Première C · Leçon 10
Angles orientés et trigonométrie
Ce que dit le programme officiel (16 points)
- Angles orientés d’un couple de vecteurs non nuls ou de demi-droites
- Relation de Chasles
- Angle orienté inscrit dans un cercle
- Théorème des angles inscrits et de l’angle au centre
- Théorème sur la cocyclicité
- Arcs capables
- Utiliser la relation de Chasles dans la résolution des problèmes
- Utiliser ces théorèmes dans la résolution des problèmes
- Trigonométrie : angles associés
- Utiliser les lignes trigonométriques des angles associés dans la résolution des problèmes
- Formules usuelles pour la somme, la différence et le double de mesures d’angles : cosinus, sinus et tangente d’une somme, d’une différence ; cosinus, sinus et tangente du double
- Retrouver ces formules et les utiliser
- Équations et inéquations trigonométriques
- Résolution d’équations et d’inéquations des types suivants : cos x = a, sin x = a, tan x = a, cos x < a, sin x ≥ a, tan x < a, a cos x + b sin x = c
- Résoudre ces équations et inéquations trigonométriques
- Limite : le commentaire indique « Le cas général a cos x + b sin x = c ne sera pas traité », alors que ce type figure dans la colonne des contenus
Source : Programme de mathématiques, classe de Première C, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Bases orthonormées directes et angle orienté de deux vecteurs
Étant donné un vecteur unitaire \(\vec\imath\), il existe un seul vecteur unitaire \(\vec\jmath\) tel que \((\vec\imath,\vec\jmath)\) soit une base orthonormée directe (obtenu par rotation de \(+90°\)). Pour deux vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\) donnés par leurs coordonnées dans une base orthonormée directe :
\[ \cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}, \qquad \sin\theta=\dfrac{\det(\vec u,\vec v)}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}, \]où \(\theta=(\vec u,\vec v)\) est l'angle orienté des deux vecteurs et \(\det(\vec u,\vec v)=x_uy_v-y_ux_v\).
\(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires si et seulement si \(\det(\vec u,\vec v)=0\) (angle \(0\) ou \(\pi\)). Ils sont orthogonaux si et seulement si \(\vec u\cdot\vec v=0\) (angle \(\pm\dfrac\pi2\)). Aussi, si \(\vec u'\) est colinéaire à \(\vec u\) et \(\vec v'\) colinéaire à \(\vec v\) (même sens), l'angle double \(2(\vec u',\vec v')=2(\vec u,\vec v)\) : seul l'angle « doublé » est conservé, pas l'angle lui-même si l'un des deux sens est inversé.
Soit \(\vec u(3;4)\) et \(\vec v(4;-3)\). \(\vec u\cdot\vec v=3\times4+4\times(-3)=12-12=0\) : les deux vecteurs sont orthogonaux. On vérifie : \(\|\vec u\|=\|\vec v\|=5\), \(\det(\vec u,\vec v)=3\times(-3)-4\times4=-25\), donc \(\sin\theta=\dfrac{-25}{25}=-1\) : \(\theta=-\dfrac\pi2\), cohérent avec l'orthogonalité.
Figure — \(\vec u(3;4)\) et \(\vec v(4;-3)\), orthogonaux
Les deux vecteurs, tous deux de norme \(5\), forment un angle droit — conforme au produit scalaire nul.
- L'angle orienté \((\vec u,\vec v)\) n'est pas égal à \((\vec v,\vec u)\) : leur sinus est opposé — l'ordre des deux vecteurs compte.
- \(\det(\vec u,\vec v)=0\) donne la colinéarité, alors que \(\vec u\cdot\vec v=0\) donne l'orthogonalité — les deux conditions sont faciles à confondre car elles se calculent de façon très similaire.
Angle inscrit et cocyclicité
Dans un cercle de centre \(O\), pour deux points \(A\), \(B\) fixés et un point \(M\) mobile sur un même arc, l'angle inscrit \(\widehat{AMB}\) est constant, et vaut la moitié de l'angle au centre \(\widehat{AOB}\) interceptant le même arc.
Figure — Angle au centre et angle inscrit interceptant le même arc
L'angle inscrit \(\widehat{AMB}\) vaut exactement la moitié de l'angle au centre \(\widehat{AOB}\).
Arc capable
D'où faut-il se placer pour voir un segment \([AB]\) sous un angle donné ? Un photographe qui veut cadrer une façade, un marin qui relève deux phares se posent cette question. La réponse est un arc de cercle, que l'on appelle arc capable. Il se déduit directement du théorème de l'angle inscrit.
Soit \(A\) et \(B\) deux points distincts du plan orienté et \(\alpha\) un réel. On cherche l'ensemble des points \(M\), distincts de \(A\) et de \(B\), tels que
\[(\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\equiv\alpha\;[2\pi].\]Lorsque \(\alpha\) n'est pas un multiple de \(\pi\), cet ensemble est un arc de cercle d'extrémités \(A\) et \(B\), privé de \(A\) et de \(B\). On l'appelle l'arc capable de l'angle \(\alpha\) construit sur \([AB]\) : c'est l'ensemble des points d'où l'on « voit » le segment \([AB]\) sous l'angle orienté \(\alpha\).
Les points \(A\) et \(B\) eux-mêmes sont exclus, car l'angle \((\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\) n'est pas défini lorsque l'un des deux vecteurs est nul.
Soit \(A\) et \(B\) deux points distincts et \(\alpha\) un réel.
1. Si \(\alpha\) n'est pas un multiple de \(\pi\). Soit \(\mathcal{C}\) le cercle passant par \(A\) et \(B\) dont la tangente \((AT)\) en \(A\) vérifie \((\overrightarrow{AT}\,;\overrightarrow{AB})\equiv\alpha\;[\pi]\).
- L'ensemble des points \(M\) tels que \((\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\equiv\alpha\;[\pi]\) est le cercle \(\mathcal{C}\) privé de \(A\) et de \(B\).
- L'ensemble des points \(M\) tels que \((\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\equiv\alpha\;[2\pi]\) est l'un des deux arcs de \(\mathcal{C}\) d'extrémités \(A\) et \(B\) (privé de \(A\) et \(B\)). Sur l'autre arc, l'angle vaut \(\alpha+\pi\) modulo \(2\pi\).
Le centre \(O\) de \(\mathcal{C}\) est le point de la médiatrice de \([AB]\) tel que \((\overrightarrow{OA}\,;\overrightarrow{OB})\equiv 2\alpha\;[2\pi]\) (angle au centre), et son rayon est
\[R=\frac{AB}{2\,|\sin\alpha|}.\]2. Si \(\alpha\equiv 0\;[2\pi]\) : les vecteurs \(\overrightarrow{MA}\) et \(\overrightarrow{MB}\) sont colinéaires de même sens ; l'ensemble est la droite \((AB)\) privée du segment \([AB]\).
3. Si \(\alpha\equiv\pi\;[2\pi]\) : ils sont colinéaires de sens contraires ; l'ensemble est le segment \([AB]\) privé de \(A\) et de \(B\).
Cas remarquable. Pour \(\alpha=\dfrac{\pi}{2}\) ou \(\alpha=-\dfrac{\pi}{2}\), on trouve \(R=\dfrac{AB}{2}\) : l'arc capable est un demi-cercle de diamètre \([AB]\).
On suppose \(0\lt\alpha\lt\pi\). Lorsqu'on parcourt la droite \((AB)\) de \(A\) vers \(B\), l'arc capable de l'angle \(\alpha\) est situé à gauche : pour ses points, le triangle \(MAB\) est de sens direct. La demi-tangente \([AT)\) telle que \((\overrightarrow{AT}\,;\overrightarrow{AB})\equiv\alpha\;[2\pi]\) est située de l'autre côté, à droite.
- Si \(\alpha\) est aigu, l'arc capable est le grand arc, et le centre \(O\) est du même côté de \((AB)\) que lui.
- Si \(\alpha\) est obtus, l'arc capable est le petit arc, et le centre \(O\) est de l'autre côté de \((AB)\).
Dans les deux cas, la distance de \(O\) à la droite \((AB)\) est \(R\,|\cos\alpha|\).
Pour \(-\pi\lt\alpha\lt 0\), tout s'échange : l'arc est à droite quand on va de \(A\) vers \(B\). C'est le symétrique, par rapport à \((AB)\), de l'arc capable de l'angle \(-\alpha\).
On donne \(A\), \(B\) et \(\alpha\), avec \(0\lt\alpha\lt\pi\).
1. Tracer la demi-droite \([AT)\) telle que \((\overrightarrow{AT}\,;\overrightarrow{AB})=\alpha\) : elle sera tangente au cercle cherché.
2. Tracer la perpendiculaire à \((AT)\) passant par \(A\) : le centre est sur cette droite, puisque le rayon est perpendiculaire à la tangente au point de contact.
3. Tracer la médiatrice de \([AB]\) : le centre est aussi sur cette droite, puisque \(OA=OB\). Le point d'intersection des deux droites est le centre \(O\).
4. Tracer le cercle de centre \(O\) passant par \(A\), puis ne garder que l'arc d'extrémités \(A\) et \(B\) situé du côté opposé à \(T\) par rapport à la droite \((AB)\), sans ses extrémités.
Contrôle. Placer un point \(M\) sur l'arc tracé et mesurer l'angle \(\widehat{AMB}\) : on doit retrouver \(\alpha\).
Figure — Arc capable de l'angle π/3 construit sur [AB]
Ici \(AB=4\) et \(\alpha=\frac{\pi}{3}\). En or, l'arc capable : de chacun de ses points, comme \(M\), on voit \([AB]\) sous l'angle \(\frac{\pi}{3}\). En pointillés gris, l'autre arc du même cercle, où l'angle vaut \(\frac{\pi}{3}-\pi=-\frac{2\pi}{3}\). En bleu, la tangente \((AT)\), qui fait l'angle \(\frac{\pi}{3}\) avec \((AB)\), et le rayon \([OA]\) qui lui est perpendiculaire ; le centre \(O\) est sur la médiatrice de \([AB]\).
Énoncé. On donne deux points \(A\) et \(B\) tels que \(AB=4\) cm. Déterminer l'ensemble \((E)\) des points \(M\) du plan tels que \((\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\equiv\dfrac{\pi}{3}\;[2\pi]\) : préciser le rayon du cercle et la position de son centre.
Solution : \(\dfrac{\pi}{3}\) n'est pas un multiple de \(\pi\) : \((E)\) est un arc de cercle d'extrémités \(A\) et \(B\), privé de ces deux points.
Rayon : \(R=\dfrac{AB}{2\sin\frac{\pi}{3}}=\dfrac{4}{2\times\frac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{4}{\sqrt3}\approx 2{,}31\) cm.
Centre : \(O\) est sur la médiatrice de \([AB]\), à la distance \(R\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2}{\sqrt3}\approx 1{,}15\) cm de la droite \((AB)\). L'angle étant aigu et positif, \(O\) et l'arc sont tous deux à gauche de la droite \((AB)\) parcourue de \(A\) vers \(B\), et \((E)\) est le grand arc. On vérifie l'angle au centre : \((\overrightarrow{OA}\,;\overrightarrow{OB})=\dfrac{2\pi}{3}\), le double de \(\dfrac{\pi}{3}\).
Énoncé. On donne \(AB=6\). Déterminer l'ensemble des points \(M\) tels que : a) \((\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\equiv\dfrac{\pi}{4}\;[\pi]\) ; b) \((\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\equiv\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]\) ; c) \((\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\equiv-\dfrac{3\pi}{4}\;[2\pi]\) ; d) \((\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\equiv\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]\) ; e) \((\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\equiv\pi\;[2\pi]\).
Solution : a) C'est un cercle passant par \(A\) et \(B\), privé de \(A\) et \(B\). Son rayon est \(R=\dfrac{6}{2\sin\frac{\pi}{4}}=\dfrac{6}{\sqrt2}=3\sqrt2\approx 4{,}24\). Son centre \(O\) vérifie \((\overrightarrow{OA}\,;\overrightarrow{OB})=\dfrac{\pi}{2}\) : le triangle \(OAB\) est rectangle isocèle en \(O\), et \(O\) est à la distance 3 de \((AB)\), à gauche quand on va de \(A\) vers \(B\).
b) C'est le grand arc de ce cercle (celui qui est du même côté que \(O\)), privé de \(A\) et \(B\).
c) \(-\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}-\pi\) : c'est l'autre arc du même cercle, le petit, situé à droite de \((AB)\).
d) \(R=\dfrac{6}{2}=3\) : c'est le demi-cercle de diamètre \([AB]\) situé à gauche quand on va de \(A\) vers \(B\), privé de \(A\) et \(B\).
e) Les vecteurs \(\overrightarrow{MA}\) et \(\overrightarrow{MB}\) sont de sens contraires : \(M\) est entre \(A\) et \(B\). L'ensemble est le segment \([AB]\) privé de ses extrémités.
Modulo \(\pi\) ou modulo \(2\pi\). Avec \([\pi]\), on obtient le cercle entier (sans \(A\) ni \(B\)) ; avec \([2\pi]\), un seul des deux arcs. Les deux arcs d'un même cercle correspondent à des angles qui diffèrent de \(\pi\), et non à des angles opposés.
Les extrémités. Les points \(A\) et \(B\) n'appartiennent jamais à l'ensemble : il faut toujours écrire « privé de \(A\) et de \(B\) ».
Les multiples de \(\pi\). Pour \(\alpha\equiv 0\) ou \(\alpha\equiv\pi\), la formule du rayon n'a pas de sens (\(\sin\alpha=0\)) : l'ensemble n'est pas un arc de cercle mais une partie de la droite \((AB)\).
Angles associés
Rappel de SecondeSur le cercle trigonométrique (centre \(O\), rayon \(1\)), à tout réel \(x\) on associe le point \(M\) obtenu en parcourant une longueur d'arc \(x\) à partir du point \((1;0)\) (sens direct si \(x>0\)). Le cosinus de \(x\) est l'abscisse de \(M\), le sinus de \(x\) est son ordonnée.
Pour les angles remarquables (en radians) :
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \pi/6 & \pi/4 & \pi/3 & \pi/2 \\ \hline \cos x & 1 & \sqrt3/2 & \sqrt2/2 & 1/2 & 0 \\ \sin x & 0 & 1/2 & \sqrt2/2 & \sqrt3/2 & 1 \end{array} \]À partir du cercle trigonométrique, on retrouve directement :
\[ \cos(-x)=\cos x,\quad \sin(-x)=-\sin x,\quad \cos(\pi-x)=-\cos x,\quad \sin(\pi-x)=\sin x, \] \[ \cos(\pi+x)=-\cos x,\quad \sin(\pi+x)=-\sin x,\quad \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,\quad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x. \]Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresFigure interactive — Cercle trigonométrique
Déplacez le curseur pour voir le point M se déplacer sur le cercle ; ses coordonnées sont \((\cos x\,;\,\sin x)\).
Formules d'addition et de duplication
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Voir les offresRésumé
Ensemble des points \(M\) tels que \((\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\equiv\alpha\;[2\pi]\) : un arc d'extrémités \(A\) et \(B\), sans ces deux points.
Rayon \(R=\dfrac{AB}{2|\sin\alpha|}\) ; centre sur la médiatrice de \([AB]\), avec un angle au centre \(2\alpha\).
La tangente en \(A\) fait l'angle \(\alpha\) avec \((AB)\) : elle donne le centre par une perpendiculaire.
On obtient le cercle entier privé de \(A\) et \(B\) ; sur l'autre arc, l'angle vaut \(\alpha+\pi\).
Angle droit : demi-cercle de diamètre \([AB]\). Angle plat : segment ouvert. Angle nul : droite privée du segment.
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Voir les offres\(\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\), \(\sin\theta=\dfrac{\det(\vec u,\vec v)}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\).
\(\det(\vec u,\vec v)=0\).
\(\vec u\cdot\vec v=0\).
Un seul \(\vec\jmath\) unitaire pour \(\vec\imath\) donné.
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Voir les offresQuestion 1. Soit \(\vec u(5;12)\) et \(\vec v(12;-5)\). Montrer que \(\vec u\) et \(\vec v\) sont orthogonaux.
\(\vec u\cdot\vec v=5\times12+12\times(-5)=60-60=0\) : orthogonaux.
Question 2. Soit \(\vec u(6;9)\) et \(\vec v(4;6)\). Montrer que \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires.
\(\det(\vec u,\vec v)=6\times6-9\times4=36-36=0\) : colinéaires (en effet \(\vec u=\dfrac32\vec v\)).
Question 3. Soit \(\vec u(1;0)\) et \(\vec v(0;1)\). Calculer \(\cos(\vec u,\vec v)\) et \(\sin(\vec u,\vec v)\).
\(\vec u\cdot\vec v=0\), \(\det(\vec u,\vec v)=1\). \(\|\vec u\|=\|\vec v\|=1\), donc \(\cos\theta=0\), \(\sin\theta=1\) : \(\theta=\dfrac\pi2\).
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