Première C · Leçon 15
Produit scalaire et produit vectoriel dans l’espace
Ce que dit le programme officiel (11 points)
- Produit scalaire dans l’espace : définition et différentes expressions du produit scalaire
- Vecteurs orthogonaux
- Norme d’un vecteur dans l’espace
- Définir le produit scalaire dans l’espace
- Reconnaître et utiliser les propriétés du produit scalaire dans l’espace
- Reconnaître les différentes expressions du produit scalaire
- Produit vectoriel : définition, notation
- Définir et noter le produit vectoriel de deux vecteurs
- Utiliser le produit vectoriel pour déterminer un vecteur normal à un plan
- Limite : aucune théorie n’est à exposer ; on étend simplement la définition et les caractérisations du produit scalaire des vecteurs du plan à ceux de l’espace
- Limite : aucune théorie n’est à exposer sur le produit vectoriel
Source : Programme de mathématiques, classe de Première C, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Produit scalaire dans l'espace, orthogonalité, vecteur normal
Le produit scalaire de l'espace prolonge celui du plan, avec les mêmes propriétés (bilinéarité, symétrie). Dans un repère orthonormé \((O;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)\), pour \(\vec u(x;y;z)\) et \(\vec v(x';y';z')\) :
\[ \vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz', \qquad \|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. \]La distance entre \(A(x_A;y_A;z_A)\) et \(B(x_B;y_B;z_B)\) vaut \(AB=\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\).
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Voir les offresDeux droites de vecteurs directeurs \(\vec u,\vec v\) sont orthogonales si \(\vec u\cdot\vec v=0\) (même si elles ne se coupent pas — cas des droites gauches orthogonales). Une droite de vecteur directeur \(\vec u\) est orthogonale à un plan \(P\) si \(\vec u\) est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de \(P\) — elle l'est alors à tout vecteur de \(P\).
Un vecteur \(\vec n\) est normal au plan \(P\) s'il est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de \(P\) (donc à toute droite de \(P\)). Le plan \(\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0\) admet \(\vec n(\alpha;\beta;\gamma)\) pour vecteur normal — lecture directe sur l'équation. Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
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Voir les offresFigure — Plan \(P\) et son vecteur normal \(\vec n\)
\(\vec n\) est orthogonal à toute droite tracée dans le plan \(P\), quelle que soit sa direction.
Résultat admis. Un angle droit se projette orthogonalement sur un plan suivant un angle droit si et seulement si l'un au moins de ses côtés est parallèle au plan de projection. Sans cette condition, l'angle projeté peut être quelconque — c'est un piège classique en représentation en perspective.
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Voir les offresProduit vectoriel
Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre : il sert à tester l'orthogonalité. Mais dans l'espace, on a souvent besoin de fabriquer un vecteur orthogonal à deux vecteurs donnés, par exemple pour obtenir un vecteur normal à un plan. Le produit vectoriel répond à ce besoin : à deux vecteurs, il associe un troisième vecteur, perpendiculaire aux deux premiers.
Soit \(\vec u\) et \(\vec v\) deux vecteurs de l'espace. Leur produit vectoriel est le vecteur noté \(\vec u\wedge\vec v\) (on lit « \(u\) vectoriel \(v\) »), défini ainsi.
- Si \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires (en particulier si l'un d'eux est nul), alors \(\vec u\wedge\vec v=\vec 0\).
- Sinon, \(\vec u\wedge\vec v\) est le vecteur \(\vec w\) caractérisé par trois conditions : sa direction, il est orthogonal à \(\vec u\) et à \(\vec v\) ; son sens, les vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\), \(\vec w\), pris dans cet ordre, sont disposés comme le pouce, l'index et le majeur de la main droite ; sa norme, \(\|\vec w\|=\|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\sin\theta\), où \(\theta\) est l'angle géométrique formé par \(\vec u\) et \(\vec v\).
Lecture de la norme. Le nombre \(\|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\sin\theta\) est l'aire du parallélogramme construit sur \(\vec u\) et \(\vec v\). La norme du produit vectoriel est donc cette aire.
Attention à la nature du résultat. \(\vec u\cdot\vec v\) est un nombre ; \(\vec u\wedge\vec v\) est un vecteur. Le produit vectoriel n'existe que dans l'espace.
Figure — Le produit vectoriel est perpendiculaire au parallélogramme
Les vecteurs u (en bleu marine) et v (en bleu) sont dessinés dans un plan vu en perspective ; le parallélogramme construit sur eux est coloré. Le vecteur u ∧ v (en or) est perpendiculaire à ce plan, orienté vers le haut selon la règle de la main droite, et sa longueur est égale à l'aire du parallélogramme. Le vecteur v ∧ u, en pointillés, est son opposé.
Coordonnées. L'espace est muni d'un repère orthonormé direct \((O\,;\vec i,\vec j,\vec k)\). Si \(\vec u\) a pour coordonnées \((x\,;y\,;z)\) et \(\vec v\) pour coordonnées \((x'\,;y'\,;z')\), alors
\[\vec u\wedge\vec v\ \begin{pmatrix}yz'-zy'\\zx'-xz'\\xy'-yx'\end{pmatrix}.\]Règles de calcul. Pour tous vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\), \(\vec w\) et tout réel \(a\) :
- \(\vec v\wedge\vec u=-\,\vec u\wedge\vec v\) : changer l'ordre change le signe ;
- \(\vec u\wedge\vec u=\vec 0\) ;
- \((a\,\vec u)\wedge\vec v=a\,(\vec u\wedge\vec v)\) et \(\vec u\wedge(\vec v+\vec w)=\vec u\wedge\vec v+\vec u\wedge\vec w\) ;
- \(\vec i\wedge\vec j=\vec k\), \(\vec j\wedge\vec k=\vec i\), \(\vec k\wedge\vec i=\vec j\).
Deux conséquences utiles. Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est nul. Si \(A\), \(B\), \(C\) sont trois points non alignés, le vecteur \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est orthogonal à \(\overrightarrow{AB}\) et à \(\overrightarrow{AC}\) : c'est un vecteur normal au plan \((ABC)\).
1. Disposer les coordonnées en colonnes, celles de \(\vec u\) à gauche, celles de \(\vec v\) à droite, puis recopier les deux premières lignes sous la troisième.
2. Calculer trois « produits en croix ». La première coordonnée s'obtient avec les lignes 2 et 3, la deuxième avec les lignes 3 et 4 (c'est-à-dire 3 et 1), la troisième avec les lignes 4 et 5 (c'est-à-dire 1 et 2). Chaque fois : produit de la diagonale descendante moins produit de la diagonale montante.
3. Contrôler. Le vecteur obtenu doit être orthogonal à \(\vec u\) et à \(\vec v\) : on vérifie que les deux produits scalaires sont nuls. Ce contrôle détecte presque toutes les erreurs de signe.
Vecteur normal au plan \((ABC)\). On calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et de \(\overrightarrow{AC}\), puis \(\vec n=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\). Si \(\vec n\) est nul, les points sont alignés et ne définissent pas un plan. Sinon \(\vec n\) est normal au plan ; tout vecteur \(a\,\vec n\) avec \(a\neq 0\) l'est aussi, ce qui permet de simplifier les coordonnées.
Figure — La disposition du calcul pour u(1 ; 2 ; 3) et v(4 ; 5 ; 6)
Les coordonnées de u et de v sont écrites en colonnes ; les deux premières lignes sont recopiées en bas, en gris. Chaque croix donne une coordonnée : la croix bleu marine (lignes 2 et 3) donne 2 × 6 − 3 × 5 = −3, la croix bleue (lignes 3 et 4) donne 3 × 4 − 1 × 6 = 6, la croix verte (lignes 4 et 5) donne 1 × 5 − 2 × 4 = −3.
Énoncé. Dans un repère orthonormé direct, on donne \(\vec u(1\,;2\,;3)\) et \(\vec v(4\,;5\,;6)\). Calculer \(\vec u\wedge\vec v\), contrôler le résultat, puis donner \(\vec v\wedge\vec u\).
Solution : Première coordonnée : \(2\times 6-3\times 5=-3\). Deuxième : \(3\times 4-1\times 6=6\). Troisième : \(1\times 5-2\times 4=-3\). Donc \(\vec u\wedge\vec v\) a pour coordonnées \((-3\,;6\,;-3)\).
Contrôle : \((-3)\times 1+6\times 2+(-3)\times 3=-3+12-9=0\) et \((-3)\times 4+6\times 5+(-3)\times 6=-12+30-18=0\). Le vecteur trouvé est bien orthogonal à \(\vec u\) et à \(\vec v\).
Enfin \(\vec v\wedge\vec u=-\,\vec u\wedge\vec v\) a pour coordonnées \((3\,;-6\,;3)\).
Énoncé. Dans un repère orthonormé direct, on donne \(A(1\,;0\,;0)\), \(B(0\,;2\,;0)\) et \(C(0\,;0\,;3)\). a) Déterminer un vecteur normal au plan \((ABC)\). b) En déduire l'aire du triangle \(ABC\).
Solution : a) \(\overrightarrow{AB}(-1\,;2\,;0)\) et \(\overrightarrow{AC}(-1\,;0\,;3)\). On calcule \(\vec n=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) : première coordonnée \(2\times 3-0\times 0=6\) ; deuxième \(0\times(-1)-(-1)\times 3=3\) ; troisième \((-1)\times 0-2\times(-1)=2\). Donc \(\vec n(6\,;3\,;2)\).
Contrôle : \(\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=-6+6+0=0\) et \(\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=-6+0+6=0\). Le vecteur \(\vec n\) n'est pas nul : les points \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés et \(\vec n(6\,;3\,;2)\) est un vecteur normal au plan \((ABC)\).
b) La norme de \(\vec n\) est l'aire du parallélogramme construit sur \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ; le triangle \(ABC\) en est la moitié. Or \(\|\vec n\|=\sqrt{36+9+4}=\sqrt{49}=7\). L'aire du triangle \(ABC\) est \(\dfrac72\), soit 3,5 unités d'aire.
Énoncé. a) Les points \(D(1\,;1\,;1)\), \(E(3\,;0\,;4)\) et \(F(-3\,;3\,;-5)\) sont-ils alignés ? b) On donne \(\vec u(1\,;0\,;0)\) et \(\vec v(1\,;1\,;0)\). Calculer \(\vec u\wedge\vec v\) et retrouver sa norme avec la définition.
Solution : a) \(\overrightarrow{DE}(2\,;-1\,;3)\) et \(\overrightarrow{DF}(-4\,;2\,;-6)\). Leur produit vectoriel a pour coordonnées \(\big((-1)\times(-6)-3\times 2\,;\ 3\times(-4)-2\times(-6)\,;\ 2\times 2-(-1)\times(-4)\big)=(0\,;0\,;0)\). Il est nul : les vecteurs sont colinéaires (d'ailleurs \(\overrightarrow{DF}=-2\,\overrightarrow{DE}\)) et les points \(D\), \(E\), \(F\) sont alignés.
b) Première coordonnée : \(0\times 0-0\times 1=0\) ; deuxième : \(0\times 1-1\times 0=0\) ; troisième : \(1\times 1-0\times 1=1\). Donc \(\vec u\wedge\vec v=\vec k\), de norme 1. Avec la définition : \(\|\vec u\|=1\), \(\|\vec v\|=\sqrt2\), et l'angle entre \(\vec u\) et \(\vec v\) mesure \(\dfrac{\pi}{4}\) ; on retrouve \(1\times\sqrt2\times\sin\dfrac{\pi}{4}=\sqrt2\times\dfrac{\sqrt2}{2}=1\). Les deux vecteurs sont dans le plan \((O\,;\vec i,\vec j)\) et leur produit vectoriel est porté par \(\vec k\), perpendiculaire à ce plan.
Échanger les deux vecteurs. \(\vec v\wedge\vec u\) est l'opposé de \(\vec u\wedge\vec v\). Pour un vecteur normal, cela ne change rien (l'opposé d'un vecteur normal est normal), mais le résultat demandé n'est pas le même.
Se tromper dans la deuxième coordonnée. Elle vaut \(zx'-xz'\), et non \(xz'-zx'\). Pour \(\vec u(1\,;0\,;2)\) et \(\vec v(0\,;1\,;1)\), le bon résultat est \((-2\,;-1\,;1)\) ; avec l'erreur de signe on écrirait \((-2\,;1\,;1)\), qui n'est pas orthogonal à \(\vec v\). Le contrôle par le produit scalaire rattrape cette erreur.
Confondre avec le produit scalaire. Le produit scalaire est nul lorsque les vecteurs sont orthogonaux ; le produit vectoriel est nul lorsqu'ils sont colinéaires. Ce sont deux situations opposées.
Utiliser la formule dans un repère quelconque. La formule en coordonnées suppose un repère orthonormé direct.
Résumé
\(\vec u\wedge\vec v\) est un vecteur orthogonal à \(\vec u\) et à \(\vec v\), de norme \(\|\vec u\|\,\|\vec v\|\sin\theta\), orienté par la règle de la main droite.
\((yz'-zy'\,;\ zx'-xz'\,;\ xy'-yx')\) dans un repère orthonormé direct.
\(\vec v\wedge\vec u=-\,\vec u\wedge\vec v\) et \(\vec u\wedge\vec u=\vec 0\).
Produit vectoriel nul si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.
\(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est normal au plan \((ABC)\) ; sa norme est le double de l'aire du triangle \(ABC\).
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