓. Cohérent sur les trois coordonnées : oui, coplanaires (\(\vec w=2\vec u+2\vec v\)).
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