Suites numériques

Un nouveau problème est généré à chaque clic sur "Nouveau problème" — aucune limite de tentatives.

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $f(x)=3x-2$ et $u_n=f(n)$ pour tout $n$. $u_3$ vaut :
a) 5   b) 7   c) 9   d) 1

2) Soit $u_0=2$ et $u_{n+1}=3u_n+1$. $u_2$ vaut :
a) 19   b) 22   c) 25   d) 7

3) Soit $v_n=8-2n$. $v_{n+1}-v_n$ vaut :
a) $-2$   b) $2$   c) $-2n$   d) $8$

4) Une suite $(w_n)$ vérifie $w_{n+1}-w_n=4$ pour tout $n$. La suite $(w_n)$ est :
a) croissante   b) décroissante   c) constante   d) on ne peut pas savoir

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $u_0=5$ et $u_{n+1}=3u_n-4$. La valeur de $u_2$ est :
a) $29$   b) $33$   c) $26$   d) $15$

2) Une suite arithmétique a pour premier terme $u_0=10$ et pour raison $a=-3$. La valeur de $u_8$ est :
a) $34$   b) $-11$   c) $-14$   d) $-24$

3) Une suite géométrique a pour premier terme $u_0=2$ et pour raison $b=3$. La somme $S_4=u_0+u_1+u_2+u_3+u_4$ vaut :
a) $242$   b) $121$   c) $240$   d) $484$

4) Soit $f(x)=3x-2$ et $u_n=f(n)$. La valeur de $u_0$ est :
a) $-2$   b) $1$   c) $3$   d) $-5$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $v_n=\dfrac n{n+3}$. Cette suite est majorée par :
a) $1$   b) $\dfrac13$   c) $3$   d) $n$

2) Soit $w_n=50-7n$. Le sens de variation de $(w_n)$ est :
a) croissante   b) décroissante   c) constante   d) non monotone

3) Dans une démonstration par récurrence, la deuxième étape s'appelle :
a) Initialisation   b) Hérédité   c) Conclusion   d) Réciproque

4) Une suite $(u_n)$ vérifie $u_{n+p}=u_n$ pour tout $n$ : elle est dite :
a) monotone   b) majorée   c) périodique de période $p$   d) bornée

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(4n^2-7)$ vaut :
a) $4$   b) $-7$   c) $+\infty$   d) $0$

2) $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac1{n^3}$ vaut :
a) $+\infty$   b) $1$   c) $0$   d) n'existe pas

3) Soit $u_n=(0{,}8)^n$. $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$ vaut :
a) $0$   b) $+\infty$   c) $1$   d) $0{,}8$

4) $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(9-5\times\left(\dfrac13\right)^n\right)$ vaut :
a) $9$   b) $4$   c) $-5$   d) n'existe pas

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une ONG suit le nombre total d'arbres plantés dans le cadre d'un programme de reboisement. Le nombre cumulé d'arbres plantés après $n$ années, noté $u_n$, vérifie $u_0=200$ (arbres plantés la première année) et, pour tout $n$, $u_{n+1}=u_n+150$ (150 nouveaux arbres plantés chaque année, qui s'ajoutent au total).

Consigne : Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$, étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$, et dire si ce modèle est cohérent avec un programme de reboisement mené sans interruption.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative agricole épargne pour acheter un tracteur coûtant $1\,500\,000$ FCFA. Elle dépose $50\,000$ FCFA le premier mois ($u_0$), puis augmente chaque mois son dépôt de $15\,000$ FCFA par rapport au mois précédent (suite arithmétique de raison $a=15\,000$).

Consigne : Calculer le montant déposé le $12^e$ mois (terme $u_{11}$), puis le montant total épargné après ces $12$ mois (somme $S_{11}$ des termes $u_0$ à $u_{11}$). La coopérative aura-t-elle réuni la somme nécessaire pour le tracteur au bout de $12$ mois ?

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une ONG installe des pompes à eau villageoises dans la région du Sahel. Elle modélise la proportion de pompes en panne après $n$ mois de fonctionnement par $p_n=\dfrac n{n+2}$.

Consigne : Montrer que cette proportion reste toujours strictement inférieure à $1$ (majorée par $1$), montrer qu'elle est croissante, et interpréter ces deux résultats pour la maintenance à long terme du réseau de pompes.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une banque de développement finance un projet d'adduction d'eau. Le coût cumulé de maintenance (en millions de FCFA) après $n$ années de fonctionnement suit $C_n=8-6\times(0{,}5)^n$.

Consigne : Étudier la limite de $C_n$ quand $n\to+\infty$, et interpréter ce résultat pour le budget à long terme du projet : le coût cumulé se stabilise-t-il, et vers quelle valeur plafond ?

Problème.

Partie A. Soit $f(x)=2x^2-1$ et $u_n=f(n)$ pour tout $n\in\mathbb N$.
1) Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$.
2) Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$, et en déduire le sens de variation de $(u_n)$.

Partie B. Soit $(v_n)$ définie par $v_0=3$ et, pour tout $n$, $v_{n+1}=2v_n-1$.
3) Calculer $v_1$, $v_2$, $v_3$ et $v_4$.
4) En observant les écarts entre termes consécutifs, conjecturer une expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis vérifier cette conjecture pour $n=0,1,2,3,4$.

Problème — Une entreprise de reboisement compare deux stratégies de plantation d'arbres sur $6$ ans (années $0$ à $5$).

Partie A — Stratégie 1 (arithmétique). $200$ arbres plantés l'année $0$ ($u_0=200$), puis $40$ arbres de plus chaque année ($a=40$). 1) Calculer $u_5$ (nombre d'arbres plantés l'année $5$). 2) Calculer $S_5=u_0+\cdots+u_5$, le nombre total d'arbres plantés sur les $6$ ans.

Partie B — Stratégie 2 (géométrique). Un partenaire propose de doubler chaque année le nombre d'arbres plantés : $v_0=200$, raison $b=2$. 1) Calculer $v_5$. 2) Calculer $S_5'=v_0+\cdots+v_5$.

Partie C. Comparer les deux totaux obtenus sur $6$ ans et conclure sur la stratégie la plus efficace en nombre d'arbres plantés (sans tenir compte du coût).

Exercice 4 — Approfondissement

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\dfrac13u_n+4$.

1) On pose $v_n=u_n-6$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.

2) Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.

3) Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$.

4) Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n>5{,}99$.

Problème — Un laboratoire étudie l'effet d'un traitement antibiotique sur une population bactérienne. Le nombre de bactéries après $n$ heures, noté $u_n$, vérifie $u_0=1\,000$ et $u_{n+1}=2u_n-500$ pour tout $n$.

Partie A. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$.

Partie B. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n=500\times2^n+500$.

Partie C. D'après la formule de la partie B, quel est le comportement de $u_n$ lorsque $n$ devient très grand ? Que peut-on en conclure sur l'efficacité de ce traitement pour éradiquer la population bactérienne à long terme ?

Problème — Une plateforme de tutorat en ligne burkinabè suit trois indicateurs mensuels, $n$ désignant le nombre de mois depuis le lancement.

Partie A. Nombre d'inscriptions cumulées (en dizaines) : $u_n=6n^3-100$. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$, en justifiant.

Partie B. Taux de rétention (en %) : $v_n=12-8\times(0{,}25)^n$. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n$, en justifiant.

Partie C. Note de satisfaction (sur $10$) : $w_n=\dfrac1{n^2}+5$. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}w_n$, en justifiant.

Partie D. D'après les trois résultats précédents, lequel de ces indicateurs ne se stabilise jamais et continue de croître indéfiniment ? Lesquels se stabilisent, et vers quelles valeurs ?