Première C · Leçon 12
Transformation du plan
Exercices corrigés
QCM — Homothéties et translations
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Une homothétie de rapport $k=1$ est, par définition :
a) une rotation b) une translation c) une symétrie d) toujours l'identité seule
2) Soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega(1;2)$, rapport $k=-3$. L'image de $A(3;4)$ est :
a) $(-5;-4)$ b) $(5;4)$ c) $(7;8)$ d) $(-1;-2)$
3) La réciproque d'une homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k=5$ est :
a) homothétie centre $\Omega$, rapport $-5$ b) homothétie centre $\Omega$, rapport $\dfrac15$ c) translation d) homothétie centre $\Omega$, rapport $5$
4) $h_1$ de rapport $2$ et $h_2$ de rapport $\dfrac12$ (centres distincts). $h_1\circ h_2$ est :
a) une homothétie de rapport $1$ b) une translation c) une homothétie de rapport $4$ d) l'identité
QCM — Homothétie et rotation
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) L'homothétie de centre $O$ et de rapport $k=-2$ transforme un cercle de rayon $3$ en un cercle de rayon :
a) $6$ b) $-6$ c) $1{,}5$ d) $9$
2) Une homothétie de rapport $k=1$ est :
a) l'identité b) une symétrie centrale c) une rotation d) une translation
3) Une rotation d'angle $180°$ coïncide avec :
a) une symétrie centrale de même centre b) une symétrie orthogonale c) une translation d) l'identité
4) L'image du point $A(2;5)$ par l'homothétie de centre $O(0;0)$ et de rapport $k=3$ est :
a) $(6;15)$ b) $(5;8)$ c) $\left(\dfrac23;\dfrac53\right)$ d) $(-6;-15)$
Situation d'intégration — Agrandissement d'un plan de quartier
Exercice 2 — Situation d'intégration
Un urbaniste agrandit le plan d'un quartier à l'aide d'une homothétie de centre le rond-point de référence $\Omega$ (origine du repère) et de rapport $k=2{,}5$, pour produire une carte plus détaillée. Sur le plan initial, un carrefour $A$ a pour coordonnées $(40;60)$ (en mètres depuis $\Omega$), et un second carrefour $B(100;60)$ est situé à $60$ m de $A$.
Consigne : Déterminer les coordonnées de l'image $A'$ de ce carrefour sur la carte agrandie, puis calculer la distance $A'B'$ sur cette carte agrandie.
Situation d'intégration — Fresque murale
Exercice 2 — Situation d'intégration
Un artisan sculpteur agrandit un motif décoratif pour une fresque murale, à partir d'un motif original centré en $O(0;0)$ possédant un point caractéristique $A(3;2)$. Il applique une homothétie de centre $O$ et de rapport $k=4$.
Consigne : 1) Calculer les coordonnées du point $A'$, image de $A$. 2) Le motif original tient dans un cercle de rayon $1{,}5$ m centré en $O$ ; quel est le rayon du cercle contenant le motif agrandi ? 3) L'aire du motif original est de $0{,}8$ m² ; quelle est l'aire du motif agrandi (rappel : l'homothétie multiplie les aires par $k^2$) ?
Voir le corrigé
- $A'=4\times(3;2)=(12;8)$.
- Rayon $'=|4|\times1{,}5=6$ m.
- Aire $'=0{,}8\times4^2=0{,}8\times16=12{,}8$ m².
Exercice supplémentaire — Agrandissement
Exercice supplémentaire. Un sculpteur agrandit un motif : le point $A(2;3)$ est l'image du point $A'(1\,;1{,}5)$ par une homothétie de centre $O(0;0)$.
1) Déterminer le rapport $k$ de cette homothétie.
2) Le point $B'(3;-2)$ a pour image $B$ par cette même homothétie : calculer les coordonnées de $B$.
3) Si l'aire du motif initial est $5$ cm², quelle est l'aire du motif agrandi ?
Problème — Motif de tissage traditionnel (faso dan fani)Approfondissement — Composition de deux homothéties
Problème — Une artisane dessine un motif de tissage à partir d'un triangle $ABC$, $A(1;1)$, $B(3;1)$, $C(2;3)$, transformé par une homothétie $h$ de centre $\Omega(0;0)$ et de rapport $k=-2$.
Partie A. Déterminer les coordonnées des images $A'$, $B'$, $C'$ par $h$.
Partie B. 1) Cette homothétie conserve-t-elle les angles du triangle $ABC$ ? Justifier. 2) Quel est le rapport de l'aire du triangle $A'B'C'$ sur celle du triangle $ABC$ ?
Partie C. L'artisane veut vérifier qu'elle peut retrouver le motif d'origine à partir du motif transformé. Donner le centre et le rapport de la réciproque de $h$.
Voir le corrigé
- $A'=-2\times(1;1)=(-2;-2)$. $B'=-2\times(3;1)=(-6;-2)$. $C'=-2\times(2;3)=(-4;-6)$.
- Oui : une homothétie-translation conserve toujours l'angle orienté, quel que soit le signe de $k$ (résultat du cours).
- Les distances sont multipliées par $|k|=2$, donc les aires (produit de deux longueurs) sont multipliées par $|k|^2=4$ : le rapport des aires est $4$.
- Même centre $\Omega(0;0)$, rapport $\dfrac1k=-\dfrac12$.
- Quand le produit des rapports de deux homothéties vaut $1$, leur composée n'est plus une homothétie mais une translation (résultat de cours). Ici $3\times\dfrac13=1$, donc $h_2\circ h_1$ est une translation.
- $A$ étant l'origine, $h_1(M)=A+3(M-A)=3M$, soit $h_1(x;y)=(3x;3y)$. Ensuite $h_2(N)=B+\dfrac13(N-B)$ avec $N=(3x;3y)$ : $h_2(N)=(4;0)+\dfrac13\big((3x;3y)-(4;0)\big)=(4;0)+\left(x-\dfrac43;y\right)=\left(x+\dfrac83;y\right)$.
- $h_2\circ h_1(M)=M+\left(\dfrac83;0\right)$ pour tout $M$ : c'est la translation de vecteur $\vec u\left(\dfrac83;0\right)$.
Approfondissement — Composition de deux homothéties
Exercice 4 — Approfondissement
Dans le plan muni d'un repère, on considère $A(0;0)$ et $B(4;0)$. On note $h_1$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $3$, et $h_2$ l'homothétie de centre $B$ et de rapport $\dfrac13$.
1) Rappeler la nature de $h_2\circ h_1$, sachant que le produit des rapports vaut $1$.
2) Pour un point $M(x;y)$ quelconque, exprimer les coordonnées de $h_1(M)$ puis de $h_2(h_1(M))$.
3) En déduire le vecteur de la translation $h_2\circ h_1$.
Problème — Homothétie, rotation et comparaison
Problème.
Partie A. Soit $O(1;1)$ et l'homothétie de centre $O$, de rapport $k=-\dfrac12$.
1) Calculer l'image $B'$ du point $B(5;3)$.
Partie B. Soit la rotation de centre $O(0;0)$ et d'angle $90°$ (sens direct). On admet que l'image d'un point $M(x;y)$ par cette rotation a pour coordonnées $(-y;x)$.
2) Calculer l'image $C'$ de $C(3;-4)$ par cette rotation.
3) Vérifier que $OC=OC'$ (conservation des distances).
Partie C.
4) Le point $C'$ obtenu en B.2 est-il aussi l'image de $C$ par la symétrie centrale de centre $O$ (qui envoie $M$ sur $-M$) ? Justifier.