Première C · Leçon 3
Limites – continuité
Ce que dit le programme officiel (17 points)
- Notion de limite d’une fonction
- Limites et opérations
- Limite à gauche, à droite
- Extension de la notion de limite
- Établir le comportement des fonctions de référence x ↦ x² ; x ↦ 1/x ; x ↦ √x ; x ↦ x³ ; x ↦ 1/x² ; x ↦ 1/x³ ; x ↦ 1/√x quand |x| devient « grand » ou « petit »
- Définir la limite d’une fonction en + ∞, en – ∞ ou en un réel
- Reconnaître et utiliser la propriété « Si f est définie en x₀ et admet une limite l en x₀ alors l = f(x₀) »
- Calculer la limite d’une fonction à l’aide des opérations algébriques
- Déterminer la limite d’une fonction par comparaison avec une fonction dont on a déterminé la limite
- Limite : on admet l’unicité de la limite
- Limite : la définition de la limite par un couple de lettres grecques est hors programme
- Continuité d’une fonction en un point
- Continuité sur un intervalle
- Étudier la continuité d’une fonction en un point, sur un intervalle
- Limite : pour la continuité sur un intervalle, on étudie les cas d’intervalles ouverts, fermés, semi-ouverts
- Prolongement par continuité
- Déterminer le prolongement par continuité d’une fonction en un point donné
Source : Programme de mathématiques, classe de Première C, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Limites des fonctions de référence en l'infini et en un réel
Si \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell\) (fini), \(y=\ell\) est asymptote horizontale. Si \(f\) admet une limite infinie en un réel \(a\), \(x=a\) est asymptote verticale.
Soit \(m(x)=\dfrac{3x-1}{x-2}\), définie sur \(\mathbb R\setminus\{2\}\). En écrivant \(3x-1=3(x-2)+5\) :
\[ m(x)=3+\dfrac5{x-2}. \]Quand \(x\to\pm\infty\), \(m(x)\to3\) (asymptote \(y=3\)). Quand \(x\to2^+\), \(m(x)\to+\infty\) ; quand \(x\to2^-\), \(m(x)\to-\infty\) (asymptote \(x=2\)).
Figure — Courbe de \(m(x)=\dfrac{3x-1}{x-2}\) et ses deux asymptotes
Asymptote verticale \(x=2\) et asymptote horizontale \(y=3\), toutes deux en pointillés.
Les limites d'une somme, d'un produit, d'un inverse, d'un quotient se combinent. Théorème de comparaison : si \(f(x)\geqslant u(x)\) au voisinage de \(+\infty\) et \(\displaystyle\lim u(x)=+\infty\), alors \(\displaystyle\lim f(x)=+\infty\) ; si \(|f(x)|\leqslant u(x)\) au voisinage d'un point et \(\displaystyle\lim u(x)=0\), alors \(\displaystyle\lim f(x)=0\).
Exemple. Pour \(x>0\), \(\left|\dfrac{2+\cos x}x\right|\leqslant\dfrac3x\) (car \(1\leqslant2+\cos x\leqslant3\)), et \(\dfrac3x\to0\), donc par comparaison \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2+\cos x}x=0\).
Continuité en un point et sur un intervalle, types de discontinuité
Intuitivement, une fonction est continue sur un intervalle si l'on peut tracer sa courbe sur cet intervalle sans lever le crayon. Cette image est utile, mais elle ne suffit pas pour démontrer : on définit la continuité à l'aide des limites. La continuité sert ensuite à justifier l'existence de solutions d'équations et à étudier des fonctions définies « par morceaux », c'est-à-dire par des formules différentes selon les valeurs de \(x\).
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(x_0\) un réel de \(I\).
- \(f\) est continue en \(x_0\) lorsque \(f\) admet une limite en \(x_0\) et que cette limite est égale à \(f(x_0)\) : \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\).
- Lorsque \(x_0\) n'est pas une borne de \(I\), cela revient à dire que la limite à gauche et la limite à droite en \(x_0\) existent et sont toutes deux égales à \(f(x_0)\) : \(\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)\).
- \(f\) est continue sur l'intervalle \(I\) lorsqu'elle est continue en chaque point de \(I\).
Sinon, on dit que \(f\) est discontinue en \(x_0\). On ne parle de continuité qu'en un point où la fonction est définie.
- Les fonctions polynômes sont continues sur \(\mathbb{R}\).
- Les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition. Par exemple, \(x\mapsto\dfrac1x\) est continue sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]0\,;+\infty[\) ; elle n'est pas définie en \(0\), donc la question de la continuité en \(0\) ne se pose pas.
- La fonction \(x\mapsto\sqrt x\) est continue sur \([0\,;+\infty[\), et les fonctions \(x\mapsto\cos x\) et \(x\mapsto\sin x\) sont continues sur \(\mathbb{R}\).
- La somme, le produit et le quotient (quand le dénominateur ne s'annule pas) de fonctions continues sont continus.
Conséquence pratique : pour une fonction définie par une seule formule polynôme ou rationnelle, la continuité est acquise sur chaque intervalle où elle est définie. Le travail porte sur les points de « raccord » d'une fonction définie par morceaux.
Types de discontinuité. En un point \(x_0\) où \(f\) est définie, une discontinuité peut se produire de deux façons principales :
- discontinuité par saut : les limites à gauche et à droite existent mais sont différentes (exemple 2 ci-dessous) ;
- valeur isolée : les limites à gauche et à droite sont égales, mais différentes de \(f(x_0)\) (voir le piège).
Il arrive aussi qu'une limite à gauche ou à droite soit infinie : la fonction n'a alors pas de limite finie en \(x_0\) et ne peut pas y être continue.
Soit \(f\) définie par \(f(x)=u(x)\) si \(x\lt x_0\) et \(f(x)=v(x)\) si \(x\ge x_0\), avec \(u\) et \(v\) continues.
- Calcule \(f(x_0)\) avec la formule qui contient \(x_0\) : ici \(f(x_0)=v(x_0)\).
- Calcule la limite à gauche : \(\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}u(x)=u(x_0)\), car \(u\) est continue.
- Calcule la limite à droite : \(\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=v(x_0)\).
- Conclus : \(f\) est continue en \(x_0\) si et seulement si ces trois nombres sont égaux.
Si un paramètre intervient dans une formule, écris l'égalité des limites et résous l'équation obtenue pour trouver la valeur qui rend \(f\) continue.
Énoncé : Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x+1\) si \(x\lt 1\) et \(f(x)=3-x\) si \(x\ge1\). Étudie la continuité de \(f\) en \(1\), puis sur \(\mathbb{R}\).
Solution : On a \(f(1)=3-1=2\). Limite à gauche : \(\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2\). Limite à droite : \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to1}(3-x)=2\). Les trois valeurs sont égales, donc \(f\) est continue en \(1\).
Sur \(]-\infty\,;1[\) et sur \(]1\,;+\infty[\), \(f\) est définie par un polynôme, donc elle est continue. Avec la continuité en \(1\), \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) : sa courbe est formée de deux demi-droites qui se rejoignent au point \((1\,;2)\).
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Voir les offresDiscontinuité par saut de \(g\) en \(2\)
Le point plein \((2\,;4)\) appartient à la courbe ; le point vide \((2\,;3)\) n'en fait pas partie. Il faut lever le crayon en \(x=2\) : \(g\) n'est pas continue en \(2\).
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Voir les offresUne fonction peut avoir des limites à gauche et à droite égales sans être continue. Soit \(k\) définie par \(k(x)=x+1\) si \(x\neq1\) et \(k(1)=5\). On a \(\lim\limits_{x\to1^-}k(x)=\lim\limits_{x\to1^+}k(x)=2\), mais \(k(1)=5\neq2\) : \(k\) n'est pas continue en \(1\). Sa courbe est la droite \(y=x+1\) privée du point \((1\,;2)\), plus un point isolé \((1\,;5)\). Il faut toujours comparer les limites à la valeur \(f(x_0)\).
Autre erreur fréquente : dire que \(x\mapsto\dfrac1x\) est « discontinue en \(0\) ». Elle n'est pas définie en \(0\) ; elle est continue sur chacun des intervalles où elle est définie.
À un point de raccord \(x_0\), écris toujours trois lignes : la valeur \(f(x_0)\), la limite à gauche, la limite à droite. Conclus ensuite en une phrase. Cette présentation montre au correcteur que tu as vérifié les trois conditions, et elle évite de confondre la formule valable à gauche et celle valable à droite.
Théorèmes de comparaison et des gendarmes
Les règles sur les sommes, les produits et les quotients ne suffisent pas toujours pour trouver une limite. La fonction \(x\mapsto x+\sin x\), par exemple, contient un terme qui oscille sans cesse et n'a pas de limite en \(+\infty\). On s'en sort en comparant la fonction à une autre, plus simple, dont on connaît la limite : si une fonction est plus grande qu'une fonction qui devient immense, elle devient immense aussi ; si elle est coincée entre deux fonctions qui se rapprochent d'un même nombre, elle s'en rapproche également.
Les fonctions \(f\), \(g\) et \(h\) sont définies sur un intervalle \([A\,;+\infty[\).
Minoration. Si \(f(x)\geq g(x)\) pour tout \(x\) assez grand et si \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}g(x)=+\infty\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty\).
Majoration. Si \(f(x)\leq g(x)\) pour tout \(x\) assez grand et si \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}g(x)=-\infty\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty\).
Encadrement (théorème « des gendarmes »). Si \(g(x)\leq f(x)\leq h(x)\) pour tout \(x\) assez grand et si \(g\) et \(h\) ont la même limite finie \(\ell\) en \(+\infty\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=\ell\).
Forme pratique de l'encadrement. Si \(|f(x)-\ell|\leq g(x)\) pour tout \(x\) assez grand et si \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}g(x)=0\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=\ell\).
Ces énoncés restent vrais en \(-\infty\) et en un réel \(a\) : il suffit que les inégalités soient vraies pour les \(x\) concernés (les \(x\) très négatifs, ou les \(x\) proches de \(a\)).
Figure — Une fonction coincée entre deux fonctions de même limite
En bleu marine, la courbe de la fonction qui à x associe sin x divisé par x, pour x positif. Elle oscille, mais reste entre la courbe de 1/x (en or, au-dessus) et celle de −1/x (en or, au-dessous). Ces deux courbes se rapprochent de l'axe des abscisses : la courbe bleue, coincée entre elles, s'en rapproche aussi. La limite est 0.
1. Repérer le terme qui gêne. C'est en général un terme borné qui n'a pas de limite : \(\cos x\), \(\sin x\), \((-1)^n\)… On écrit son encadrement : \(-1\leq\cos x\leq 1\) et \(-1\leq\sin x\leq 1\) pour tout réel \(x\).
2. Construire l'inégalité sur \(f(x)\). On ajoute, on multiplie ou on divise les membres de l'encadrement pour faire apparaître \(f(x)\). Multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens des inégalités : on précise donc le signe de ce par quoi on multiplie.
3. Choisir le théorème. Si l'on attend \(+\infty\), une minoration suffit ; si l'on attend \(-\infty\), une majoration suffit ; si l'on attend un nombre \(\ell\), il faut un encadrement des deux côtés, ou une majoration de \(|f(x)-\ell|\).
4. Calculer la limite des fonctions de comparaison, avec les règles habituelles, puis conclure en citant le théorème utilisé.
Énoncé. Déterminer la limite en \(+\infty\) de \(f(x)=x+\sin x\), puis celle de \(g(x)=-x^2+3\cos x\).
Solution : Pour tout réel \(x\), \(\sin x\geq -1\), donc \(f(x)\geq x-1\). Or \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(x-1)=+\infty\). Par minoration, \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty\).
Pour tout réel \(x\), \(\cos x\leq 1\), donc \(3\cos x\leq 3\) et \(g(x)\leq -x^2+3\). Or \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(-x^2+3)=-\infty\). Par majoration, \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}g(x)=-\infty\).
Dans les deux cas, une seule inégalité a suffi : celle qui « pousse » la fonction du bon côté.
Figure — La courbe de x + sin x reste au-dessus de la droite y = x − 1
En bleu marine, la courbe de la fonction f de l'exemple 1 ; en or, la droite d'équation y = x − 1. La courbe ondule mais ne passe jamais sous la droite. Comme la droite monte sans limite, la courbe monte sans limite elle aussi : c'est le théorème de minoration.
Énoncé. a) Déterminer la limite en \(+\infty\) de \(f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\). b) Déterminer la limite en 0 de \(g(x)=x\sin\dfrac1x\), définie pour \(x\neq 0\).
Solution : a) Pour tout réel \(x\), \(-1\leq\sin x\leq 1\). Pour \(x\gt 0\), on divise par \(x\), qui est positif : le sens est conservé et \(-\dfrac1x\leq f(x)\leq\dfrac1x\). Or \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(-\dfrac1x\right)=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac1x=0\). D'après le théorème d'encadrement, \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=0\).
b) Pour tout \(x\neq 0\), \(\left|\sin\dfrac1x\right|\leq 1\), donc \(|g(x)|=|x|\times\left|\sin\dfrac1x\right|\leq |x|\). Or \(\displaystyle\lim_{x\to 0}|x|=0\). D'après la forme pratique de l'encadrement, avec \(\ell=0\), on obtient \(\displaystyle\lim_{x\to 0}g(x)=0\).
Dans le b), la valeur absolue évite de distinguer les \(x\) positifs et les \(x\) négatifs.
Énoncé. Déterminer la limite en \(+\infty\) de \(f(x)=\dfrac{2x+\cos x}{x+1}\).
Solution : Pour tout réel \(x\), \(-1\leq\cos x\leq 1\), donc \(2x-1\leq 2x+\cos x\leq 2x+1\). Pour \(x\gt -1\), le dénominateur \(x+1\) est strictement positif ; on divise sans changer le sens :
\[\frac{2x-1}{x+1}\leq f(x)\leq\frac{2x+1}{x+1}.\]Les deux fonctions qui encadrent \(f\) sont des quotients de polynômes de même degré. On écrit \(\dfrac{2x-1}{x+1}=2-\dfrac{3}{x+1}\) et \(\dfrac{2x+1}{x+1}=2-\dfrac{1}{x+1}\) : comme \(\dfrac{1}{x+1}\) tend vers 0, elles tendent toutes les deux vers 2. D'après le théorème d'encadrement, \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=2\).
Conclure avec un encadrement dont les bornes n'ont pas la même limite. De \(-1\leq\cos x\leq 1\), on ne peut rien tirer sur la limite de \(\cos x\) en \(+\infty\) : les bornes tendent vers \(-1\) et vers 1. D'ailleurs \(\cos x\) n'a pas de limite en \(+\infty\) : il reprend sans cesse les valeurs 1 et \(-1\).
Utiliser une minoration qui ne tend pas vers l'infini. Savoir que \(f(x)\geq 3-\dfrac1x\) ne donne pas la limite de \(f\) : la fonction \(f(x)=x\) vérifie cette inégalité pour \(x\geq 3\) et tend vers \(+\infty\), la fonction constante égale à 5 la vérifie aussi et tend vers 5. On sait seulement que la limite, si elle existe, est au moins 3.
Oublier de changer le sens en divisant par un négatif. En \(-\infty\), \(x\) est négatif : diviser \(-1\leq\sin x\leq 1\) par \(x\) donne \(\dfrac1x\leq\dfrac{\sin x}{x}\leq-\dfrac1x\).
Écrire la limite d'un terme qui n'en a pas. On n'écrit jamais « \(\lim\sin x\) » en \(+\infty\). C'est justement parce que cette limite n'existe pas que l'on compare.
Prolongement et recollement par continuité
Il arrive souvent qu’une fonction soit donnée par une formule qui n’a pas de sens en un point précis, ou bien par plusieurs formules sur des intervalles différents. Dans ces situations, on cherche à savoir si l’on peut compléter la définition de la fonction sans créer de rupture. Le prolongement et le recollement par continuité servent précisément à construire une fonction continue à partir d’expressions partielles.
Soit une fonction \(f\) définie sur un ensemble \(D\), et soit \(E\) un ensemble tel que \(D \subset E\). On dit qu’une fonction \(g\) définie sur \(E\) est un prolongement de \(f\) à \(E\) lorsque, pour tout \(x \in D\), on a \(g(x)=f(x)\). Autrement dit, \(g\) coïncide avec \(f\) sur l’ensemble où \(f\) était déjà définie ; elle ajoute seulement de nouvelles valeurs sur \(E\setminus D\).
On parle de prolongement par continuité en un point \(a\) lorsque la fonction n’était pas définie en \(a\), mais qu’il existe une valeur à donner à \(f(a)\) pour obtenir une fonction continue en \(a\). En pratique, si les valeurs de \(f(x)\) se rapprochent d’un même nombre \(\ell\) lorsque \(x\) se rapproche de \(a\), alors on définit la nouvelle fonction \(g\) par \(g(x)=f(x)\) pour \(x\neq a\) et \(g(a)=\ell\).
Le recollement par continuité concerne une fonction définie par morceaux. Supposons par exemple qu’une expression soit donnée à gauche d’un nombre \(a\), et une autre à droite. Recoler par continuité en \(a\), c’est choisir les valeurs au point de raccord, ou les paramètres éventuels, de sorte qu’il n’y ait pas de saut sur la courbe. Graphiquement, la courbe doit se rejoindre sans trou ni cassure au point d’abscisse \(a\).
1) Unicité du prolongement par continuité. S’il existe un prolongement par continuité d’une fonction en un point \(a\), alors ce prolongement est unique en ce point. En effet, la continuité impose nécessairement la valeur à donner : cette valeur doit être égale au nombre vers lequel \(f(x)\) tend quand \(x\) s’approche de \(a\). On ne peut donc pas choisir deux valeurs différentes.
2) Critère pratique de prolongement. Si, pour \(x\neq a\), on peut transformer l’expression de \(f(x)\) en une expression \(\varphi(x)\) définie et continue en \(a\), alors on obtient le prolongement par continuité en posant \(g(a)=\varphi(a)\). C’est le cas classique des formes du type \(\dfrac{x^2-9}{x-3}\), qui se simplifient en \(x+3\) pour \(x\neq 3\).
3) Critère de recollement en un point. Si une fonction \(h\) est définie par une expression à gauche de \(a\) et une autre à droite de \(a\), alors pour que \(h\) soit continue en \(a\), il faut que les deux côtés donnent la même valeur au raccord. En termes usuels : la valeur obtenue à gauche, la valeur au point \(a\) s’il y en a une, et la valeur obtenue à droite doivent coïncider. Si l’une des deux expressions vaut \(2\) au raccord et l’autre \(5\), aucun recollement continu n’est possible.
Idée de justification. La continuité signifie qu’au voisinage de \(a\), les valeurs de la fonction restent proches d’une seule et même valeur. S’il y avait deux valeurs différentes selon le côté d’où l’on approche \(a\), la courbe présenterait une rupture ; on ne pourrait donc pas parler de continuité au point de raccord.
Pour prolonger une fonction par continuité en un point :
- Repère le point où la fonction n’est pas définie, par exemple \(a\).
- Travaille l’expression algébrique pour \(x\neq a\) : factorisation, simplification, mise sous une forme connue.
- Cherche la valeur que prendrait naturellement l’expression au point \(a\) si la simplification restait valable. Cette valeur est la seule candidate possible.
- Définis une nouvelle fonction \(g\) en gardant \(g(x)=f(x)\) pour \(x\neq a\) et en posant \(g(a)\) égal à la valeur trouvée.
- Conclue en expliquant pourquoi \(g\) est continue : le plus souvent, \(g\) coïncide alors avec une expression simple continue sur tout l’intervalle.
Pour recoller une fonction définie par morceaux :
- Repère le ou les points de raccord.
- Calcule la valeur donnée par l’expression de gauche au point de raccord, ou la valeur vers laquelle elle conduit.
- Calcule de même la valeur donnée par l’expression de droite.
- Impose l’égalité de ces valeurs. S’il y a un paramètre, on résout l’équation obtenue ; s’il y a plusieurs paramètres, on obtient souvent un système.
- Vérifie enfin que la fonction ainsi obtenue ne présente aucune rupture au point considéré.
Le réflexe essentiel est donc : au point de raccord, tout doit coïncider.
Énoncé. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\) par \(f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}\). Détermine un prolongement de \(f\) à \(\mathbb{R}\) qui soit continu en \(3\).
Solution : Pour \(x\neq 3\), on factorise le numérateur :
\[x^2-9=(x-3)(x+3).\]
Donc, pour \(x\neq 3\),
\[f(x)=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.\]
Ainsi, sur son domaine de définition, la fonction \(f\) coïncide avec la fonction \(x\mapsto x+3\). Or cette dernière est définie et continue pour tout réel, en particulier en \(x=3\). On calcule alors la valeur à donner au point manquant :
\[3+3=6.\]
On définit donc la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R}\) par
\[g(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-9}{x-3} & \text{si } x\neq 3,\\6 & \text{si } x=3.\end{cases}\]
Comme, pour tout réel \(x\), on a en réalité \(g(x)=x+3\), la fonction \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}\). C’est le prolongement par continuité de \(f\) en \(3\).
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Voir les offresErreur 1 : croire qu’un prolongement consiste à mettre n’importe quelle valeur au point manquant. C’est faux. Si \(f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}\) pour \(x\neq 1\), alors pour \(x\neq 1\), on a \(f(x)=x+1\). Le prolongement par continuité impose donc la valeur \(2\) en \(1\). Si tu définis au contraire \(g(1)=5\), tu obtiens bien un prolongement au sens large, mais pas un prolongement par continuité, car il reste une rupture en \(1\).
Erreur 2 : ne vérifier qu’un seul côté au point de raccord. Pour une fonction définie par morceaux, il faut comparer les deux côtés. Par exemple, si
\[u(x)=\begin{cases}x+1 & \text{si } x<0,\\x+2 & \text{si } x\ge 0,\end{cases}\]
alors à gauche de \(0\), on obtient \(1\), tandis qu’à droite et au point \(0\), on obtient \(2\). Les deux valeurs ne coïncident pas ; il y a donc un saut, et aucun recollement continu n’est possible avec cette définition.
Erreur 3 : simplifier une expression puis oublier la condition \(x\neq a\). Quand on écrit \(\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\), cette égalité n’est valable que pour \(x\neq 3\). C’est seulement ensuite que l’on ajoute la valeur manquante pour construire le prolongement.
Un bon réflexe est de chercher si la difficulté vient seulement d’un facteur qui s’annule au dénominateur. Très souvent, une factorisation permet de faire apparaître une expression plus simple, définie au point problématique. Quand c’est le cas, cette expression simple donne immédiatement la valeur du prolongement par continuité.
Graphiquement, un prolongement par continuité correspond souvent à un trou sur une courbe que l’on peut combler par un seul point. Un recollement par continuité correspond à deux morceaux de courbe qui doivent se rejoindre exactement au point de raccord. Si tu vois un saut vertical ou une cassure, le recollement n’est pas continu.
Enfin, lorsqu’il y a plusieurs paramètres, pense à écrire une condition de continuité pour chaque point de raccord. On obtient alors une ou plusieurs équations à résoudre de façon organisée.
Résumé
\(f(x)\geq g(x)\) et \(g\) tend vers \(+\infty\) : \(f\) tend vers \(+\infty\).
\(f(x)\leq g(x)\) et \(g\) tend vers \(-\infty\) : \(f\) tend vers \(-\infty\).
\(g(x)\leq f(x)\leq h(x)\), \(g\) et \(h\) de même limite \(\ell\) : \(f\) tend vers \(\ell\).
\(|f(x)-\ell|\leq g(x)\) et \(g\) tend vers 0 : \(f\) tend vers \(\ell\).
\(-1\leq\cos x\leq 1\) et \(-1\leq\sin x\leq 1\) ; attention au signe quand on multiplie ou divise.
\(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell\) fini \(\Rightarrow y=\ell\).
Limite infinie en \(a\) \(\Rightarrow x=a\).
\(|f-\ell|\leqslant u\) et \(u\to0\) \(\Rightarrow f\to\ell\).
Même sens ⟹ croissante ; sens opposés ⟹ décroissante.
Sujet type devoir
Question 1. Soit \(s(x)=\dfrac{4x-1}{x+3}\). Écrire \(s(x)\) sous la forme \(4+\dfrac c{x+3}\), puis déterminer ses limites en \(\pm\infty\).
\(4x-1=4(x+3)-13\), donc \(s(x)=4-\dfrac{13}{x+3}\). Limites en \(\pm\infty\) : \(4\) (asymptote \(y=4\)).
Question 2. Déterminer les limites de \(s\) en \((-3)^-\) et \((-3)^+\).
Quand \(x\to(-3)^+\), \(\dfrac{13}{x+3}\to+\infty\), donc \(s(x)\to-\infty\). Quand \(x\to(-3)^-\), \(s(x)\to+\infty\). Asymptote \(x=-3\).
Question 3. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3+\sin x}x\).
\(2\leqslant3+\sin x\leqslant4\), donc \(\left|\dfrac{3+\sin x}x\right|\leqslant\dfrac4x\) pour \(x>0\). Comme \(\dfrac4x\to0\), la limite vaut \(0\) par comparaison.